空间中的平行关系.docx

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空间中的平行关系

空间中的平行关系（提高篇）

高考会这样考

　1.考查空间平行关系的判定及性质有关命题的判定；2.解答题中证明或探索空间的平行关系．

复习备考要这样做

　1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程的叙述步骤要完整，避免因条件书写不全而失分；

2.转化的思想

解决空间线面、面面平行关系的问题关键是作好下列转化

3.解题技巧

要能够灵活作出辅助线、面来解题，作辅助线、面一定要以某一定理为理论依据．

注意常用方法：

三角形中位线法，构造平行四边形法等。

知识点回顾

1.线面平行的判定及性质定理；

2.面面平行的判定及性质定理；

要求会用数学语言和图形语言表达。

题组一

利用线面平行，面面平行的判定与性质解答选择填空题型

1．已知不重合的直线a，b和平面α，

①若a∥α，b⊂α，则a∥b；

②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若a∥b，b⊂α，则a∥α；

④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α.

上面命题中正确的是________（填序号）．

2．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，有下列命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．

其中真命题的序号是________．

3．设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列结论中正确的是（　　）

A．若m∥α，m∥n，则n∥α

B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β

C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β

D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β

4．已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题：

①若m∥α，则m平行于平面α内的任意一条直线；

②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；

③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；

④若α∥β，m⊂α，则m∥β.

题组二

线面平行的判定与性质

1.

如图，点C是以AB为直径的圆上一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE∥BC，DC⊥BC，DE＝

BC＝2，AC＝CD＝3.证明：

EO∥平面ACD；

2.如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE∥DF，∠DEF＝90°.

（1）求证：

BE∥平面ADF；

3..如图，四棱锥A-BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：

CD∥平面EFGH.

4.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点．求证：

MN∥平面AA1C1C.

题组三

面面平行的判定与性质

1.

如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、

C1D1、A1A的中点.求证：

（1）BF∥HD1；

（2）EG∥平面BB1D1D；

（3）平面BDF∥平面B1D1H.

2.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，

A1B1，A1C1的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

题组四

平行中的探索性问题

1.

如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？

若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．

2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：

当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

空间中的平行关系（习题课）

高考会这样考

　1.考查空间平行关系的判定及性质有关命题的判定；2.解答题中证明或探索空间的平行关系．

复习备考要这样做

　1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程的叙述步骤要完整，避免因条件书写不全而失分；

2.转化的思想

解决空间线面、面面平行关系的问题关键是作好下列转化

3.解题技巧

要能够灵活作出辅助线、面来解题，作辅助线、面一定要以某一定理为理论依据．

注意常用方法：

三角形中位线法，构造平行四边形法等。

知识点回顾

1.线面平行的判定及性质定理；

2.面面平行的判定及性质定理；

要求会用数学语言和图形语言表达。

题组一

利用线面平行，面面平行的判定与性质解决选择填空题型

1．已知不重合的直线a，b和平面α，

①若a∥α，b⊂α，则a∥b；

②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若a∥b，b⊂α，则a∥α；

④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α.

上面命题中正确的是________（填序号）．

答案　④

解析　①若a∥α，b⊂α，则a，b平行或异面；②若a∥α，b∥α，则a，b平行、相交、异面都有可能；③若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α.

3．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，有下列命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．

其中真命题的序号是________．

答案　②

解析　因为α∥β，a⊂α，所以a∥β，在平面β内存在无数条直线与直线a平行，但不是所有直线都与直线a平行，故命题②为真命题，命题①为假命题．在平面β内存在无数条直线与直线a垂直，故命题③为假命题．

4．设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列结论中正确的是（　　）

A．若m∥α，m∥n，则n∥α

B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β

C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β

D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β

答案　D

解析　D中，易知m∥β或m⊂β，

若m⊂β，又n∥m，n⊄β，∴n∥β，

若m∥β，过m作平面γ交平面β于直线p，则m∥p，又n∥m，∴n∥p，又n⊄β，p⊂β，∴n∥β.

10．已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题：

①若m∥α，则m平行于平面α内的任意一条直线；

②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；

③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；

④若α∥β，m⊂α，则m∥β.

上面的命题中，真命题的序号是________（写出所有真命题的序号）．

解析：

①由m∥α，则m与α内的直线无公共点，∴m与α内的直线平行或异面．故①不正确．

②α∥β，则α内的直线与β内的直线与无共点，

∴m与n平行或异面，故②不正确．

③④正确．

答案：

③④

5.a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题

①

⇒α∥β②

⇒α∥β

③

⇒a∥α④

⇒α∥a

其中正确的命题是（　　）

A．①②③B．①④

C．②D．①③④

解析②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a可能在α内．

答案C

题组二

线面平行的判定与性质

例1

　正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：

PQ∥平面BCE.

思维启迪：

证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性质．

证明　方法一　

如图所示．

作PM∥AB交BE于M，

作QN∥AB交BC于N，

连接MN.

∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD.

又AP＝DQ，∴PE＝QB，

又PM∥AB∥QN，∴

＝

＝

＝

，

∴

＝

，

∴PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形，

∴PQ∥MN.

又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，

∴PQ∥平面BCE.

方法二　

如图，连接AQ，并延长交BC延长线于K，连接EK，

∵AE＝BD，AP＝DQ，

∴PE＝BQ，∴

＝

，

又AD∥BK，∴

＝

，

∴

＝

，∴PQ∥EK.

又PQ⊄平面BCE，EK⊂平面BCE，

∴PQ∥平面BCE.

方法三　如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE，交AB于点M，

连接QM.

∴PM∥平面BCE，

又∵平面ABEF∩平面BCE＝BE，

∴PM∥BE，∴

＝

，

又AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，

∴

＝

，∴

＝

，

∴MQ∥AD，又AD∥BC，

∴MQ∥BC，∴MQ∥平面BCE，

又PM∩MQ＝M，BE∩BC＝B，

∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ⊂平面PMQ.

∴PQ∥平面BCE.

探究行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）；（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β）．提高　判断或证明线面平行的常用方法：

（1）利用线面平行的定义（无公共点）；

（2）利用线面平

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，PA＝1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．求证：

BE∥平面PDF.

证明　取PD中点为M，连接ME，MF，

∵E是PC的中点，

∴ME是△PCD的中位线，

∴ME綊

CD.

∵F是AB的中点且四边形ABCD是菱形，AB綊CD，

∴ME綊FB，∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF.

∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，∴BE∥平面PDF.

10.如图，四棱锥A-BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：

CD∥平面EFGH.

9．（12分）

如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点．

求证：

MN∥平面AA1C1C.

9．证明　设A1C1中点为F，连接NF，FC，

∵N为A1B1中点，

∴NF∥B1C1，且NF＝

B1C1，

又由棱柱性质知B1C1綊BC，（4分）

又M是BC的中点，

∴NF綊MC，

∴四边形NFCM为平行四边形．

∴MN∥CF，（8分）

又CF⊂平面AA1C1C，

MN⊄平面AA1C1C，

∴MN∥平面AA1C1C.（12分）

题组三

面面平行的判定与性质

2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、

C1D1、A1A的中点.求证：

（1）BF∥HD1；

（2）EG∥平面BB1D1D；

（3）平面BDF∥平面B1D1H.

例2

如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，

A1B1，A1C1的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

思维启迪：

要证四点共面，只需证GH∥BC；要证面面平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行．

证明　

（1）∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，

∴B，C，H，G四点共面．

（2）∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，

∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG.

∵A1G綊EB，

∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.

∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.

∴A1E∥平面BCHG.

∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.

题组四

平行中的探索性问题

10．（12分）（2010·湖南改编）

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．

在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？

证明你的结论．

10．解　在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.证明如下：

如图所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接B1F，EG，BG，CD1，FG.因为A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四

边形，因此D1C∥A1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B.这说明A1，B，G，E四点共面，所以BG⊂平面A1BE.（6分）

因为四边形C1CDD1与B1BCC1都是正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F∥BG.而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.（12分）

变式迁移3　

如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：

当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

变式迁移3　解　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.

∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.

∵P、O为DD1、DB的中点，

∴D1B∥PO.

又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，

∴平面D1BQ∥平面PAO.

10．（2013·西安模拟）如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE∥DF，∠DEF＝90°.

（1）求证：

BE∥平面ADF；

（2）若矩形ABCD的一边AB＝

，EF＝2

，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F－BDE的体积为

？

解：

（1）证明：

过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM.

因为CE∥DF，

所以四边形CEMD是平行四边形．

可得EM＝CD且EM∥CD，

于是四边形BEMA也是平行四边形，

所以有BE∥AM.

而AM⊂平面ADF，BE⊄平面ADF，

所以BE∥平面ADF.

（2）由EF＝2

，EM＝AB＝

，

得FM＝3且∠MFE＝30°.

由∠DEF＝90°可得FD＝4，

从而得DE＝2.

因为BC⊥CD，BC⊥FD，

所以BC⊥平面CDFE.

所以，VF－BDE＝VB－DEF＝

S△DEF×BC.

因为S△DEF＝

DE×EF＝2

，VF－BDE＝

，

所以BC＝

.

综上当BC＝

时，三棱锥F－BDE的体积为

.

11.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？

若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．

解：

存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下：

∵AB∥CD，AB＝2CD，

∴AF綊CD，∴四边形AFCD是平行四边形，

∴AD∥CF.

又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1.

∴CF∥平面ADD1A1.

又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，

DD1⊂平面ADD1A1，

∴CC1∥平面ADD1A1，

又CC1，CF⊂平面C1CF，CC1∩CF＝C，

∴平面C1CF∥平面ADD1A1.

12．（2013·潍坊二模）如图，点C是以AB为直径的圆上一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE∥BC，DC⊥BC，DE＝

BC＝2，AC＝CD＝3.

（1）证明：

EO∥平面ACD；

（2）证明：

平面ACD⊥平面BCDE；

（3）求三棱锥E－ABD的体积．

解：

（1）证明：

如图，取BC的中点M，连接OM，ME.

在△ABC中，O为AB的中点，M为BC的中点，

∴OM∥AC.

在直角梯形BCDE中，DE∥BC，且DE＝

BC＝CM，

∴四边形MCDE为平行四边形．∴EM∥DC.

∴平面EMO∥平面ACD，

又∵EO⊂平面EMO，

∴EO∥平面ACD.

（2）证明：

∵C在以AB为直径的圆上，∴AC⊥BC.

又∵平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE∩平面ABC＝BC.

∴AC⊥平面BCDE.

又∵AC⊂平面ACD，

∴平面ACD⊥平面BCDE.

（3）由

（2）知AC⊥平面BCDE.

又∵S△BDE＝

×DE×CD＝

×2×3＝3，

∴VE－ABD＝VA－BDE＝

×S△BDE×AC＝

×3×3＝3.