北京高考数学及答案.docx

1、北京高考数学及答案2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第部分（选择题 共40 分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合Ax|x2，B2,0,1,2，则 A B ()A 0,1B.1,0,1C. 2,0,1,2 D.1,0,1,22.在复平面内，复数-111的共轭复数对应的点位于（ ）iA第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做 出了重

2、要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一 个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 12 2 .若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为（ ）A 32f B. 3 22 f C.12 25 f D.1227 f5.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为值为（、填空题共6小题，每小题5分，共30分.四个交点及椭圆 M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M的离心率为 ;双曲线N的离心率为 .三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程115.(本小题 13 分)在 ABC 中，a 7 ,

3、b 8 , cosB7(I )求 A;(n )求AC边上的高.16.(本小题14分)如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，CC, 平面 ABC , D , E , F , G 分别为 AA, , AC , AG , BB,的中点，AB BC 、5 , AC AA 2.(I )求证：AC 平面BEF ; (n )求二面角B CD C1的余弦值;17.(本小题12分)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电

4、影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(I )从电影公司收集的电影中随机选取 1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(n )从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1部，估计恰有1部获得好评的概率；(川)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ k 1”表示第k类电影得到人们喜欢，“ k 0 ”表示第k类电影没有得到人们喜欢 (k=1, 2, 3, 4, 5, 6).写出方差D 1 , D 2D 3 , D 4 , D 5 , D 6的大小关系.18.(本小题 13分)设函数 f x ax2 4a 1 x 4a 3 ex .(i )若曲线y f x在点

5、1, f 1处的切线与x轴平行，求a ；(n )若f x在x 2处取得极小值，求 a的取值范围.219.(本小题14分)已知抛物线C : y 2px经过点P 1,2 .过点Q 0,1的直线I与抛物线C有两个不同的 交点A, B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N .(i )求直线I的斜率的取值范围； 一 一 1 1(n )设0为原点，QM QO , QN Q0 ,求证： 为定值.20.（本小题14分）设n为正整数，集合A |0,1 ,k 1,2, ,n，对于集合A中的任意元素XZ,Xn和12 X1 y1X1 y1(I)当3时，若1,1,0,y1,y2,yn，记X2 y2X2y2XnynX

6、n0,1,1求M ,和M7的值;t1, t2 , , tn , tnyn()当4时，设B是A的子集，且满足：对于 B中的任意元素，当相同时，M奇数；当是偶数求集合 B中元素个数的最大值;（川）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于 B中的任意两个不同的元素M , 0 写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由.2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案、选择题1 . A2. D 3. B 4. D5 . C 6 . C7 . C二、填空题9. an 6n3 10. 1 .211.-312 . 313. y=sinx（答案不唯一）14. 31 ; 2三、解答题(15)

7、(共 13 分)解：(I)在厶 ABC 中， cosB= - , B( n, n) , si nB= Ji cos2 B 空3 .7827由正弦定理得-b7广匸3, sinA=3 .sin Asin Bsin A -27tb( n, n ,A( 0,n)，/八 nA=.223(n )在厶 ABC中，T sinC=sin ( A+B) =sinAcosB+sinBcosA=3 ( - 4-3 = .2 7 2 7 14如图所示，在 ABC中， sinC=丄, h=BC sinC=7 沁 沁 BC 14 2 AC边上的高为出.2（16）（共 14 分）解：（I）在三棱柱 ABC-A1B1C1中,t

8、 CC1丄平面ABC,四边形A1ACC为矩形.又E, F分别为AC, A1C1的中点， AC丄 EF./ AB=BC. AC丄 BE, AC丄平面BEF.()由(I)知 AC丄EF, AC丄 BE, EFII CG.又CC丄平面ABC,： EF丄平面ABC./ BE 平面 ABC, EF BE如图建立空间直角坐称系 E-xyz.由题意得 B ( 0, 2, 0), C (-1, 0,BiDC(1, 0, 1), F (0,0), D0, 2), G (0, 2, 1).uui uir CD=(2 ,0,1), CB=(1 ,2,0),设平面BCD的法向量为n (a , b, c),平面BCD的

9、法向量n (2 , 1 , 4),uir又平面CDC的法向量为EB=(0 , 2,0),uir- cos n EBuir n EB . 21=-|n |EB| 21(17) (共 12 分)第四类电影中获得好评的电影部数是 200X 0.25=50故所求概率为匹J 0 025 . 2000(n)设事件 A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.故所求概率为 P ( AB AB ) =P ( AB ) +P ( AB )=P (A)( 1 -P (B) + (1 -P (A) P (B).由题意知：P (A)估计为0.25, P ( B)估计

10、为0.2.故所求概率估计为 0.25 X 0.8+0.75 X 0.2=0.35(山)D 1 D 4 D 2 = D 5 D 3 D 6 .(18)(共 13 分)解：(I)因为 f(x)=ax2 (4 a 1)x 4a 3ex,所以 f (x) = :2ax- (4a+1) ex+ ax2 - (4a+1) x+4a+3 ex (x R) =ax2 - (2a+1) x+2 ex.f (1)=(1 -a)e.由题设知f (1)=0，即(1 -a)e=0,解得a=1.此时 f (1)=3e 0.所以a的值为1.(n)由(I)得 f (x) = :ax2 - (2a+1) x+2 ex= (ax

11、-) (x-0ex.1 1若 a，则当 x (- , 2)时，f (x)0.所以f (x)0在x=2处取得极小值.1 1若 aw,则当 x (0, 2)时，x-20, ax - - x-10.所以2不是f (x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是(1 , +R).2(19)(共 14 分)解：(I)因为抛物线 y2=2px经过点P (1 , 2),所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x.由题意可知直线I的斜率存在且不为 0,设直线I的方程为y=kx+1 （k老）.4X 得 k2x2 (2k 4)xkx 1依题意2 2(2 k 4) 4 k 1解得k0或0k1.又PAPB与y

12、轴相交，故直线I不过点（1,-2).从而 k 3.所以直线I斜率的取值范围是（-g , -3)U(-3, 0)U( 0, 1).(n)设 a( xi,yi), B (X2,y2).由(I)知 X1 X22k 42 k直线PA的方程为y - 2=y1 .ky1 22 1 (x 1).为1XX2令x=0,得点M的纵坐标为同理得点N的纵坐标为yNy1 2yMX1 1kx2 1kx1 1x1 1X2uuu由QM =uuuQO ,uuu QN =uuu QO得=1yN.所以-1 _1 yM11 yNX2(k 1)x1(k 1)x22x2 (X1 X2)X1X22 2k 4 丄亡丁 =2 . k 1 丄所

13、以-1为定值.(20)（共14分）解：（I)因为 a=(1 , 1,0), 3= (0, 1, 1)，所以M ( a,1性(1 + 1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)=2M ( a,(1+0-1-0|)+(1 + 1 -1 -|)+(0+1 -0 -1|)=1 .设 a=(X1 , X2 , X3 , X4) B,贝y M( a, a) = X1+ X2+X3+X4.由题意知X1 ,X2 , X3 , X4 0 , 1,且 M( a, a为奇数,所以X1 , X2 ,X3, X4中1的个数为1或3.所以B (1,0, 0, 0),( 0, 1, 0, 0) , (

14、 0 , 0 , 1, 0) , ( 0 , 0 , 0 ,1) , ( 0 , 1, 1 , 1) , (1 , 0 ,1, 1),（1, 1, 0 , 1） , （1, 1, 1 , 0）.将上述集合中的元素分成如下四组:1，0，0，0），（1，1，1，0）；（ 0，1，0，0），（1，1，0，1）；（ 0，0，1，0），（ 1，0，1，1）；（0，0， 0，1），（0，1，1，1）.经验证，对于每组中两个元素 a,伏均有M（a, 3） =1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合 B的元素.所以集合 B 中元素的个数不超过 4.又集合 （1， 0， 0， 0），（0， 1， 0， 0），（

15、0， 0， 1， 0），（ 0， 0， 0， 1）满足条件，所以集合 B 中元素个数的最大值为 4.（川）设 Sk=（ X1 , X2,，xn） |（X1, X2,， Xn） A, Xk =1, X1=X2= =Xk-=O）（ k=1 , 2,， n）,Sn+1=（ X1 , X2, ，Xn） | X1=X2= =Xn=0,则 A=Si u S1 U U Sn+1.对于S. （k=1, 2,，n-1）中的不同元素 a, 3经验证，M（a, 3）生所以3 （ k=1 , 2 ,，n -）中的两个元素不可能同时是集合 B的元素.所以B中元素的个数不超过 n+1.取 ek=（ X1 , X2,，Xn） Sk 且 Xk+1= =Xn=0 （k=1, 2，n -）.令B= （e1, e2,，en-）U S U S+1，则集合B的元素个数为n+1,且满足条件.故 B 是一个满足条件且元素个数最多的集合