小学奥数同余问题.docx
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小学奥数同余问题
同余问题
(一)
在平时解题中,我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。
如:
现在时刻是7时30分,再过52小时是几时几分我们知道一天是24小时,,也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时,这样就在7时30分的基础上加上4小时,就是11时30分。
很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。
1.同余的表达式和特殊符号
37和44同除以7,余数都是2,把除数7称作“模7”,37、44对于模7同余。
记作:
(mod7) “”读作同余。
一般地,两个整数a和b,除以大于1的自然数m所得的余数相同,就称a、b对于模m同余,记作:
2.同余的性质
(1)(每个整数都与自身同余,称为同余的反身性。
)
(2)若,那么(这称作同余的对称性)
(3)若,,则(这称为同余的传递性)
(4)若,,则()(这称为同余的可加性、可减性)
(称为同余的可乘性)
(5)若,则,n为正整数,同余还有一个非常有趣的现象:
如果
那么(的差一定能被k整除)
这是为什么呢
k也就是的公约数,所以有
下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】
例1.用412、133和257除以一个相同的自然数,所得的余数相同,这个自然数最大是几
分析与解答:
假设这个自然数是a,因为412、133和257除以a所得的余数相同,所以,,说明a是以上三个数中任意两数差的约数,要求最大是几,就是求这三个差的最大公约数。
所以a最大是31。
例2.除以19,余数是几
分析与解答:
如果把三个数相乘的积求出来再除以19,就太麻烦了,利用同余思想解决就容易了。
所以
此题应用了同余的可乘性,同余的传递性。
例3.有一个1997位数,它的每个数位都是2,这个数除以13,商的第100位是几最后余数是几
分析与解答:
这个数除以13,商是有规律的。
商是170940六个数循环,那么,即,我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”,所以商的第100位是9。
余数是几呢
则
所以商的个位数字应是“170940”中的第4个,商应是9,相应的余数是5。
【模拟试题】(答题时间:
20分钟)
1.求下列算式中的余数。
(1)
(2)
(3) (4)
2.6254与37的积除以7,余数是几
3.如果某数除482,992,1094都余74,这个数是几
同余问题
(二)
【例题分析】
例1.除以7,余数是几
分析与解答:
例2.一个自然数除以3余2,除以5余3,除以7余1,这个自然数最小是几
分析:
假设这个自然数为a
那么
这道题考虑的困难是它们的余数不相同。
如果把这道题改一下,使它们的余数相同,利用整除的知识,便容易考虑了,先看下面一道题:
一个自然数除以3余2,除以5余2,除以7余2,那么,这个自然数若减去2,便同时是3,5,7的倍数,这样的自然数有:
105,210,315,……
分别被3,5,7除余2的数是
2,107,212,317,……
最小的自然数是2。
回过头来看刚才的题,能不能把它也变为余数相同的数呢
稍加变式,可以写成:
这样同时是3,5,7倍数的数有105,210,315,……
那么同时被3,5,7余8的数有:
8,113,218,323,……
其中最小的自然数为8。
例3.在求被7除的余数时,小明这样做:
所以余数是5
刘老师说,小明的算法不仅正确,而且巧妙迅速,你知道其中的道理吗
分析与解答:
看了下面的算式,你就会明白的。
小明用的这种方法,有比较广泛的应用,常称之为“拼凑法”在解关于用几除的余数的问题时,常常“拼凑”出显然是几的倍数的部分,对于这部分,简直可以“置之不理”,这样可以使解答过程简化。
例4.除以3的余数是几为什么
分析与解答:
在上式的加项中,显然可以被3整除,因此只须计算被3除余数是几。
由于
因此
由此可知,只须计算被3除的余数,它又等于被3除的余数。
由于,所以
所以余数是1
【模拟试题】
1.今天是星期日,再过天又是星期几
2.求除以3所得的余数。
3.某数除680,970和1521,余数相同,这个数最大是几
4.有一列数排成一行,其中第一个数是3,第二个数是7,从第三个数开始,每个数恰好是前两个数的和,那么,第1997个数被3除,余数是几
5.若将一批货物共千克装入纸箱,每箱装10千克,最后余多少千克若每箱装17千克,最后还余多少千克
6、1309被一个质数相除,余数是21,求这个质数。
7、1796被一个质数相除,余数是24,求这个质数。
8、求2001×2000除以7的余数。
9、求123×345+234×456除以11的余数。
10、有一个大于1的整数,它除1000、1975、2001都得到相同的余数,那么这个整数是多少
11、有三个数1989、901和306被同一个自然数除,得到相同的余数,求这个自然数。
12、两个自然数相除,商15,余3,被除数、除数、商、余数的和是853,求被除数。
8、两数相除商40余7,被除数、除数、余数和商的和是710,求被除数。
13、有一个数除以3余1,除以4余2,问这个数除以12,余数是几
14、一个数除以5余1,除以6余3,除以7余4,这个数最小是几
15、3867×4253=1644□351,求□里的数。
4937×6845=3379□765,求□里的数。
16、两个自然数相除,商8余16,被除数、除数、商与余数的和为265,求除数是多少
17、写出除以8所得的商和余数(不为0)相同的所有的数。
18、2002×2002-2001除以9的余数是多少
19、当2002和1781除以某一个自然数,余数分别是2和1,那么这个数最大是多少
20、一个数除以17的余数是5,被除数扩大2倍,余数是多少
21、有一个数,除以3余数是1,除以4余数是3。
这个数除以12,余数是多少。
22、570被一个两位数除,余数是15,这个两位数是多少
23、有一个数加上22的和被9除余3,这个数加上35的和被9被余几
B组
24、有一个整数,用它去除45,53,143得到的3个伤痕的和是20,这个数是多少
25、有一个数用它去除100,余数是1,用它去除50,余数是6,求这个数。
26、把几十个苹果平均分成若干份,每份9个余8个,每份8个余7个每份4个余3个。
这堆苹果共有多少个
27、有一个数被5和11整除均余4,被3正好整除,这个数最小是几
28、求被4除余2,被6除余2,被9除余5的两位数。
29、一个数能被3、5、7整除,若用11去除则余7,这个数最小是几
30、小红收数学学习小组买奥数练习本的钱,她只记下四组各交的钱,第一组元,第二组元,第三组元,第四组元,又知道每本练习本价格都超过1角,求数学学习小组共有多少人(提示:
练习本单价是总价的公约数。
)
31、五年级两个班的学生一起排队出操,如果8人排一行,多出一个人;如果11人排一行,同样多出一个人。
这两个班最小共有多少人(提示:
如果减去一人那么人数就能被8和11整除了。
)
32、一个数被4除余3,被5除余4,被6除余5,这样的数中最小的是几(提示:
余数与除数有什么关系)
33、一筐苹果,如果按5个一堆放,最后多出3个;如果按6个一堆放,最后多出4个;如果按7个一堆放,还多出1个;这筐苹果至少有多少个(提示:
先满足被7除余1,再从中找出被6除余4……)
竞赛题精选
1、若2836,4582,5164,6522四个自然数都被同一个自然数相除,所得余数相同且为两位数,除数和余数的和为()。
(2001小学数学奥林匹克试题决赛B卷)
2、一个自然数除以3余2,除以5余2,除以7余5,除以9余5,除以11余4,则满足这些条件的最小自然数是()。
(1996年我爱数学少年冬令营试题)
3、某数除以11余8,除以13余10,除以17余12,那么这个数的最小可能值是()。
(1998年小学数学奥林匹克试题预赛A卷)
4、一个小于200的数,它除以11余8,除以13余10,那么这个数是()。
(1998年小学数学奥林匹克试题预赛B卷)
5、在一道有余数的除法算式中,被除数、除数,商和余数的和是599,已知商是15,余数是12,请问,题目中的除数是多少(厦门实小2000-2001学年第二学期数学科竞赛卷B组)
同余问题——提高训练
1、求437×309×1993被7除的余数。
2、求被3除余2,被5除余3,被7除余5的最小三位数.
3、分别求满足下列条件的最小自然数
(1)用3除余1,用5除余1,用7除余1。
(2)用3除余2,用5除余1,用7除余1。
(3)用3除余1,用5除余2,用7除余2。
4、有一个整数,除300、262、205得到相同的余数.这个整数是几
5、今天是星期四,过14389天后是星期几
6.试一试:
粮库有
千克大米,用每袋50千克的袋子装,最后余下多少千克
7、数2001,2232除以整数n,得到相同的余数,而且这个余数是合数,求n.
8、用一个自然数去除715和903所得余数相同,且商相差4.求这个数.
9、若2836,4582,5146,6522四个自然数被一个自然数相除,所得余数相同且为两位数,除数和余数的和为多少
10、有三个不同的三位数,它们分别除以a,得到的余数相同而且是最大二位偶数,当a为两位数时,这三个数最小的和是多少
11、某年级有将近400名学生。
有一次演出节目排队时出现:
如果每8人站成一列则多余1人;如果改为每9人站成一列则仍多余1人;结果发现现成每10人结成一列,结果还是多余1人;聪名的你知道该年级共有学生多少名吗
12、希望小学六年级和五年级去春游,每辆车可乘36人.六年级先坐满几车,剩下的16人与五年级坐满一车,五年级又坐满若干车.到达目的地后,每一个五年级的学生和每一个六年级学生合影一张,每个胶卷可拍36张.全部学生照相完毕,最后一个胶卷还剩几张未拍
13、甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行.现在要把这四校学生分别进行分组,并使每组的人数尽可能多,以便乘车参观游览.已知甲、乙、丙三个学校分组后,所剩的人数相同,问丁校分组后还剩下几个人
14、试一试:
乐乐玩具店有大小相同的红、蓝、黄、绿四种颜色的小球各344个、277个、411个和555个.现在要用一种精致的小盒分别去装这些小球,每只盒子里装的小球同样多.真巧!
剩下的红、蓝、黄三色小球也恰好同样多.小剩下的绿球有多少个
15、计算机录入员平均每分钟可以输入72个汉字,输入一篇有X679Y个汉字的文章所用的分钟数恰好是整数,求五位数X679Y。