第二章数的运算21.docx

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第二章数的运算21

第2章数的运算

2.1整数的运算

Ⅰ基础知识

1、整数的加减法法

（一）整数的加法

1、加法的意义

把两个或几个数合成一个数的运算叫做加法。

2、加法运算定律

交换律：

两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变，用字母表示：

a+b=b+a.

推广：

若干个数相加，任意交换加数的位置，它们的和不变。

请同学们举例说明。

结合律：

三个数相加，或者先把后两个数相加，它们的和不变。

用字母表示就是：

（a+b）+c=a+（b+c）.

推广：

若干个数相加，先把其中的任意几个数相加起来，在与其它数相加，它们的和不变。

请用同学们举例说明。

（二）整数的减法

1、减法的意义

已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。

举例说明

2、减法的运算性质

⑴一个数加数两个数的差，等于这个数加上差里的被减数，再减去差里的减数。

用字母表示为：

a+（b-c）=a+b-c（（b≥c）

请同学们举例说明

⑵一个数减去两个数的和，等于这个数减去和里的两个加数。

用字母表示为：

a-（b+c）=a-b-c（a≥b+c）

请同学们举例说明并举例说明

⑶性质：

a-（b-c）=a-b+c（a≥b+c）

请同学们用文字叙述这条性质并举例说明

⑷性质：

（a₁+a₂+a₃+…+a

）-（b₁+b₂+b₃+…+b

）=（a₁-b₁）+（a₂-b₂）+…（a

-b

）,（a

≥b

i＝1,2,3,…,n）

请同学们用文字语言叙述这个性质并举例说明

⑸被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的和不变。

请同学们用字母表示这各性质并举例说明。

2、整数的乘法

（1）整数的乘法

1、乘法

求几个相同的加数的和的简便运算，叫乘法。

例如：

6＋6＋6＋6＋6＝30，是5个6相加，可以表示为：

6×5＝30，（或者：

5×6＝30.）

2、整数乘法个部分的名称：

在6×5＝30这个算式中，6与5称为“因数”，30称为“积”，“×”叫“乘号”。

其中第一个因数“6”又叫“被乘数”，第二个因数“5”又叫“乘数”。

（二）倍

和某数相乘的数，就叫这个数的倍数。

比如：

31×2＝62这个算式中，“2”叫倍数，62是31的2倍。

（3）乘方的意义

1.乘方：

求几个相同的因数的积的运算叫做这几个数的乘方。

例如：

5×5×5×5×5×5＝5

，5

叫5的6次方，又叫5的6次幂。

其中2次方又叫平方，比如：

6²是6的平方，表示6×6；3次方又叫立方，比如：

8³是8的三次方，表示×8×8×8.

（4）整数乘法的运算定律

1.乘法的交换律

定律：

两个数相乘，交换加数的位置，它们的积不变.

用字母表示：

___________________

例如：

3×4＝4×3

推广：

若干个数连乘，任意___________，它们的____________.

例如：

2×3×5＝3×5×2＝5×2×3

2.乘法的结合律

定律：

三个数相乘时，先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者____

_________________，它们的积不变。

用字母表示：

a×b×c＝（a×b）×c＝a×（b×c）

例如：

3×5×9＝（3×5）×9＝3×（5×9）

推广：

若干个数相乘，可以把其中的几个数结合成一组相乘，再把所得的积同其余的数相乘，它们的积不变。

请同学们举例：

______________________________________________.

3.乘法的分配率

定律：

两个数的和乘一个数，可以把这两个加数分别与这个数相乘，

再把_____________，所得的结果不变。

用字母表示：

（a＋b）×c＝a×c＋b×c

例如：

（5＋9）×6＝5×6＋9×6

推广：

若干个数的和与一个数相乘，可以先把____________________

____________，再把______________，所得结果不变。

请同学们举例：

_____________________________________________.

？

思考并讨论：

下列算式成立吗？

举例说明.

（a－b）×c＝ac－bc

用文字语言叙述为：

__________________________________________

__________________________________________.

（5）积的变化规律

1.若a×b＝c，则（a×m）×b＝c×m.

若a×b＝c，则（a÷m）×b＝c÷m.（m≠0）

用文字叙述为：

如果一个因数扩大原来的m倍或缩小到原来的

，

另一个因数不变，那么它们的积也相应地_____________________

_______________________________________.

2.若a×b＝c，则（a×m）×（b÷m）＝c.（m≠0）

用文字语言叙述为:

如果一个因数扩大到原来的m倍，另一个_____

__________________，则它们的积不变。

3、整数的除法

（一）除法的意义

1.除法

已知两个因数的积和其中一个因数，求另一因数的运算叫做除法。

2.除法的个部分名称

在除法算式20÷4＝5中，“20”是“被除数”，“÷”是“除号”，“4”是“除数”，“5”是“商”。

这个算式读作：

20除以4等于5.或者读作：

4除20等于5.

？

思考并讨论：

①整数的乘法和除法是什么关系？

②“除”与“除以”区别是什么？

③0为什么不能作除数？

请同学们以被除数是否为零进行讨论。

④完全的商与不完全商的区别是什么？

试举例说明.什么是有余数的除法？

试举例说明.

（二）整数除法的运算性质

运算性质1.

字母表示：

a×b÷c＝a÷c×b，a÷b÷c＝a÷c÷b.

用文字语言叙述为：

在不含括号的乘除混合运算或连除算式中，改变运算顺序，结果不变。

例如：

100×5÷4＝100÷4×5，630÷7÷30＝630÷30÷7.

运算性质2.

字母表示：

a÷（b×c）＝a÷b÷c

用文字语言叙述为：

一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积中的两个因数。

请同学举例说明：

__________________________________________

？

思考并讨论：

这个性质可以推广吗？

如果能够推广，怎样用字母表示？

怎样用语言叙述？

并举例说明.

运算性质3.

字母表示:

a÷（b÷c）＝a÷b×c＝a×c÷b.

语言叙述：

一个数除以_____________，等于这个数先___________，再_______________，或者__________________________________.

请同学们举例说明：

__________________________________________

_______________________________________________.

运算性质4.

字母表示：

a÷b÷c＝（a÷c）÷b，或a÷b÷c＝a÷（b×c）

语言叙述：

两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先这个数，再除以原来商中的除数。

也可以用被除数除以两个除数的积。

请同学们举例说明：

__________________________________________

______________________________________________________.

运算性质5.

字母表示：

（a×b）÷c＝（a÷c）×b或者（a×b）÷c＝a×（b÷c）

语言叙述为：

两个数的积除以一个数，等于用除数先去除积中的任意一个因数，在与另一个因数相乘。

请同学们举例说明：

________________________________________

_________________________________________________________

？

思考：

性质5能否推广？

若能，如何叙述？

并举例说明。

运算性质6.

字母表示：

（a＋b）÷c＝a÷c＋b÷c，或（a－b）÷c＝a÷c－b÷c

语言叙述：

______________________________________________

_________________________________________________________.

举例说明：

________________________________________________

_________________________________________________________

？

思考并讨论：

这个性质能否推广？

若能，怎样叙述？

并举例说明.

（三）商不变的性质

在除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。

用字母表示：

_____________________________________________

__________________________________________________________.

请同学们举例说明：

________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

（4）商的变化规律

1.若a÷b＝c，则（a×m）÷b＝c×m或（a÷m）＝c÷m（m≠0）.

用文字语言叙述为：

______________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________.

举例说明：

_________________________________________________

___________________________________________________________

2.若a÷b＝c,则a÷（b×m）＝c÷m或a÷（b÷m）＝c×m.

文字语言叙述为：

如果被除数不变，除数_______________________

___________________________________________________________.

举例说明：

________________________________________________

__________________________________________________________

___________________________________________________________.

？

思考并讨论：

在有余数的除法里，如果被除数和除数同时扩大相同的倍数或者缩小相同的倍数，商和余数有和变化呢？

请同学们把讨论的结论说出来，并举例说明你结论.

4、整数的四则混合运算

（1）四则混合运算

在一个算式里，含有加、减、乘、除四种运算中两种或两种以上运算的，便称为四则混合运算。

（2）三级运算

在四则混合运算中，加法和减法被称为一级运算，乘法和除法被称为二级运算，乘方和开方（初中将要学习）被称为三级运算。

（3）同级运算

在一个算式中如果只含有加、减法运算，或者只含有乘除法运算，属于同一级运算，叫同级运算。

（4）四则混合运算的运算顺序

在四则混合运算中，运算顺序如下：

1.在没有括号的算式里，如果只含有同级运算，则应按照从左到右的顺序进行计算；如果既含有一级运算有含有二级运算，应先算二级运算，再算一级运算，即“先乘除，后加减”。

2.在有括号的算式里，应先算括号里运算，既有小括号又有中括号的，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。

（5）脱式计算

在四则混合运算中，都应按照运算顺序，逐步、逐级地进行计算，计算一步，写出一个等式，直至求出最后得数，这种计算方式称为脱式计算。

例如：

56－[（12＋35÷7）＋3]×

＝56－[（12＋5）＋3]×

＝56－（17＋3）×

＝56－20×

＝56－10

＝46

Ⅲ习题2.1

1、填空

1.8626除60的余数是（）

2.一个数除以12，商是25，当余数最大时，被除数最大的是（）

2、计算

1.125×79＋1252.740－（287－260＋513）

3.125×5×64×254.123×456÷789÷456×789÷123

5.67×127－67×28＋676.2222×9999＋3333×3334

三试试看

1.1＋0×9＝12＋1×9＝113＋12×9＝111

4＋123×9＝11119＋12345678×9＝______________

2.1×1＝111×11＝121111×111＝12321

111111111×111111111＝______________________

4、解决问题

现有3升和7的容器各一个，将10的酒精平均分成两份，请说出你的分法。