高中数学人教a版必修一 章末综合测评1 含答案.docx

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高中数学人教a版必修一章末综合测评1含答案

章末综合测评

（一）　集合与函数的概念

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（2016·杭州模拟）设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U（A∪B）等于（　　）

A．{1,4}　　B．{1,5}　　

C．{2,5}　　D．{2,4}

【解析】　由题意得A∪B＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U＝{1,2,3,4,5}，∴∁U（A∪B）＝{2,4}．

【答案】　D

2．（2016·临沂高一检测）下列各式：

①1∈{0,1,2}；②∅⊆{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}，其中错误的个数是（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

【解析】　①1∈{0,1,2}，元素与集合之间用属于符号，故正确；

②∅⊆{0,1,2}，空集是任何集合的子集，正确；

③{1}∈{0,1,2}，集合与集合之间不能用属于符号，故不正确；

④{0,1,2}＝{2,0,1}，根据集合的无序性可知正确．故选A.

【答案】　A

3．下列各图形中，是函数的图象的是（　　）

【解析】　函数y＝f（x）中，对每一个x值，只能有唯一的y与之对应，∴函数y＝f（x）的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，故A，B，C均不正确，故选D.

【答案】　D

4．集合A＝{x|y＝

}，B＝{y|y＝x2＋2}，则如图1阴影部分表示的集合为（　　）【97030070】

图1

A．{x|x≥1}B．{x|x≥2}

C．{x|1≤x≤2}D．{x|1≤x＜2}

【解析】　易得A＝[1，＋∞），B＝[2，＋∞），则题图中阴影部分表示的集合是∁AB＝[1,2）．故选D.

【答案】　D

5．已知函数f（2x＋1）＝3x＋2，则f

（1）的值等于（　　）

A．2B．11

C．5D．－1

【解析】　由f（2x＋1）＝3x＋2，得f

（1）＝f（2×0＋1）＝3×0＋2＝2，故选A.

【答案】　A

6．下列四个函数：

①y＝x＋1；②y＝x－1；③y＝x2－1；

④y＝

，其中定义域与值域相同的是（　　）

A．①②③B．①②④

C．②③D．②③④

【解析】　①y＝x＋1，定义域R，值域R；②y＝x－1，定义域R，值域R；③y＝x2－1，定义域R，值域（－1，＋∞）；④y＝

，定义域（－∞，0）∪（0，＋∞），值域（－∞，0）∪（0，＋∞）．∴①②④定义域与值域相同，故选B.

【答案】　B

7．若函数f（x）＝

则f（－3）的值为（　　）

A．5B．－1

C．－7D．2

【解析】　依题意，f（－3）＝f（－3＋2）＝f（－1）

＝f（－1＋2）＝f

（1）＝1＋1＝2，故选D.

【答案】　D

8．定义在R上的偶函数f（x）满足：

对任意的x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），有

<0，则（　　）

A．f（3）＜f（－2）＜f

（1）

B．f

（1）＜f（－2）＜f（3）

C．f（－2）＜f

（1）＜f（3）

D．f（3）＜f

（1）＜f（－2）

【解析】　任意的x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），有

<0.

∴f（x）在[0，＋∞）上单调递减，又f（x）是偶函数，故f（x）在（－∞，0]上单调递增．

且满足n∈N*时，f（－2）＝f

（2），3＞2＞1＞0，由此知，此函数具有性质：

自变量的绝对值越小，函数值越大，∴f（3）＜f（－2）＜f

（1），故选A.

【答案】　A

9．定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝3，则奇函数f（x）的值域是（　　）

A．（－∞，－3]B．[－3,3]

C．[－3,3]D．{－3,0,3}

【解析】　∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），f（0）＝0，

设x＜0，则－x＞0，f（－x）＝－f（x）＝3，

∴f（x）＝－3，

∴f（x）＝

∴奇函数f（x）的值域是{－3,0,3}．

【答案】　D

10．（2016·承德高一检测）已知f（x）＝x5－ax3＋bx＋2且f（－5）＝17，则f（5）的值为（　　）

A．－13B．13

C．－19D．19

【解析】　∵g（x）＝x5－ax3＋bx是奇函数，∴g（－x）＝－g（x），

∵f（－5）＝17＝g（－5）＋2，∴g（5）＝－15，∴f（5）＝g（5）＋2＝－15＋2＝－13.

【答案】　A

11．（2016·浏阳高一检测）已知函数f（x）＝

，若f（x）在区间（0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）【97030071】

A．（0,3]B．[0,3]

C．（0,1]D．[3，＋∞）

【解析】　函数f（x）＝

，若f（x）在区间（0,1]上是减函数，则t＝3－ax在区间（0,1]上为减函数，且t≥0，分析可得a＞0，且3－a≥0，解可得0＜a≤3，∴a取值范围为（0,3]．

【答案】　A

12．己知奇函数y＝f（x）在（－∞，0）上为减函数，且f

（2）＝0，则不等式（x－1）f（x－1）＞0的解集为（　　）

A．{x|－3＜x＜－1}

B．{x|－3＜x＜1或x＞2}

C．{x|－3＜x＜0或x＞3}

D．{x|－1＜x＜1或1＜x＜3}

【解析】　由题意画出f（x）的草图如下，因为（x－1）f（x－1）＞0，所以（x－1）与f（x－1）同号，由图象可得－2＜x－1＜0或0＜x－1＜2，解得－1＜x＜1或1＜x＜3，故选D.

【答案】　D

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）

13．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则（∁UA）∪（∁UB）＝________.

【解析】　全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，所以∁UA＝{c，d}，∁UB＝{a}，

所以（∁UA）∪（∁UB）＝{a，c，d}．

【答案】　{a，c，d}

14．若函数f（x）＝（a－2）x2＋（a－1）x＋3是偶函数，则f（x）的增区间是________.【97030072】

【解析】　∵函数f（x）＝（a－2）x2＋（a－1）x＋3是偶函数，∴a－1＝0，∴f（x）＝－x2＋3，其图象是开口方向朝下，以y轴为对称轴的抛物线．故f（x）的增区间为（－∞，0]．

【答案】　（－∞，0]

15．奇函数f（x）在（0，＋∞）上的解析式是f（x）＝x（x－1），则在（－∞，0）上的解析式是________．

【解析】　x∈（－∞，0）时，－x∈（0，＋∞），因为f（x）在（0，＋∞）上的解析式是f（x）＝x（x－1），所以f（－x）＝－x（－x－1），因为函数f（x）是奇函数，

所以f（－x）＝－f（x）＝－x（－x－1），所以f（x）＝－x（x＋1）．

【答案】　f（x）＝－x（x＋1）

16．（2016·苏州高一检测）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）＝f（x2）时总有x1＝x2，则称f（x）为单函数，例如，函数f（x）＝2x＋1（x∈R）是单函数．下列命题：

①函数f（x）＝x2（x∈R）是单函数；

②函数f（x）＝

是单函数；

③若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；

④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．

其中的真命题是________．（写出所有真命题的编号）

【解析】　①函数f（x）＝x2（x∈R）不是单函数，例如f

（1）＝f（－1），显然不会有1和－1相等，故为假命题；

②函数f（x）＝

是单函数，因为若

＝

，可推出x1x2－x2＝x1x2－x1，即x1＝x2，故为真命题；

③若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）为真，

可用反证法证明：

假设f（x1）＝f（x2），则按定义应有x1＝x2，与已知中的x1≠x2矛盾；

④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数为真，因为单函数的实质是一对一的映射，而单调的函数也是一对一的映射，故为真．

【答案】　②③④

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）（2016·大同高一检测）设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．

（1）求∁U（A∩B）；

（2）若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．

【解】　

（1）由集合B中的不等式2x－4≥x－2，解得x≥2，∴B＝{x|x≥2}，又A＝{x|－1≤x＜3}，

∴A∩B＝{x|2≤x＜3}，又全集U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x＜2或x≥3}．

（2）由集合C中的不等式2x＋a＞0，解得x＞－

，

∴C＝

，

∵B∪C＝C，∴B⊆C，∴－

＜2，解得a＞－4.

18．（本小题满分12分）（2016·南昌高一检测）已知函数f（x）＝

，

（1）判断函数f（x）在区间（1，＋∞）上的单调性，并用单调性定义证明；

（2）求函数f（x）在区间[2,3]上的值域.【97030073】

【解】　

（1）函数f（x）＝

在区间（1，＋∞）上单调递减，证明如下：

任取x1，x2∈（1，＋∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）

＝

－

＝

＝

，

∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，

又∵x1，x2∈（1，＋∞），∴x2＋x1＞0，x

－1>0，x

－1>0，

∴

＞0，即f（x1）＞f（x2）．

由单调性的定义可知函数在区间（1，＋∞）上单调递减．

（2）由

（1）知函数f（x）在区间[2,3]上单调递减，所以函数f（x）的最大值为f

（2）＝

，最小值为f（3）＝

，所以函数f（x）在区间[2,3]上的值域为

.

19．（本小题满分12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收益满足函数：

R（x）＝

其中x是仪器的月产量．当月产量为何值时，公司所获得利润最大？

最大利润是多少？

【解】　由于月产量为x台，则总成本为20000＋100x，

从而利润f（x）＝

R（x）＝

当0≤x≤400时，f（x）＝－

（x－300）2＋25000，

所以当x＝300时，有最大值25000；

当x＞400时，f（x）＝60000－100x是减函数，

所以f（x）＝60000－100×400＜25000.

所以当x＝300时，有最大值25000，

即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．

20．（本小题满分12分）已知f（x）在R上是单调递减的一次函数，且f[f（x）]＝4x－1.

（1）求f（x）；

（2）求函数y＝f（x）＋x2－x在x∈[－1,2]上的最大值与最小值．

【解】　

（1）由题意可设f（x）＝ax＋b，（a＜0），由于f[f（x）]＝4x－1，则a2x＋ab＋b＝4x－1，

故

解得a＝－2，b＝1.故f（x）＝－2x＋1.

（2）由

（1）知，函数y＝f（x）＋x2－x＝－2x＋1＋x2－x＝x2－3x＋1，

故函数y＝x2－3x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝

，则函数y＝f（x）＋x2－x在

上为减函数，在

上为增函数．

又由f

＝－

，f（－1）＝6，f

（2）＝－1，

则函数y＝f（x）＋x2－x在x∈[－1,2]上的最大值为6，最小值为－

.

21．（本小题满分12分）（2016·聊城高一检测）已知函数f（x）＝x2＋4ax＋2a＋6，

（1）若函数f（x）的值域为[0，＋∞），求a的值；

（2）若函数f（x）的函数值均为非负数，求g（a）＝2－a|a－1|的值域．

【解】　

（1）由于函数的值域为[0，＋∞），则判别式Δ＝16a2－4（2a＋6）＝0，

解得a＝－1或a＝

.

（2）由于函数f（x）的函数值均为非负数，则Δ＝16a2－4（2a＋6）≤0，

解得－1≤a≤

，则－2≤a－1≤

，

∴g（a）＝2－a|a－1|＝

①当－1≤a≤1时，g（a）＝

2＋

，g

≤g（a）≤g（－1），∴

≤g（a）≤4.

②1＜a≤

时，g（a）＝－

2＋

，

g

≤g（a）＜g

（1），

∴

≤g（a）＜2，

综上，函数g（a）的值域为

.

22．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝

为奇函数．

（1）求b的值；

（2）证明：

函数f（x）在区间（1，＋∞）上是减函数；

（3）解关于x的不等式f（1＋2x2）＋f（－x2＋2x－4）＞0.

【解】　

（1）∵函数f（x）＝

为定义在R上的奇函数，∴f（0）＝b＝0.

（2）由

（1）可得f（x）＝

，下面证明函数f（x）在区间（1，＋∞）上是减函数．

证明：

设x2＞x1＞1，

则有f（x1）－f（x2）＝

－

＝

＝

.

再根据x2＞x1＞1，可得1＋x

＞0,1＋x

＞0，x1－x2＜0,1－x1x2＜0，

∴

＞0，

即f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在区间（1，＋∞）上是减函数．

（3）由不等式f（1＋2x2）＋f（－x2＋2x－4）＞0，

可得f（1＋2x2）＞－f（－x2＋2x－4）＝f（x2－2x＋4），

再根据函数f（x）在区间（1，＋∞）上是减函数，可得1＋2x2＜x2－2x＋4，且x＞1，

求得1＜x＜3，故不等式的解集为（1,3）．