(6分)
24、解:
(1)①如图2中,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AB=AB′=AC′,
∵DB′=DC′,
∴AD⊥B′C′,
∵∠BAC=60°,∠BAC+∠B′AC′=180°,
∴∠B′AC′=120°,
∴∠B′=∠C′=30°,
∴AD=AB′=BC,
故答案为.(2分)
②如图3中,
∵∠BAC=90°,∠BAC+∠B′AC′=180°,
∴∠B′AC′=∠BAC=90°,
∵AB=AB′,AC=AC′,
∴△BAC≌△B′AC′,
∴BC=B′C′,
∵B′D=DC′,
∴AD=B′C′=BC=4,
故答案为4.(2分)
(2)结论:
AD=BC.(1分)
理由:
如图1中,延长AD到M,使得AD=DM,连接E′M,C′M
∵B′D=DC′,AD=DM,
∴四边形AC′MB′是平行四边形,
∴AC′=B′M=AC,
∵∠BAC+∠B′AC′=180°,∠B′AC′+∠AB′M=180°,
∴∠BAC=∠MB′A,∵AB=AB′,
∴△BAC≌△AB′M,
∴BC=AM,
∴AD=BC.(4分)
(3)存在.(1分)
理由:
如图4中,延长AD交BC的延长线于M,作BE⊥AD于E,作线段BC的垂直平分线交BE于P,交BC于F,连接PA、PD、PC,作△PCD的中线PN.
连接DF交PC于O.
∵∠ADC=150°,
∴∠MDC=30°,
在Rt△DCM中,∵CD=2,∠DCM=90°,∠MDC=30°,
∴CM=2,DM=4,∠M=60°,
在Rt△BEM中,∵∠BEM=90°,BM=14,∠MBE=30°,
∴EM=BM=7,
∴DE=EM﹣DM=3,
∵AD=6,
∴AE=DE,∵BE⊥AD,
∴PA=PD,PB=PC,
在Rt△CDF中,∵CD=2,CF=6,
∴tan∠CDF=,
∴∠CDF=60°=∠CPF,
易证△FCP≌△CFD,
∴CD=PF,∵CD∥PF,
∴四边形CDPF是矩形,
∴∠CDP=90°,
∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°,
∴△ADP是等边三角形,
∴∠ADP=60°,∵∠BPF=∠CPF=60°,
∴∠BPC=120°,
∴∠APD+∠BPC=180°,
∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”,
在Rt△PDN中,∵∠PDN=90°,PD=AD=6,DN=,
∴PN===.(4分)
25、解:
(1)把A(0,8),B(﹣4,0)代入y=﹣
x2+bx+c得
,解得
,
所以抛物线的解析式为y=﹣
x2+x+8;
当y=0时,﹣
x2+x+8=0,解得x1=﹣4,x2=8,
所以C点坐标为(8,0);(4分)
(2)①连结OF,如图,设F(t,﹣
t2+t+8),
∵S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF,
∴S△CDF=S△ODF+S△OCF﹣S△OCD=
•4•t+
•8•(﹣
t2+t+8)﹣
•4•8
=﹣t2+6t+16
=﹣(t﹣3)2+25,
当t=3时,△CDF的面积有最大值,最大值为25,
∵四边形CDEF为平行四边形,
∴S的最大值为50;(5分)
②∵四边形CDEF为平行四边形,
∴CD∥EF,CD=EF,
∵点C向左平移8个单位,再向上平移4个单位得到点D,
∴点F向左平移8个单位,再向上平移4个单位得到点E,即E(t﹣8,﹣
t2+t+12),
∵E(t﹣8,﹣
t2+t+12)在抛物线上,
∴﹣
(t﹣8)2+t﹣8+8=﹣
t2+t+12,解得t=7,
当t=7时,S△CDF=﹣(7﹣3)2+25=9,
∴此时S=2S△CDF=18,F(7,).(5分)