离散数学试题及答案.docx

1、离散数学试题及答案离散数学试题及答案一、填空题 1 设集合A,B，其中A1,2，3, B= 1，2, 则A - B_； （A） (B) _ .2. 设有限集合A, A| = n， 则 （AA）| = _。3. 设集合A = a， b, B = 1, 2， 则从A到B的所有映射是_ _， 其中双射的是_.4。 已知命题公式G(PQ)R，则G的主析取范式是_。5。设G是完全二叉树，G有7个点,其中4个叶点，则G的总度数为_，分枝点数为_。6 设A、B为两个集合， A= 1，2,4， B = 3,4， 则从AB_； AB_；AB _ .7. 设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是_,

2、 _, _.8。 设命题公式G（P（QR）),则使公式G为真的解释有_，_， _.9. 设集合A1，2,3,4, A上的关系R1 = (1，4),(2，3),(3,2)， R1 = (2，1），（3,2）,(4,3), 则 R1R2 = _，R2R1 =_， R12 =_.10。 设有限集A， B，|A = m， B = n, 则| （AB） = _.11 设A,B，R是三个集合,其中R是实数集，A = x 1x1， xR， B = x | 0x 6 (D)下午有会吗？5 设I是如下一个解释:Da，b， 则在解释I下取真值为1的公式是（ ). (A）xyP(x,y) （B）xyP（x,y） （

3、C)xP(x,x） (D）xyP（x，y).6。 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( ）。 （A)(1，2，2，3,4,5） （B）（1，2,3，4,5，5) （C)（1，1,1,2,3） (D）(2，3，3,4，5，6)。7. 设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，GxP（x)， HxP（x),则一阶逻辑公式GH是( ）. （A)恒真的 （B）恒假的 (C）可满足的 （D）前束范式。8 设命题公式G（PQ)，HP（QP），则G与H的关系是（ ）。 （A)GH (B）HG （C）GH （D）以上都不是.9 设A， B为集合，当( ）时ABB。 （A）AB (B）A

4、B (C）BA （D）AB.10 设集合A = 1,2,3,4, A上的关系R（1,1），（2，3）,（2，4）,(3，4)， 则R具有（ ）。 (A）自反性 (B）传递性 （C）对称性 (D)以上答案都不对11 下列关于集合的表示中正确的为（ ）. (A）aa，b，c (B）aa，b，c (C）a，b，c (D）a,ba,b，c12 命题xG（x)取真值1的充分必要条件是（ ）。(A)对任意x，G(x）都取真值1。 (B)有一个x0，使G(x0）取真值1。 （C)有某些x，使G（x0）取真值1. (D）以上答案都不对。13。 设G是连通平面图，有5个顶点,6个面,则G的边数是（ ）. (A)

5、 9条 （B） 5条 （C） 6条 （D） 11条.14。 设G是5个顶点的完全图，则从G中删去( ）条边可以得到树。 （A)6 （B）5 (C)10 (D）4。15. 设图G的相邻矩阵为，则G的顶点数与边数分别为（ ). (A）4， 5 (B）5， 6 (C）4, 10 (D)5, 8。三、计算证明题1.设集合A1, 2, 3， 4， 6， 8, 9， 12，R为整除关系。(1)画出半序集（A,R)的哈斯图；(2)写出A的子集B = 3,6,9,12的上界，下界，最小上界，最大下界；(3)写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。2.设集合A1， 2, 3， 4，A上的关系R(x,y) | x

6、， yA 且 x y， 求 (1)画出R的关系图；(2)写出R的关系矩阵.3.设R是实数集合,，是R上的三个映射，（x） = x+3， (x) = 2x， （x） x/4，试求复合映射， ， ,.4。 设I是如下一个解释：D = 2, 3， abf （2）f (3)P（2， 2)P(2， 3)P（3, 2)P(3， 3)32320011试求 （1） P（a, f (a）)P(b, f （b)）；(2） xy P (y， x).5. 设集合A1, 2, 4, 6, 8, 12,R为A上整除关系。(1)画出半序集（A，R）的哈斯图；(2)写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；(3)写出A的子集B

7、 = 4, 6， 8， 12的上界，下界,最小上界，最大下界.6。 设命题公式G = （PQ）（Q(PR）， 求G的主析取范式.7。 (9分)设一阶逻辑公式：G = （xP(x）yQ(y）)xR(x），把G化成前束范式。9。 设R是集合A = a, b, c, d。 R是A上的二元关系, R = （a,b）, （b，a）， （b，c)， (c，d)，(1)求出r（R）, s(R）， t(R)；(2)画出r(R）, s(R), t（R)的关系图.11。 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：（1） G = (PQ)（PQR） (2) H = (P(QR）)（Q（PR）13. 设R和S是集合A

8、a， b, c， d上的关系，其中R(a， a），（a, c），(b, c),（c， d）， S（a, b),(b， c）,（b, d)，（d， d）。（1) 试写出R和S的关系矩阵;(2) 计算RS， RS, R1， S1R1。四、证明题1。 利用形式演绎法证明：PQ， RS, PR蕴涵QS。2。 设A,B为任意集合，证明:(AB）C = A-（BC）。3。 （本题10分）利用形式演绎法证明：AB, CB， CD蕴涵AD。4. （本题10分)A， B为两个任意集合，求证：A(AB) = （AB）B .参考答案一、填空题 1. 3; 3，1，3,2，3,1,2，3。 2.。3.1= (a，1）

9、， （b,1), 2= （a，2), （b，2)，3= (a,1), (b，2), 4= （a，2）， (b，1）; 3, 4.4.（PQR)。5.12, 3. 6.4， 1， 2， 3， 4, 1, 2. 7.自反性；对称性；传递性。8.（1， 0， 0）， (1, 0， 1), (1， 1， 0）.9.(1，3),(2,2）,(3，1)； （2,4)，（3，3),（4,2)； (2,2),(3，3）。10.2mn.11.x 1x 0, xR； x | 1 x 2, xR; x | 0x1， xR。12.12; 6.13.（2， 2），(2, 4）,(2, 6)，（3， 3），（3, 6）,

10、(4, 4)，（5， 5），（6, 6)。14.x（P(x)Q(x)）.15.21.16.(R(a）R(b）（S(a）S(b).17.(1, 3)，（2, 2)； (1， 1),（1, 2）,（1， 3)。 二、选择题 1. C. 2. D. 3。 B。 4。 B。5. D。 6。 C。 7. C.8。 A。 9. D. 10. B。 11. B。 13。 A。 14。 A. 15. D三、计算证明题1。 （1）(2） B无上界，也无最小上界。下界1， 3; 最大下界是3。(3） A无最大元，最小元是1，极大元8, 12, 90+； 极小元是1。2。R = （1，1），(2，1),（2,2)，

11、(3，1），(3,2）,（3,3)，（4,1)，（4,2)，（4,3），(4，4).(1) （2）3. (1）（x)（x）+32x+32x+3.（2)（(x）(x)+3(x+3)+3x+6，(3）（x)（x）+3x/4+3， （4）（(x）(x)/42x/4 = x/2,（5)()+32x/4+3x/2+3.4。 (1） P(a, f （a)）P（b, f （b) = P(3， f （3)P（2, f (2) = P（3， 2)P（2， 3) = 10 = 0。 (2） xy P （y， x） = x (P （2, x)P (3， x）) = (P （2， 2)P (3， 2）)(P (2，

12、3）P （3, 3） = (01)(01) = 11 = 1。5. (1）（2) 无最大元,最小元1，极大元8, 12; 极小元是1。(3） B无上界，无最小上界.下界1, 2； 最大下界2.6。 G = (PQ）（Q(PR)） = （PQ)(Q（PR) = (PQ）(Q(PR） = （PQ)(QP）（QR) = (PQR)(PQR）（PQR)(PQR）（PQR）(PQR) = (PQR）（PQR）（PQR）(PQR)（PQR） = m3m4m5m6m7 = (3, 4， 5， 6， 7).7。 G = (xP（x）yQ（y）)xR(x） = (xP(x)yQ(y)xR(x) = (xP（x）

13、yQ（y）)xR(x） = （xP（x)yQ(y)zR（z) = xyz（(P(x)Q(y)）R(z)9。 （1) r(R）RIA(a,b）, (b,a)， (b,c）, (c,d)， (a，a）， （b，b）， （c,c), (d,d)，s（R)RR1(a,b）， （b,a）， （b，c)， (c,b） (c,d)， （d，c)，t(R)RR2R3R4(a，a), (a,b), （a,c), (a，d), (b，a）， （b,b), (b，c), （b，d）， (c，d）；(2)关系图:11。 G(PQ）（PQR)（PQR）（PQR)(PQR）m6m7m3 (3， 6, 7)H = （P（Q

14、R）(Q（PR)（PQ）（QR）(PQR）（PQR）(PQR）(PQR)(PQR）(PQR)（PQR）(PQR)（PQR）m6m3m7 （3， 6， 7）G，H的主析取范式相同，所以G = H。13. （1) （2）RS（a， b）,(c， d），RS(a， a)，（a, b），(a, c），(b, c）,（b， d）,（c， d），（d, d)， R1(a， a），(c, a)，(c， b)，（d, c）,S1R1（b， a），(d， c)。四 证明题1. 证明：PQ, RS, PR蕴涵QS（1） PR P（2) RP Q（1）（3） PQ P（4） RQ Q(2)（3)（5） QR Q(4

15、)(6） RS P（7) QS Q(5）（6)(8） QS Q（7)2。 证明：(A-B)-C = (AB)C = A（BC） = A(BC） = A-（BC)3。 证明：AB, CB, CD蕴涵AD（1) A D（附加）（2) AB P(3) B Q(1)（2)（4） CB P(5) BC Q（4）（6) C Q(3)（5)(7） CD P（8） D Q（6)(7)（9) AD D(1）(8）所以 AB, CB， CD蕴涵AD.4.证明：A（AB） = A（AB)A（AB)(AA）（AB）（AB）(AB)AB而 (AB)B= （AB）B= (AB)(BB）= (AB)= AB所以:A(AB)

16、 = （AB)B.离散数学试题（A卷及答案）一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D 4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法?如何派?（1）若A去,则C和D中要去1个人；(2)B和C不能都去；(3）若C去，则D留下.解 设A:A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。则根据题意应有：ACD，（BC）,CD必须同时成立。因此(ACD)（BC)(CD)（A（C D)（CD）)(BC)(CD)（A（C D)(CD)（(BC)(BD）C(CD）)（ABC)（ABD）（AC)（ACD)(C DBC)（C DBD)(C DC)(C DCD)（CDBC)（CDBD）(CDC）(CDC

17、D)FF(AC）FF（C DB）FF(CDB)F(CD)F（AC）(BC D）（CDB)(CD)（AC）（BC D）(CD）T故有三种派法：BD,AC，AD。二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家.解:论域:所有人的集合。（)：是专家；():是工人;()：是青年人；则推理化形式为：（）(）)，(）（(）（)下面给出证明：(1）() P（2)(c） T（1)，ES(3）(（)（）) P(4)（ c)（ c） T（3)，US（5)（ c) T(4），I(6）( c）(c) T(2）(5)，I（7)（()(）)

18、 T(6） ，EG三、（10分）设A、B和C是三个集合，则AB（BA)。证明：ABx（xAxB)x（xBxA）x（xAxB）x（xBxA)x（xAxB)x（xBxA)x（xAxB)x(xAxB)(x(xAxB）x（xAxB)）(x(xAxB)x(xBxA）(BA)。四、（15分)设A1，2，3，4,5，R是A上的二元关系，且R,，3，4,4，4,5,2，求r（R）、s(R)和t(R）。解 r（R）RIA，2，5，2,4，,，1，1，3，3，4，4，5，5s（R）RR1，2，5，2,4，4，4，5，2，1，2，R2,3，4，5，4R32，1，2,5，3，4,，R42，2，,4，4，,R2t（R)

19、Ri，2，5，4，4,2,2，5，4，5，5.五、（10分）R是非空集合A上的二元关系，若R是对称的，则r（R)和t(R）是对称的。证明 对任意的x、yA,若xr（R)y，则由r(R）RIA得，xRy或xIAy。因R与IA对称,所以有yRx或yIAx，于是yr（R）x。所以r(R)是对称的.下证对任意正整数n,Rn对称。因R对称，则有xR2yz(xRzzRy）z(zRxyRz）yR2x,所以R2对称。若对称，则xyz(xzzRy）z(zxyRz)yx,所以对称。因此，对任意正整数n，对称.对任意的x、yA,若xt(R)y，则存在m使得xRmy，于是有yRmx，即有yt(R）x。因此，t(R)是

20、对称的。六、（10分）若f:AB是双射，则f1：BA是双射。证明 因为f：AB是双射，则f1是B到A的函数。下证f1是双射。对任意xA，必存在yB使f（x）y，从而f1(y)x，所以f1是满射.对任意的y1、y2B,若f1（y1)f1（y2)x，则f(x）y1，f(x)y2。因为f：AB是函数，则y1y2。所以f1是单射。综上可得,f1：BA是双射.七、(10分）设是一个半群，如果S是有限集，则必存在aS，使得aaa。证明 因为S,*是一个半群，对任意的bS，由的封闭性可知，b2bbS,b3b2bS，bnS，。因为S是有限集,所以必存在ji，使得。令pji，则*。所以对qi，有*。因为p1，所

21、以总可找到k1，使得kpi。对于S，有*()。令a,则aS且aaa.八、（20分)(1）若G是连通的平面图，且G的每个面的次数至少为l（l3）,则G的边数m与结点数n有如下关系：m（n2）.证明 设G有r个面，则2mlr.由欧拉公式得，nmr2。于是, m（n2)。（2)设平面图G是自对偶图，则 E|2(V1)。证明 设G*V,E*是连通平面图G的对偶图，则G* G,于是|F|V*V,将其代入欧拉公式|V|E|F|2得，E2(V1)。离散数学试题（B卷及答案）一、（10分）证明(PQ）（PR）（QS)SR证明 因为SRRS，所以，即要证（PQ)（PR)（QS)RS。（1)R 附加前提（2）PR P（3）P T（1)(2)，I（4）PQ P（5)Q T（3)（4）,I(6）QS P(7）S T(5）（6)，I(8）