青岛市高一数学下期末试题含答案.docx
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青岛市高一数学下期末试题含答案
2019年青岛市高一数学下期末试题含答案
一、选择题
1.已知向量
v满足V4,v在v上的投影（正射影的数量）为
vv
-2,则a2b的最
小值为（
A.
B.
10
D.8
2.
设集合A
1,2,4
XX2
4xm0
A.
1,3
B.
1,0
C.
1,3
D.1,5
3.
已知集合A
x|x
3x2
0,x
R,B
x|0
5,x
N,则满足条件
CB的集合C的个数为（
A.
B.2
C.
D.4
4.
已知集合A（x,y）x2y2
B（x,y）y
B中元素的个数为
A.
B.2
C.
D.0
如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,
则该几何体的表面积为（
5.
侧（左）视图
B.24
C.
28
D.32
6.（2015新课标全国
I理科）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如
下问题：
今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:
积及为米几何
处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？
”已知1斛米的体积约为
3,估算出堆放的米约有
?
”其意思为：
在屋内墙角
8尺，米堆的高为5
1.62立方尺，圆周率约为
14斛
36斛
A.
C.
B.22斛
D.66斛
7.
已知两个正数
a,b满足3a2b
.一32
1,则—一的取小值是ab
A.
23
B.24
C.25
D.
26
8.
已知sin
A.
5
B.—
8
C.
D.
9.
已知a
0,b
0,
111—,
并且1,」，1成等差数列，则
a2b
a4b的最小值为（）
A.
B.4
C.
D.9
10.
f（x）
1………、』
一的零点所在的区间是（
x
A.
1（0,2）
B.
1
（2,1）
C.
3
（1,2）
3
D-（2,2）
A.
设Sn为等差数列an
的前n项和，若
3s3
S2S4,
a1
12
B.
10
C.
10
D.
12.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知a5,b
12
7,c8,则
A.90二、填空题
B.120
C.
135
D.
150
13.已知函数f（x）V3sin（2x）cos（2x）（|
|-）的图象关于y轴对称，则f（x）在区
［一,5-］上的最大值为__.612
14.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,
产量分别为
为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取
200,400,300,100件，
60件进行检验，则应从
丙种型号的产品中抽取
件.
0.1
120,E、F分别是边
15.底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为cmf.
16.如图，在等腰三角形ABC中，已知AB|AC1,uuvuuvuuvuuv
ARAC上的点，且AEAB,AFAC,其中，
uuuv
EF、BC的中点分别为M、N,则MN的最小值是
17.函数yJ2cosx1的定义域是
、一1
18.过点M（—,1）的直线l与圆C:
（x-1）2+y2=4父于A、B两点，C为圆心，当/ACB2
最小时，直线l的方程为.
•-4，1…
19.右tan—己，则tan.
4
20.设为锐角，若cos（-）-,则sin（2而）的值为
三、解答题
21.已知函数fxsin2xcos2x273sinxcosxxR
（I）求f2—的值
3
（II）求£x的最小正周期及单调递增区间
22.abc分别为ABC内角A、B、C的对边，已知atanB3bsinA.
（1）求cosB;
（2）若a3,b&7,求ABC的面积.
23.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如
卜方式分成五组：
第一组13,14,第二组14,15,,第五组17,18.下图是按上述分
组方法得到的频率分布直方图.按上述分组方法得到的频率分布直方图
频率
求该班在这次百米测试中成绩良好的
（2）设m,n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m,n13,1417,18.求事
件“mn1”发生的概率.
一「r_r_rr_rrrr_
24.已知a（1,2）,b（2,1）,ma（t2）b,nkatb（kR）.
.…’一r-r，……
（1）若t1,且mPn,求k的值；
rr_
（2）右tR,且mgn5,求证：
k2.
25.在VABC中，BC押,AC3,sinC2sinA.
（I）求AB的值；
（n）求sin2A—的值.
4
26.某险种的基本保费为a（单位：
元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表:
出险次数
0
1
2
3
4
5
频数
60
50
30
30
20
10
（I）记A为事件：
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P（A）的估计值;
（n）记B为事件：
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的
160%”.求P（B）的估计值；
（m）求续保人本年度的平均保费估计值.
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一、选择题
1.D
解析：
D
【解析】
【分析】
r,r,,_
b在a上的投影（正射影的数量）为
rr2
a2b的最小值即可得出结果.
r
2可知|b|cos
rr
a,b
r，r，，曰，…，，…
rrr所以|b|cosa,b
2,
…r.2+
即|b|1—,而1
cosa,b
r
所以|b|2,
rr2rr2r2
因为a2b（a2b）a
rr
cosa,b0,
rrr2r2rr
4ab4b|a|4|a||b|cos
rr
a,b
r24|b|
因为b在a上的投影（正射影的数量）为2,
r_r.
rr2
所以a2b
=1644
（2）4|b|2484|b|2
484464,即a2b8,故选D.
本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题
2.C
解析：
C
【解析】
•・集合A1,2,4,Bx|x24xm0,AB1
x1是方程x24xm0的解，即14m0
•・m3
22
Bx|x4xm0x|x4x3013,故选C
3.D
解析：
D
【解析】
【分析】
【详解】
求解一元二次方程，得
2
Ax|x3x20,xRx|x1x20,xR
1,2,易知Bx|0x5,xN1,2,3,4.
因为ACB,所以根据子集的定义，
集合C必须含有元素1,2,且可能含有元素3,4,
原题即求集合3,4的子集个数，即有224个，故选D.
【点评】
本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列
出集合C的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高
4.B
解析：
B
【解析】
试题分析：
集合中的元素为点集，由题意，可知集合
A表示以0,0为圆心，1为半径的单
位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线y
x上所有的点组成的集合，又圆
y21与直线yx相交于两点
2
2
，则AIB中有2个元
素.故选B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和
化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解
题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
5.C
解析：
C
【解析】
试题分析：
由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之
和.§三更二废万+；：
兀,2,4=12乃，号“=昂,所以几何体的表面积为a
5二2吩.
考点：
三视图与表面积.
6.B
解析：
B
【解析】
116
试题分析：
设圆车t底面半径为r,则一23r8,所以r一，所以米堆的体积为
43
113（—）25=磔，故堆放的米约为320+1.622改选B.
43399
考点：
圆锥的性质与圆锥的体积公式
7.C
解析：
C
【解析】
【分析】
3232
根据题意，分析可得--3a2b--,对其变形可得abab
32-6a6b
3213——,由基本不等式分析可得答案.
abba
根据题意，正数
a,b满足3a2b
1,
3a
32
2b--13
ab
6a6b
ba
132噌
25,
当且仅当a
1
一时等号成立.
5
一32
即一一的取小值是25.
ab
本题选择C选项.
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是
”正一一各项均为正;
二定一一积或和为定值；三相等
等号能否取得
”，若忽略了某个条件，就会出现错误.
8.C
解析：
C
【解析】
由题意可得:
sin
sin
cos一6
cos2
2cos
1
16
本题选择C选项.
9.D
解析：
D
【解析】
当且仅当
1,a4b
4b
4b-5
a
a4bba
9,
a=2b即a3,b
“="成立,
本题选择
点睛：
在应用基本不等式求最值时,
要把握不等式成立的三个条件，就是
匚正—各项均
为正；二定一一积或和为定值；三相等错误.
等号能否取得"，若忽略了某个条件，就会出现
10.B
解析：
B
【解析】
函数f（x）=ex-1是（0,+8）上的增函数，再根据f（-）=Te-2v0,f
（1）=e-1x2
>0,可得f
（1）f
（1）v0,•♦・函数f（x）=ex-1的零点所在的区间是（［，1）,故2x2
选B.
点睛：
判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要
异号，则区间内至少有一个零点存在.
11.B
解析：
B
【解析】
分析：
首先设出等差数列斗的公差为d,利用等差数列的求和公式，得到公差d所满足
的等量关系式，从而求得结果d3,之后应用等差数列的通项公式求得
a5ai4d21210,从而求得正确结果.
详解：
设该等差数列的公差为d,13243
根据题中的条件可得3（32——d）22d42——d,
22
整理解得d3,所以a5a14d21210,故选b.
点睛：
该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要
d的值，之后利用等差数列的通项
利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差公式得到a5与a^Dd的关系，从而求得结果.
12.B
解析：
B
【解析】
【分析】
1
由已知三边，利用余弦定理可得
cosB2,结合bc,B为锐角，可得B,利用三角形
内角和定理即可求AC的值.
【详解】
在ABC中，Qa5,b7,c8,
2564491
2582'
222
由余弦定理可得：
cosBa一c——
2ac
Qbc,故B为锐角，可得B60,
AC18060120，故选B.
【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用.
二、填空题
13.【解析】【分析】利用辅助角公式化简可得再根据图象关于轴对称可求得再结合余弦函数的图像求出最值即可【详解】因为函数的图象关于轴对称所以
即又则即又因为所以则当即时取得最大值故答案为：
【点睛】判定三角函数
解析：
3
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简可得fx2sin（2x石），再根据图象关于y轴对称可求得
f（x）2cos》,再结合余弦函数的图像求出最值即可.
、3sin2x
cos2x
【详解】
因为函数
2sin（2x一）的图象关于y轴对称，
6
所以
k%,即
又因为
Itr/\
-,即f（x）3
2sin（2x-）
一，所以一
123
c5冗
2x——，则当
6
2cos2x.
2x皂，即x2时，f（x）取得最大值
612
、.3.
2cos
6
故答案为：
3.
【点睛】
判定三角函数的奇偶性时，往往与诱导公式进行结合，如：
若ysinx为奇函数，则k“kZ；
若ysinx为偶函数，则k/-,kZ-
2
若ycosx为偶函数，则k“kZ；
若ycosx为奇函数，则k/一，kZ.
2
14.18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛：
在分层抽样的
过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni
解析：
18
【解析】
应从丙种型号的产品中抽取60-300-18件，故答案为18.
1000
点睛:
在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni：
N=
n：
NI.
15.【解析】【分析】【详解】圆柱的侧面积为
【解析】
圆柱的侧面积为22416
16.【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性
质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示：
在等腰三角形中已知则由向量数
解析：
7
【解析】
【分析】
根据条件及向量数量积运算求得uuuuuur
uuuuuu
ABAC，连接AM，AN,由三角形中线的性质表示出
AM,AN.根据向量的线性运算及数量积公式表示出
uuuu2
MN
，结合二次函数性质即可求得最小
值.
【详解】
根据题意，连接AM,AN，如下图所示：
AC
uuuuuir
则由向量数量积运算可知ABAC
uuu
AB
线段EF、
BC的中点分别为
M、
1,A
120
uuur
AM
uuir
AE
uuirAF
uur
AB
umr
AC
uuir
AC
cosA1
1cos120o
uuur
AN
1uuuAB
2
uuur
AC
由向量减法的线性运算可得
uuuu
MN
uur
AN
uuuuAM
uuu
AB
uuur
AC
uuuu2所以MN
uuuAB
uuur
AC
2uuir2
AB
2uur2
AC
uuu
AB
uur
AC
1111
2222
2123121
724T
，向量的线性运算及模的求法
，二次函数最值的应用
11211221
22222
因为41,代入化简可得揣2
因为，0,1
所以当1时，MN2取得最小值1
uuur[1J7
因而MN1-7—
min\77
故答案为：
7L
7
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的综合应用属于中档题.
17.【解析】【分析】由函数的解析式得到关于x的不等式求解不等式即可确定函数的定义域【详解】函数有意义则：
即求解三角不等式可得：
则函数的定义域为【点睛】求函数的定义域其实质就是以函数解析式有意义为准则列出
22
解析：
2k—,2k-kZ
33
【解析】
【分析】
由函数的解析式得到关于x的不等式，求解不等式即可确定函数的定义域^
【详解】
1
函数有息义，则：
2cosx10,即cosx—，
2
…「一一22
求解三角不等式可得：
2k—x2k—kZ,
33
………、…22
则函数的定义域为2k——，2k——kZ.
33
【点睛】
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可.
18.2x-4y+3=0【解析】【分析】要/ACBR小则分析可得圆心C到直线l的距离最大此时直线l与直线垂直即可算出的斜率求得直线l的方程【详解】由题得当/ACBR小时直线l与直线垂直此时又故又直线l过点
解析：
2x-4y+3=0
【解析】
【分析】
要/ACB最小则分析可得圆心C到直线l的距离最大，此时直线l与直线CM垂直,即可算出CM的斜率求得直线l的方程.
2
，又kCMkl1
【详解】由题得，当/ACB最小时,直线l与直线CM垂直,此时kCM
一11一.11
故kl—,又直线l过点M（一,1），所以l:
y1—（x—）,即2x4y30.
2222
故答案为：
2x4y30
【点睛】
.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直
，，1
tan—tan——1）
44_6_7
，,15
1tan—tan—1一
446
50
本题主要考查直线与圆的位置关系，过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值线方程的方法.
19.【解析】故答案为
解析：
7
5
【解析】
tantan一—
44
故答案为7.5
20.【解析】试题分析：
所以考点：
三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦解析：
生二2
试题分析：
cos（2—）2-
35
sin（2~）sin（2—
1234
2247172
724〜
1,sin（2-）袤，所以
2252550
考点：
三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系.
【思路点晴】本题主要考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式.题目的已知条件是单倍
2
角，并且加了一，我们考虑它的二倍角的情况，即cos（2-）2-1Z,同
63525
24
时求出其正弦值sin（2—）——,而要求的角sin（2—）sin（2——）,再利
3251234
用两角差的正弦公式，就能求出结果.在求解过程中要注意正负号.
三、解答题
...一,一一.2,,一
21.（I）2；（II）fx的最小正周期是，一+k,——+kkZ.
63
【解析】
【分析】
（I）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步
求出函数的值.
（n）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间.
【详解】
（I）f（x）=sin2x-cos2x2^3sinxcosx,
=—cos2x..3sin2x,
=-2sin2x一6
则f（2-）=-2sin（—一）=2,336
（n）因为f（x）2sin（2x-）.6
所以f（x）的最小正周期是.
由正弦函数的性质得
3
—2k2x———2k,kZ,
262
….2，，一
解得一kx——k,kZ,
63
所以，f（x）的单调递增区间是［—k,—k］,kZ.
63
【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简，以及函数y=总+血的性质，是高考中的常考知
识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形
式即F±力+g），然后利用三角函数》二44甘出的性质求解.
1一
22.
（1）cosB-；
（2）4衣.
3、
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理边角互化思想以及切化弦的思想得出cosB的值；
（2）利用余弦定理求出c的值，并利用同角三角函数的平方关系求出sinB的值，最后利
用三角形的面积公式即可求出ABC的面积.
【详解】
（1）因为atanB3bsinA,所以sinAtanB3sinBsinA,
sinB_—__1
又sinA0,所以3sinB,因为sinB0,所以cosB一；
cosB3
21
⑵由余弦te理，信bac2accosB,则179c23c-,
3
4.
2.2
3
整理得c22c80，Qc0，解得c
1
因为cosB-,所以sinB/cosB3
所以ABC的面积SlacsinB4J2.
2
【点睛】
本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查余弦定理解三角形以及三角形面积
的计算，考查计算能力，属于中等题.
一.3
23.
（1）29人；
（2）一.
5
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图，良好即第二三两组，计算出第二三两组的频率即可算出人数；
（2）结合频率分布直方图，计算出13,14,17,18两组的人数，mn1即两位同学来
自不同的两组，利用古典概型求解概率即可^
【详解】
（1）由直方图知，成绩在［14,16）内的人数为：
500.20500.3829（人），
所以该班成绩良好的人数为29人；
（2）由直方图知，成绩在［13,14）的人数为500.063人;
成绩在［17,18］的人数为500.042人；.
事件“mn1”发生即这两位同学来自不同的两组,
此题相当于从这五人中任取
2人，求这两人来自不同组的概率
其概率为
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