离散数学试题及答案.docx
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离散数学试题及答案
离散数学试题及答案
一、填空题
1设集合A,B，其中A＝｛1,2，3｝,B={1，2｝,则A-B＝____________________；ρ（A）—ρ（B）＝__________________________.
2.设有限集合A,｜A|=n，则｜ρ（A×A）|=__________________________。
3.设集合A=｛a，b｝,B=｛1,2}，则从A到B的所有映射是_______________________________________，其中双射的是__________________________.
4。
已知命题公式G＝⌝（P→Q）∧R，则G的主析取范式是_______________________________
__________________________________________________________。
5。
设G是完全二叉树，G有7个点,其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________。
6设A、B为两个集合，A={1，2,4}，B={3,4}，则从A⋂B＝_________________________；A⋃B＝_________________________；A－B＝_____________________.
7.设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是______________________,________________________,_______________________________.
8。
设命题公式G＝⌝（P→（Q∧R））,则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________，__________________________.
9.设集合A＝｛1，2,3,4},A上的关系R1={（1，4）,（2，3）,（3,2）}，R1={（2，1），（3,2）,（4,3）},则R1∙R2=________________________，R2∙R1=____________________________，R12=________________________.
10。
设有限集A，B，|A｜=m，｜B｜=n,则|｜ρ（A⨯B）｜=_____________________________.
11设A,B，R是三个集合,其中R是实数集，A=｛x｜—1≤x≤1，x∈R}，B=｛x|0≤x<2,x∈R｝,则A—B=__________________________,B-A=__________________________,
A∩B=__________________________,。
13.设集合A＝｛2，3，4，5,6}，R是A上的整除，则R以集合形式（列举法）记为__________________________________________________________________.
14.设一阶逻辑公式G=∀xP（x）→∃xQ（x），则G的前束范式是_______________________________.
15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
16.设谓词的定义域为{a，b}，将表达式∀xR（x）→∃xS（x）中量词消除,写成与之对应的命题公式是__________________________________________________________________________。
17.设集合A＝｛1，2,3，4｝,A上的二元关系R＝{（1，1）,（1,2）,（2，3）｝,S＝{（1，3），（2,3），（3，2）｝。
则R⋅S＝_____________________________________________________，
R2＝______________________________________________________.
二、选择题
1设集合A={2,｛a｝,3,4}，B=｛{a}，3，4,1}，E为全集，则下列命题正确的是（）。
（A）{2}∈A（B）｛a｝⊆A（C）∅⊆{{a}}⊆B⊆E（D）{{a}，1,3，4}⊂B。
2设集合A={1,2，3｝，A上的关系R＝{（1,1）,（2,2）,（2，3），（3，2）,（3,3）}，则R不具备（）.
（A）自反性（B）传递性（C）对称性（D）反对称性
3设半序集（A，≤）关系≤的哈斯图如下所示，若A的子集B={2，3，4,5},则元素6为B的（）.
（A）下界（B）上界（C）最小上界（D）以上答案都不对
4下列语句中,（）是命题。
（A）请把门关上（B）地球外的星球上也有人
（C）x+5>6（D）下午有会吗？
5设I是如下一个解释:
D＝{a，b｝，
则在解释I下取真值为1的公式是（）.
（A）∃x∀yP（x,y）（B）∀x∀yP（x,y）（C）∀xP（x,x）（D）∀x∃yP（x，y）.
6。
若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是（）。
（A）（1，2，2，3,4,5）（B）（1，2,3，4,5，5）（C）（1，1,1,2,3）（D）（2，3，3,4，5，6）。
7.设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝∃xP（x），H＝∀xP（x）,则一阶逻辑公式G→H是（）.
（A）恒真的（B）恒假的（C）可满足的（D）前束范式。
8设命题公式G＝⌝（P→Q），H＝P→（Q→⌝P），则G与H的关系是（）。
（A）G⇒H（B）H⇒G（C）G＝H（D）以上都不是.
9设A，B为集合，当（）时A－B＝B。
（A）A＝B（B）A⊆B（C）B⊆A（D）A＝B＝∅.
10设集合A={1,2,3,4},A上的关系R＝｛（1,1），（2，3）,（2，4）,（3，4）｝，则R具有（）。
（A）自反性（B）传递性（C）对称性（D）以上答案都不对
11下列关于集合的表示中正确的为（）.
（A）{a}∈｛a，b，c}（B）{a｝⊆{a，b，c}（C）∅∈{a，b，c｝（D）{a,b}∈{a,b，c}
12命题∀xG（x）取真值1的充分必要条件是（）。
（A）对任意x，G（x）都取真值1。
（B）有一个x0，使G（x0）取真值1。
（C）有某些x，使G（x0）取真值1.（D）以上答案都不对。
13。
设G是连通平面图，有5个顶点,6个面,则G的边数是（）.
（A）9条（B）5条（C）6条（D）11条.
14。
设G是5个顶点的完全图，则从G中删去（）条边可以得到树。
（A）6（B）5（C）10（D）4。
15.设图G的相邻矩阵为，则G的顶点数与边数分别为（）.
（A）4，5（B）5，6（C）4,10（D）5,8。
三、计算证明题
1.设集合A＝｛1,2,3，4，6，8,9，12｝，R为整除关系。
（1）画出半序集（A,R）的哈斯图；
（2）写出A的子集B=｛3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界；
（3）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。
2.设集合A＝｛1，2,3，4}，A上的关系R＝｛（x,y）|x，y∈A且x≥y}，求
（1）画出R的关系图；
（2）写出R的关系矩阵.
3.设R是实数集合,σ,τ，ϕ是R上的三个映射，σ（x）=x+3，τ（x）=2x，ϕ（x）＝x/4，试求复合映射σ•τ，σ•σ，σ•ϕ，ϕ•τ,σ•ϕ•τ.
4。
设I是如下一个解释：
D={2,3｝，
a
b
f
（2）
f（3）
P（2，2）
P（2，3）
P（3,2）
P（3，3）
3
2
3
2
0
0
1
1
试求
（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））；
（2）∀x∃yP（y，x）.
5.设集合A＝｛1,2,4,6,8,12｝,R为A上整除关系。
（1）画出半序集（A，R）的哈斯图；
（2）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；
（3）写出A的子集B=｛4,6，8，12}的上界，下界,最小上界，最大下界.
6。
设命题公式G=⌝（P→Q）∨（Q∧（⌝P→R）），求G的主析取范式.
7。
（9分）设一阶逻辑公式：
G=（∀xP（x）∨∃yQ（y））→∀xR（x），把G化成前束范式。
9。
设R是集合A=｛a,b,c,d}。
R是A上的二元关系,R=｛（a,b）,（b，a），（b，c），（c，d）｝，
（1）求出r（R）,s（R），t（R）；
（2）画出r（R）,s（R）,t（R）的关系图.
11。
通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：
（1）G=（P∧Q）∨（⌝P∧Q∧R）
（2）H=（P∨（Q∧R））∧（Q∨（⌝P∧R））
13.设R和S是集合A＝｛a，b,c，d}上的关系，其中R＝{（a，a），（a,c），（b,c）,（c，d）｝，S＝｛（a,b）,（b，c）,（b,d），（d，d）}。
（1）试写出R和S的关系矩阵;
（2）计算R•S，R∪S,R－1，S－1•R－1。
四、证明题
1。
利用形式演绎法证明：
{P→Q，R→S,P∨R｝蕴涵Q∨S。
2。
设A,B为任意集合，证明:
（A—B）—C=A-（B∪C）。
3。
（本题10分）利用形式演绎法证明：
{⌝A∨B,⌝C→⌝B，C→D｝蕴涵A→D。
4.（本题10分）A，B为两个任意集合，求证：
A－（A∩B）=（A∪B）－B.
参考答案
一、填空题
1.{3};｛｛3｝，{1，3},｛2，3｝,｛1,2，3}}。
2.。
3.α1={（a，1），（b,1）｝,α2={（a，2）,（b，2）}，α3={（a,1）,（b，2）｝,α4={（a，2），（b，1）｝;α3,α4.
4.（P∧⌝Q∧R）。
5.12,3.
6.{4}，｛1，2，3，4｝,{1,2｝.
7.自反性；对称性；传递性。
8.（1，0，0），（1,0，1）,（1，1，0）.
9.{（1，3）,（2,2）,（3，1）}；{（2,4），（3，3）,（4,2）}；｛（2,2）,（3，3）}。
10.2m⨯n.
11.｛x｜—1≤x<0,x∈R}；｛x|112.12;6.
13.｛（2，2），（2,4）,（2,6），（3，3），（3,6）,（4,4），（5，5），（6,6）}。
14.∃x（⌝P（x）∨Q（x））.
15.21.
16.（R（a）∧R（b））→（S（a）∨S（b））.
17.{（1,3），（2,2）｝；{（1，1）,（1,2）,（1，3）｝。
二、选择题
1.C.2.D.3。
B。
4。
B。
5.D。
6。
C。
7.C.
8。
A。
9.D.10.B。
11.B。
13。
A。
14。
A.15.D
三、计算证明题
1。
（1）
（2）B无上界，也无最小上界。
下界1，3;最大下界是3。
（3）A无最大元，最小元是1，极大元8,12,90+；极小元是1。
2。
R=｛（1，1），（2，1）,（2,2），（3，1），（3,2）,（3,3），（4,1），（4,2），（4,3），（4，4）｝.
（1）
（2）
3.
（1）σ•τ＝σ（τ（x））＝τ（x）+3＝2x+3＝2x+3.
（2）σ•σ＝σ（σ（x））＝σ（x）+3＝（x+3）+3＝x+6，
（3）σ•ϕ＝σ（ϕ（x））＝ϕ（x）+3＝x/4+3，
（4）ϕ•τ＝ϕ（τ（x））＝τ（x）/4＝2x/4=x/2,
（5）σ•ϕ•τ＝σ•（ϕ•τ）＝ϕ•τ+3＝2x/4+3＝x/2+3.
4。
（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））=P（3，f（3））∧P（2,f
（2））
=P（3，2）∧P（2，3）
=1∧0
=0。
（2）∀x∃yP（y，x）=∀x（P（2,x）∨P（3，x））
=（P（2，2）∨P（3，2））∧（P（2，3）∨P（3,3））
=（0∨1）∧（0∨1）
=1∧1
=1。
5.
（1）
（2）无最大元,最小元1，极大元8,12;极小元是1。
（3）B无上界，无最小上界.下界1,2；最大下界2.
6。
G=⌝（P→Q）∨（Q∧（⌝P→R））
=⌝（⌝P∨Q）∨（Q∧（P∨R））
=（P∧⌝Q）∨（Q∧（P∨R））
=（P∧⌝Q）∨（Q∧P）∨（Q∧R）
=（P∧⌝Q∧R）∨（P∧⌝Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（⌝P∧Q∧R）
=（P∧⌝Q∧R）∨（P∧⌝Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧⌝R）∨（⌝P∧Q∧R）
=m3∨m4∨m5∨m6∨m7=∑（3,4，5，6，7）.
7。
G=（∀xP（x）∨∃yQ（y））→∀xR（x）
=⌝（∀xP（x）∨∃yQ（y））∨∀xR（x）
=（⌝∀xP（x）∧⌝∃yQ（y））∨∀xR（x）
=（∃x⌝P（x）∧∀y⌝Q（y））∨∀zR（z）
=∃x∀y∀z（（⌝P（x）∧⌝Q（y））∨R（z））
9。
（1）r（R）＝R∪IA＝｛（a,b）,（b,a），（b,c）,（c,d），（a，a），（b，b），（c,c）,（d,d）｝，
s（R）＝R∪R－1＝{（a,b），（b,a），（b，c），（c,b）（c,d），（d，c）｝，
t（R）＝R∪R2∪R3∪R4＝{（a，a）,（a,b）,（a,c）,（a，d）,（b，a），（b,b）,（b，c）,（b，d），（c，d）｝；
（2）关系图:
11。
G＝（P∧Q）∨（⌝P∧Q∧R）
＝（P∧Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（⌝P∧Q∧R）
＝m6∨m7∨m3
＝∑（3，6,7）
H=（P∨（Q∧R））∧（Q∨（⌝P∧R））
＝（P∧Q）∨（Q∧R））∨（⌝P∧Q∧R）
＝（P∧Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（⌝P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（⌝P∧Q∧R）
＝（P∧Q∧⌝R）∨（⌝P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）
＝m6∨m3∨m7
＝∑（3，6，7）
G，H的主析取范式相同，所以G=H。
13.
（1）
（2）R•S＝｛（a，b）,（c，d）｝，
R∪S＝｛（a，a），（a,b），（a,c），（b,c）,（b，d）,（c，d），（d,d）}，
R－1＝{（a，a），（c,a），（c，b），（d,c）},
S－1•R－1＝｛（b，a），（d，c）｝。
四证明题
1.证明：
{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S
（1）P∨RP
（2）⌝R→PQ
（1）
（3）P→QP
（4）⌝R→QQ
（2）（3）
（5）⌝Q→RQ（4）
（6）R→SP
（7）⌝Q→SQ（5）（6）
（8）Q∨SQ（7）
2。
证明：
（A-B）-C=（A∩~B）∩~C
=A∩（~B∩~C）
=A∩~（B∪C）
=A-（B∪C）
3。
证明：
{⌝A∨B,⌝C→⌝B,C→D｝蕴涵A→D
（1）AD（附加）
（2）⌝A∨BP
（3）BQ
（1）
（2）
（4）⌝C→⌝BP
（5）B→CQ（4）
（6）CQ（3）（5）
（7）C→DP
（8）DQ（6）（7）
（9）A→DD
（1）（8）
所以｛⌝A∨B,⌝C→⌝B，C→D｝蕴涵A→D.
4.证明：
A－（A∩B）
=A∩~（A∩B）
＝A∩（~A∪～B）
＝（A∩～A）∪（A∩~B）
＝∅∪（A∩～B）
＝（A∩~B）
＝A－B
而（A∪B）－B
=（A∪B）∩~B
=（A∩~B）∪（B∩～B）
=（A∩~B）∪∅
=A－B
所以:
A－（A∩B）=（A∪B）－B.
离散数学试题（A卷及答案）
一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法?
如何派?
（1）若A去,则C和D中要去1个人；
（2）B和C不能都去；
（3）若C去，则D留下.
解设A:
A去工作；B：
B去工作；C：
C去工作；D：
D去工作。
则根据题意应有：
A→C⊕D，⌝（B∧C）,C→⌝D必须同时成立。
因此
（A→C⊕D）∧⌝（B∧C）∧（C→⌝D）
⇔（⌝A∨（C∧⌝D）∨（⌝C∧D））∧（⌝B∨⌝C）∧（⌝C∨⌝D）
⇔（⌝A∨（C∧⌝D）∨（⌝C∧D））∧（（⌝B∧⌝C）∨（⌝B∧⌝D）∨⌝C∨（⌝C∧⌝D））
⇔（⌝A∧⌝B∧⌝C）∨（⌝A∧⌝B∧⌝D）∨（⌝A∧⌝C）∨（⌝A∧⌝C∧⌝D）
∨（C∧⌝D∧⌝B∧⌝C）∨（C∧⌝D∧⌝B∧⌝D）∨（C∧⌝D∧⌝C）∨（C∧⌝D∧⌝C∧⌝D）
∨（⌝C∧D∧⌝B∧⌝C）∨（⌝C∧D∧⌝B∧⌝D）∨（⌝C∧D∧⌝C）∨（⌝C∧D∧⌝C∧⌝D）
⇔F∨F∨（⌝A∧⌝C）∨F∨F∨（C∧⌝D∧⌝B）∨F∨F∨（⌝C∧D∧⌝B）∨F∨（⌝C∧D）∨F
⇔（⌝A∧⌝C）∨（⌝B∧C∧⌝D）∨（⌝C∧D∧⌝B）∨（⌝C∧D）
⇔（⌝A∧⌝C）∨（⌝B∧C∧⌝D）∨（⌝C∧D）
⇔T
故有三种派法：
B∧D,A∧C，A∧D。
二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：
某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家.
解:
论域:
所有人的集合。
（）：
是专家；（）:
是工人;（）：
是青年人；则推理化形式为：
（（）∧（）），（）（（）∧（））
下面给出证明：
（1）（）P
（2）（c）T
（1），ES
（3）（（）∧（））P
（4）（c）∧（c）T（3），US
（5）（c）T（4），I
（6）（c）∧（c）T
（2）（5），I
（7）（（）∧（））T（6），EG
三、（10分）设A、B和C是三个集合，则A⊂B⇒⌝（B⊂A）。
证明：
A⊂B⇔∀x（x∈A→x∈B）∧∃x（x∈B∧x∉A）⇔∀x（x∉A∨x∈B）∧∃x（x∈B∧x∉A）
⇔⌝∃x（x∈A∧x∉B）∧⌝∀x（x∉B∨x∈A）⇒⌝∃x（x∈A∧x∉B）∨⌝∀x（x∈A∨x∉B）
⇔⌝（∃x（x∈A∧x∉B）∧∀x（x∈A∨x∉B））⇔⌝（∃x（x∈A∧x∉B）∧∀x（x∈B→x∈A））
⇔⌝（B⊂A）。
四、（15分）设A＝{1，2，3，4,5｝，R是A上的二元关系，且R＝｛<2,1>,<2，5>，<2,4>，<3，4〉,<4，4〉,〈5,2〉}，求r（R）、s（R）和t（R）。
解r（R）＝R∪IA＝｛<2，1>，〈2，5〉，<2,4〉，<3,4>，<4,4>,<5,2>，〈1，1>，<2,2>，<3，3〉，<4，4〉，<5，5〉}
s（R）＝R∪R－1＝{<2，1>，〈2，5〉，〈2,4>，<3，4>，〈4，4〉，〈5，2>，<1，2〉，<4，2〉，〈4，3>｝
R2＝｛<2,2〉，〈2,4>,<3，4〉，<4，4〉，〈5,1>，<5，5>，〈5，4>}
R3＝｛〈2，1〉，〈2,5>，<2，4>，〈3，4>,<4，4>，<5，2>，<5，4>}
R4＝{〈2，2>，<2，4〉，〈3,4>,〈4，4>，<5，1〉，〈5，5>,<5，4>｝＝R2
t（R）＝Ri＝{<2,1>，<2，5〉，<2，4〉，〈3，4>，〈4，4>,<5，2>,<2,2〉，<5，1>，〈5，4>，<5，5〉}.
五、（10分）R是非空集合A上的二元关系，若R是对称的，则r（R）和t（R）是对称的。
证明对任意的x、y∈A,若xr（R）y，则由r（R）＝R∪IA得，xRy或xIAy。
因R与IA对称,所以有yRx或yIAx，于是yr（R）x。
所以r（R）是对称的.
下证对任意正整数n,Rn对称。
因R对称，则有xR2y⇔∃z（xRz∧zRy）⇔∃z（zRx∧yRz）⇔yR2x,所以R2对称。
若对称，则xy⇔∃z（xz∧zRy）⇔∃z（zx∧yRz）⇔yx,所以对称。
因此，对任意正整数n，对称.
对任意的x、y∈A,若xt（R）y，则存在m使得xRmy，于是有yRmx，即有yt（R）x。
因此，t（R）是对称的。
六、（10分）若f:
A→B是双射，则f－1：
B→A是双射。
证明因为f：
A→B是双射，则f－1是B到A的函数。
下证f－1是双射。
对任意x∈A，必存在y∈B使f（x）＝y，从而f－1（y）＝x，所以f－1是满射.
对任意的y1、y2∈B,若f－1（y1）＝f－1（y2）＝x，则f（x）＝y1，f（x）＝y2。
因为f：
A→B是函数，则y1＝y2。
所以f－1是单射。
综上可得,f－1：
B→A是双射.
七、（10分）设是一个半群，如果S是有限集，则必存在a∈S，使得a＊a＝a。
证明因为〈S,*>是一个半群，对任意的b∈S，由＊的封闭性可知，b2＝b＊b∈S,b3＝b2＊b∈S，…，bn∈S，…。
因为S是有限集,所以必存在j＞i，使得＝。
令p＝j－i，则＝*。
所以对q≥i，有＝*。
因为p≥1，所以总可找到k≥1，使得kp≥i。
对于∈S，有＝＊＝*（＊）＝…＝＊。
令a＝,则a∈S且a＊a＝a.
八、（20分）
（1）若G是连通的平面图，且G的每个面的次数至少为l（l≥3）,则G的边数m与结点数n有如下关系：
m≤（n－2）.
证明设G有r个面，则2m＝≥lr.由欧拉公式得，n－m＋r＝2。
于是,m≤（n－2）。
（2）设平面图G＝是自对偶图，则｜E|＝2（｜V｜－1）。
证明设G*＝〈V＊,E*〉是连通平面图G＝的对偶图，则G*≅G,于是|F|＝｜V*｜＝｜V｜,将其代入欧拉公式|V|－｜E｜＋|F|＝2得，｜E｜＝2（｜V｜－1）。
离散数学试题（B卷及答案）
一、（10分）证明（P∨Q）∧（P→R）∧（Q→S）S∨R
证明因为S∨R⇔⌝R→S，所以，即要证（P∨Q）∧（P→R）∧（Q→S）⌝R→S。
（1）⌝R附加前提
（2）P→RP
（3）⌝PT
（1）
（2），I
（4）P∨QP
（5）QT（3）（4）,I
（6）Q→SP
（7）ST（5）（6），I
（8）⌝
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