小学奥数数论讲义2拆填数讲义适合一年级到四年级1.docx
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小学奥数数论讲义2拆填数讲义适合一年级到四年级1
拆填数专题
目标：
1.数阵图的三种解法：
找突破口，重叠与方程思想。
其中前两种方法是特例，随意练练，方程思想解数阵图是核心。
2.竖式拆填法：
找突破口与方程思想。
3.横式拆填发：
A类学生：
在B类基础上，掌握方程思想的解答过程，这类思想解答过程中包括了把问题转化为数学式子，结合条件讨论式子成立和数字成立的可能性，对学生探索问题，解决问题能力有很大提升。
B类学生：
掌握找突破口的方法即可，明确点任何问题，都有其特殊有规律地方，这个特殊有规律地方可能就是思考的突破口。
同时掌握观察和分类讨论的逻辑顺序：
大小顺序，前后顺序，不同相同等顺序。
选突破口的原则：
那个产生的分类讨论最少，就选哪个，哪个相对稳定就选哪个。
拆填数本身可能是一个磨练大脑的坑，题目没意义，除了练脑子外，似乎找不到价值。
其实不然，练习数阵图和数字拆填，尤其是其中的找特殊位置、方程思想和分类讨论，是对分析问题的锻炼。
这个难度几乎与大学接轨，触摸到数学的核心。
一、数阵图前身
【适合一年级】
数学解题的思想，发现问题，也就是在一群内容中，发现与众不同的地方，这个地方就是解决问题的突破口。
数阵图表现得最为明显。
例如右图所示。
在正方形空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、斜行的四个数相加都得34。
小结：
如右图所示。
把适当的数填到三角形的空圈里，使每条直线上3个圈中的数相加都是10。
小结：
例如右图，把3、4、6、7四个数填在四个空格里，使横行、竖行三个数相加都得14。
怎样填？
二、数阵模型一
【适合二年级】
特点：
有重叠。
解法：
因为重叠，所以解答的关键在重叠。
例如右图所示。
把1、2、3、4、5五个数填入五个圆圈里，要求分别满足以下条件：
（1）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于8；
（2）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于9；
（3）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于10。
解答提示：
独立+联合，联合点是关键，联合点共有
小结：
例（圈再多点）如图所示。
把1、2、3、4、5、6、7七个数填在右图中的七个圆圈里，每个数只能用一次，使每条线上的三个数相加之和都等于12。
解答提示：
无论圈多少，关键在于公共位置，不在于圈的数量。
小结：
例（公共的圈多点）如图所示。
把1、2、3、4、5、6六个数分别填入右图的圆圈里，使三角形每条边上三个数之和都等于9。
解答提示：
公共的多了，多了怎么办，就跟一筐苹果，3个人分一样，大家根据实际情况来分，有时候平分，有时候看功劳来分，有时候看实际需求来分，怎么分谁说的定呢。
所以，圈多了，没关系，分分就好
小结：
例（环环相扣）把2、3、4、5、6、7、8、9、10、11填入右图空白圆圈内，使每个大圆上四个小圆圈内的数的和都是29。
你能填吗？
解答提示：
一圈多次（≥3）重合，重合=一样，多次一样=平分
小结：
例（环环相扣，不扣一起）见图。
把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数分别填入圆圈里，使每个正方形的四个数相加之和都等于24。
解答提示：
只要重合，思路不变、
小结：
例见图。
把1、2、3、4、5、6、7填入右图圆圈中，使横行、竖行、斜行三个圆圈中的数相加之和都等于12。
小结：
三、数阵进阶
【适合二年级】
解决这类问题3种方法，一类是根据题目有选择性的找突破口；第二类是重叠法，针对超过3个重叠，方法无效；第三类是用方程的思想分类讨论，解决问题。
例重新按图9—10进行排列，使每边三张卡片上的数的和等于：
①13，②15.
例图是由八个小圆圈组成的，每个小圆圈都有直线与相邻的小圆圈相接连.请你把1、2、3、4、5、6、7、8八个数字分别填在八个小圆圈内，但相邻的两个数不能填入有直线相连的两个小圆圈（例如，你在最上头的一个小圆圈中填了5，那么4和6就不能填在第二层三个小圆圈中了）.
例在图9—15，9—16中，只能用图中已有的三个数填满其余的空格，并要求每个数字必须使用3次，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都必须相等.
例图9—21是由四个三角形组成的，每个三角形上都有三个小圆圈.请你把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数填在九个小圆圈中，让每个三角形上的三个数之和都是15.
图9—22是由四个扁而长的圆圈组成的，在交点处有8个小圆圈.请你把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填在8个小圆圈中.要求每个扁长圆圈上的四个数字的和都等于18.
四.封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图
居然是解方程！
【适合四年】
例（封闭型数阵图）将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？
解答提示：
跟数的拆分一样，设定未知数，用未知数列方程组来思考问题。
无非把方程组做到极简单，搞定几个空，再拓展。
解答小结：
用方程思想，将问题转化为数学式子，解决数学式子解决问题。
核心：
对数字讨论。
例（辐射型数阵图）请你把1～7这七个自然数，分别填在下图
（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填？
解答提示：
跟数的拆分一样，设定未知数，用未知数列方程组来思考问题。
无非把方程组做到极简单，搞定几个空，再拓展。
只是讨论选择的点不同。
解答小结：
例（复合型数阵图）如下图
（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.
解答提示：
跟数的拆分一样，设定未知数，用未知数列方程组来思考问题。
无非把方程组做到极简单，搞定几个空，再拓展。
只是讨论选择的点不同。
解答小结：
例（复合型数阵图）将1～16分别填入下图
（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34，图中已填好八个数，请将其余的数填完.
解答提示：
跟数的拆分一样，设定未知数，用未知数列方程组来思考问题。
无非把方程组做到极简单，搞定几个空，再拓展。
只是讨论选择的点不同。
解答小结：
五、有趣的数阵图（练）
【适合四年级】
解决这类问题3种方法，一类是根据题目有选择性的找突破口；第二类是重叠法，针对超过3个重叠，方法无效；第三类是用方程的思想分类讨论，解决问题。
本章节内容：
以练习巩固为主。
例下面图形包括六个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使六个算式都成立，那么最右边圆圈中的数最少是几？
例在下图中的各题中，将从1开始的连续自然数填入各题的圆圈中，要使每边上的数字之和都相等，中心处各有几种填法？
（每小题请给出一个解）
例在下左图的七个圆圈内各填上一个数，要求每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已填好两个数，求x是多少？
例将1～7这七个自然数分别填入右图的7个小圆圈中，使三个大圆圆周上及内部的四个数之和都等于定数S，并指出这个定数S的取值范围，最小是多少，最大是多少？
并对S最小值填出数阵.
例把20以内的质数分别填入右图的八个圆圈中，使圈中用箭头连接起来的每条路上的四个数之和都相等.
例在一个立方体各个顶点上分别填入1～9这九个数中的八个数，使得每个面上四个顶点所填数字之和彼此相等，并且这个和数不能被那个没有被标上的数字整除.试求：
没有被标上的数字是多少？
并给出一种填数的方法.
例将1～8这八个数标在立方体的八个顶点上，使得每个面的四个顶点所标数字之和都相等.
例在下左图中，将1～9这九个数，填人圆圈内，使每个三角形三个顶点的数字之和都相等.
例在有大小六个正方形的方框下左图中的圆圈内，填入1～9这九个自然数，使每一个正方形角上四个数字之和相等.
例将1～9这九个数字分别填入右图中的九个圆圈中，使各条边上的四个圆圈内的数的和相等.
例在右图的空白的区域内分别填上1、2、4、6四个数，使每个圆中的四个数的和都是15.
例将1～6六个自然数字分别填入下图的圆圈内，使三角形每边上的三数之和都等于定数S，指出这个定数S的取值范围.并对S=11时给出一种填法.
例将1～10这十个自然数分别填入下左图中的10个圆圈内，使五边形每条边上的三数之和都相等，并使值尽可能大.
例将1～8填入上右图中圆圈内，使每个大圆周上的五个数之和为21.
七、幻方
【适合四年级】
解决这类问题3种方法，一类是根据题目有选择性的找突破口；第二类是重叠法，针对超过3个重叠，方法无效；第三类是用方程的思想分类讨论，解决问题
例将1～9这九个数，填入下左图中的方格中，使每行、每列、两条对角线上三个数字的和都相等.
例在右图中的A、B、C、D处填上适当的数，使右图成为一个三阶幻方.
例将右图中的数重新排列，使得横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等.
例将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入3×3阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.
八、加减法拆组
【适合一年级】
刚接触加减法拆分，主要还是以观察数的特征为主，从特殊点位置来解答问题。
例给你1、2、3、4、16、17、18、19这八个数，要求：
①把它们分成四组，使每组的两个数相加之和相等。
②再用这八个数组成如下的两个算式。
□+□-□=□
□+□-□=□
解答提示：
对这类题目一是要大胆尝试，边想边写，千万不要只想不写！
不断尝试，尝试的顺序无非就是：
大小顺序，加减顺序等等。
解题小结：
例在1、2、3、4、5、6、7之间放几个“+”号，使它们的和等于100，试试看。
1234567=100
解答提示：
对这类题目一是要大胆尝试，边想边写，千万不要只想不写！
不断尝试，尝试的顺序无非就是：
大小顺序，加减顺序等等。
解题小结：
例用1、2、3、4、5、6、7这七个数字组成五个数，使组成的两个两位数与三个一位数相加之和正好等于100，你能够办得到吗？
解答提示：
初级的竖式加减，解法两种，一类是方程思想，一年级显然没学，二就是观察尝试法，从特殊位置入手，所谓特殊位置：
首末位置+命题人故意放的特殊数。
解答小结：
人设计出来的，一定有漏洞，越特殊的地方，越是漏洞的地方。
九、竖式加减法
【适合三年级】
建议：
在解答竖式加减法问题时，以观察特点为主，解方程为辅，但是解方程的思路建议在此处就给学生讲讲，为后面的难度竖式加减准备。
例（基本问题）在下面算式的空格中，各填入一个合适的数字，使算式成立.
解答提示：
初级的竖式加减，解法两种，一类是方程思想，一年级显然没学，二就是观察尝试法，从特殊位置入手，所谓特殊位置：
首末位置+命题人故意放的特殊数。
练在下面算式的空格内各填入一个合适的数字，使算式成立。
解答提示：
初级的竖式加减，解法两种，一类是方程思想，一年级显然没学，二就是观察尝试法，从特殊位置入手，所谓特殊位置：
首末位置+命题人故意放的特殊数。
例（有条件拆填）用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成下面的加法算式，每个数字只许用一次，现已写出三个数字，请把这个算式补齐.
解答提示：
初级的竖式加减，解法两种，一类是方程思想，一年级显然没学，二就是观察尝试法，从特殊位置入手，所谓特殊位置：
首末位置+命题人故意放的特殊数。
有条件的竖式加减，需要在判定的时候，对附件条件判断讨论。
例（减法问题）在下面算式的空格内填上合适的数字，使算式成立。
练在下面的加法算式的空格内各填入一个合适的数字，使算式成立.
例（加减混合）在下面算式的空格内各填入一个合适的数字，使算式成立.
十、乘除法拆填数
【适合三年级】
解法同加减法拆填数，略
例（乘法）在右面算式的方框中填上适当的数字，使算式成立
例（除法）在右面算式的方框中填上适当的数字，使算式成立
十一、数字迷的拆填数（有条件的拆填数）
解答乘法有条件的拆填数问题两种思想方法：
一是观察发现特征，二是方程思想。
两类思想代表的思路和境界不同，对于A类学生两类都必须掌握，B类学生会发现特征即可。
B类学生解答此类问题，会比较困难。
除法的拆填数：
目前来看，发现特征是最简单的，方程思想相对复杂些，逆向方程解答也是可以的。
右面算式中每一个汉字代表一个数字，不同的汉字表示不同的数字.当它们各代表什么数字时算式成立？
例
例
例
例
例
练：
十二、填横式
【适合四年级】
找突破口：
大小顺序，前后顺序，难以顺序，特殊一般顺序等，原则：
那个分类讨论情况最少选哪个。
方程思想：
也不是所有题都容易解。
例将1～9这九个数字分别填入下面算式的九个□中，使每个算式都成立.
解答提示：
乘法是突破口，原因加减太多要思考，乘法需要分类讨论的比较少。
练：
将1～9分别填入下面算式的 中，使每个算式都成立，其中1，2，5已填出.
例将1～8这八个数字分别填入下面算式的□中，使每个算式都成立.
例（除法）将1～9这九个数字分别填入下面算式的空格内，其中有一个数字已经知道，每个空格内只许填一个数字，使算式成立：
练1～9这九个数字分别填入下面算式的空格中，每个空格只许填一个数字，使算式成立：
例（乘除法混合）下题是由1～9这九个数字组成的算式，其中有一个数字已经知道，请将其余的数字填入空格，使算式成立：
练：
是由1～9这九个数字组成的算式，请将这些数字填入空格，使算式成立．
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