青岛市高一数学下期末试题含答案.docx

1、青岛市高一数学下期末试题含答案2019年青岛市高一数学下期末试题含答案一、选择题1.已知向量v满足V 4, v在v上的投影（正射影的数量）为v v-2 ,则a 2b的最小值为（A.B.10D. 82.设集合A1,2,4X X24x m 0A.1, 3B.1,0C.1,3D. 1,53.已知集合Ax| x3x 20,xR ,Bx|05,xN ,则满足条件C B的集合C的个数为（A.B. 2C.D. 44.已知集合A (x,y) x2 y2B (x, y) yB中元素的个数为A.B. 2C.D. 0如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为（5.侧（左）视图B. 24C.28

2、D. 326. （2015新课标全国I理科）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺 .问:积及为米几何处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一 ），米堆底部的弧长为 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少 ？”已知1斛米的体积约为3,估算出堆放的米约有?”其意思为：在屋内墙角8尺，米堆的高为 51.62立方尺，圆周率约为14斛36斛A.C.B. 22 斛D. 66斛7.已知两个正数a, b 满足 3a 2b.一 3 21 ,则一的取小值是 a bA.23B. 24C. 25D.268.已知sinA.5B.8C.D.9.已知a0,b0,1 11,

3、并且1,，1成等差数列，则a 2 ba 4b的最小值为（）A.B. 4C.D. 910.f(x)1、一的零点所在的区间是（xA.1 (0,2)B.1(2,1)C.3(1,2)3D- (2,2)A.设Sn为等差数列 an的前n项和，若3s3S2 S4,a112B.10C.10D.12.在 ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c .已知a 5, b127 , c 8 ,则A. 90 二、填空题B. 120C.135D.15013.已知函数 f(x) V3sin(2 x ) cos(2x )(| -）的图象关于y轴对称，则f （x）在区一,5-上的最大值为_. 6 1214.某工厂生产甲、

4、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取200,400,300,100 件，60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件.0.1120 , E、F分别是边15.底面直径和高都是 4cm的圆柱的侧面积为 cmf.16.如图，在等腰三角形 ABC中，已知AB |AC 1, uuv uuv uuv uuvAR AC上的点，且 AE AB,AF AC ,其中，uuuvEF、BC的中点分别为 M、N ,则MN的最小值是17.函数y J2cos x1的定义域是 、一 118.过点M( ,1)的直线l与圆C: (x-1) 2+y2 = 4父于A、B两

5、点，C为圆心，当/ ACB 2最小时，直线l的方程为. - 4， 1 19.右 tan 己，则 tan .4 20.设 为锐角，若cos( -)-,则sin(2 而)的值为三、解答题21.已知函数 f x sin2 x cos2 x 273sin xcosx x R(I )求f 2的值3(II )求 x的最小正周期及单调递增区间22. abc分别为 ABC内角A、B、C的对边，已知atanB 3bsinA.(1)求 cos B ;(2)若a 3, b &7,求ABC的面积.23.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13秒与18秒之间，将测试结果按如卜方式分成五组：第一组 13,14

6、,第二组14,15 ,第五组17,18 .下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 .按上述分组方法得到的频率分布直方图频率求该班在这次百米测试中成绩良好的(2)设m,n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知 m,n 13,14 17,18 .求事件“m n 1”发生的概率.一r _ r _ r r _ r r r r _24.已知 a (1,2),b ( 2,1), m a (t 2)b, n ka tb(k R). 一 r - r ，(1)若t 1,且mPn ,求k的值；r r _(2)右 t R ,且 mgn 5 ,求证：k 2 .25.在 VABC 中，BC 押,AC 3,sinC

7、2sin A.(I )求AB的值；(n )求 sin 2A 的值.426.某险种的基本保费为 a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人 本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的 200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表:出险次数012345频数605030302010(I)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求 P (A)的估计值;(n )记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%” .求P (B)的估计值；(m)求续保人本年度的

8、平均保费估计值.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1.D解析：D【解析】【分析】r , r , _ b在a上的投影（正射影的数量）为r r 2a 2b的最小值即可得出结果.r2可知 |b | cosr ra, br ，r ，曰， ，r r r 所以 | b | cos a, b2,r. 2 +即 |b | 1,而 1cos a,br所以|b| 2 ,r r 2 r r 2 r 2因为 a 2b (a 2b) ar rcos a, b 0,r r r 2 r 2 r r4ab 4b | a | 4 | a |b | cosr ra, br2 4|b|因为b在a上的投影（正射影的数量

9、）为 2 ,r _ r .r r 2所以a 2b=16 4 4 ( 2) 4|b|2 48 4 |b |248 4 4 64 ,即 a 2b 8 ,故选 D.本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题2.C解析：C【解析】集合 A 1,2,4 , B x|x2 4x m 0 , A B 1x 1是方程x2 4x m 0的解，即14m 0 m 32 2B x | x 4x m 0 x | x 4x 3 0 13 ,故选 C3.D解析：D【解析】【分析】【详解】求解一元二次方程，得2A x | x 3x 2 0, x R x| x 1 x 2 0,x R1,2 ,易知 B x|0

10、x 5,x N 1,2,3,4 .因为A C B ,所以根据子集的定义，集合C必须含有元素1,2,且可能含有元素 3,4,原题即求集合 3,4的子集个数，即有 22 4个，故选D.【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程 .本题在求集合个数时，也可采用列举法 .列出集合C的所有可能情况，再数个数即可 .来年要注意集合的交集运算，考查频度极高4.B解析：B【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合 B表示直线yx上所有的点组成的集合，又圆y2 1与直线y x相交于两点,22，则AI B中有2个元素.故选B.【名师

11、点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性 (是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件 .集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否 满足互异性.5.C解析：C【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和.三更二废万+；：兀,2,4=12乃，号“=昂,所以几何体的表面积为 a5二2吩.考点：三视图与表面积.6.B解析：B【解析】1 16试题分析：设圆车t底面半径为 r,则一 2 3r 8 ,所以r 一，所以米堆的体积为4 3113 ()2 5=磔，故堆

12、放的米约为320 + 1.62 2改选B.4 3 3 9 9考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式7.C解析：C【解析】【分析】 3 2 3 2根据题意，分析可得 -3a 2b -,对其变形可得 a b a b3 2 - 6a 6b3 2 13 ,由基本不等式分析可得答案.a b b a根据题意，正数a, b 满足 3a 2b1,3a3 22b - - 13a b6a 6bb a13 2噌25,当且仅当a1一时等号成立.5一 3 2即一一的取小值是25.a b本题选择C选项.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是”正一一各项均为正;二定一一积或和为定值；三相等等号能否取得

13、”，若忽略了某个条件，就会出现错误.8.C解析：C【解析】由题意可得:sinsincos 一 6cos22 cos116本题选择C选项.9.D解析：D【解析】当且仅当1, a 4b4b4b-5aa 4b b a9,a=2b 即 a 3,b“=成立,本题选择点睛：在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件，就是匚正各项均为正；二定一一积或和为定值；三相等 错误.等号能否取得，若忽略了某个条件，就会出现10.B解析：B【解析】函数f (x) =ex-1是(0, +8)上的增函数，再根据 f ( - ) =Te - 2v0, f (1) =e- 1 x 20,可得f ( 1) f (1)

14、v 0, 函数f (x) =ex- 1的零点所在的区间是(，1),故 2 x 2选B.点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在 .11.B解析：B【解析】分析：首先设出等差数列 斗 的公差为d ,利用等差数列的求和公式，得到公差 d所满足的等量关系式，从而求得结果 d 3,之后应用等差数列的通项公式求得a5 ai 4d 2 12 10,从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为 d , 1 3 2 4 3根据题中的条件可得 3(3 2 d) 2 2 d 4 2d,2 2整理解得d 3,所以a5 a14d 2 12 10,故

15、选b.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要d的值，之后利用等差数列的通项利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差 公式得到a5与aDd的关系，从而求得结果.12.B解析：B【解析】【分析】1由已知三边，利用余弦定理可得cosB 2 ,结合b c, B为锐角，可得 B ,利用三角形内角和定理即可求 A C的值.【详解】在 ABC 中，Q a 5, b 7, c 8,25 64 49 12 5 8 2 2 2 2由余弦定理可得：cos B a一c2acQb c,故B为锐角，可得B 60 ,A C 180 60 120，故选 B.【点睛】 本题主要考

16、查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用.二、填空题13.【解析】【分析】利用辅助角公式化简可得再根据图象关于轴对称可求得 再结合余弦函数的图像求出最值即可【详解】因为函数的图象关于轴对称所以即又则即又因为所以则当即时取得最大值故答案为：【点睛】判定三角函数解析：3【解析】【分析】利用辅助角公式化简可得 f x 2sin（2x 石），再根据图象关于 y轴对称可求得f（x） 2cos,再结合余弦函数的图像求出最值即可 .、3sin 2xcos 2x【详解】因为函数2sin（2x 一）的图象关于y轴对称，6所以k%,即又因为It r / -,即 f (x) 32sin(2 x -)一，所以

17、一12 3c 5冗2x ，则当62cos2 x .2x皂，即x 2时，f（x）取得最大值6 12、.3.2cos6故答案为：,3.【点睛】判定三角函数的奇偶性时，往往与诱导公式进行结合，如：若y sin x 为奇函数，则 k “k Z；若y sin x 为偶函数，则 k/-,k Z -2若y cos x 为偶函数，则 k “k Z ；若y cos x 为奇函数，则 k/一，k Z .214. 18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为 18点睛：在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体 数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即 ni

18、解析：18【解析】应从丙种型号的产品中抽取 60 -300- 18件，故答案为18.1000点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所 抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即 ni ： N =n ： NI.15.【解析】【分析】【详解】圆柱的侧面积为【解析】圆柱的侧面积为2 2 4 1616.【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得 最小值【详解】根据题意连接如下图所示：在等腰三角形中已知则由向量数解析：, 7【解析】【分析】根据条件

19、及向量数量积运算求得 uuuu uuruuu uuuAB AC，连接AM，AN ,由三角形中线的性质表示出AM ,AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出uuuu2MN，结合二次函数性质即可求得最小值.【详解】根据题意，连接AM,AN，如下图所示：ACuuu uuir则由向量数量积运算可知 AB ACuuuAB线段EF、BC的中点分别为M、1, A120uuurAMuuirAEuuir AFuurABumrACuuirACcos A 11 cos120ouuurAN1 uuu AB2uuurAC由向量减法的线性运算可得uuuuMNuurANuuuu AMuuuABuuurACuuuu2 所

20、以MNuuu ABuuurAC2 uuir2AB2 uur2ACuuuABuurAC1 1 1 12 2 2 221 2 3 1 217 2 4T，向量的线性运算及模的求法，二次函数最值的应用112 112212 2 2 2 2因为 4 1,代入化简可得揣2因为， 0,1所以当1时，MN2取得最小值1uuur 1 J7因而MN 1- 7min 7 7故答案为：7L7【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用 属于中档题.17.【解析】【分析】由函数的解析式得到关于 x的不等式求解不等式即可确定 函数的定义域【详解】函数有意义则：即求解三角不等式可得：则函数的定义 域为【点睛】求函数的定义域其实

21、质就是以函数解析式有意义为准则列出22解析：2k ,2k - k Z33【解析】【分析】由函数的解析式得到关于 x的不等式，求解不等式即可确定函数的定义域 【详解】1函数有息义，则：2cosx 1 0,即cosx ，2一一 2 2求解三角不等式可得： 2k x 2k k Z ,3 3、 2 2则函数的定义域为 2k ，2k k Z .3 3【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后 求出它们的解集即可.18. 2x-4y+3= 0【解析】【分析】要/ ACBR小则分析可得圆心C到直线l的 距离最大此时直线l与直线垂直即可算出的斜率求得直线l的方程【详

22、解】由 题得当/ ACBR小时直线l与直线垂直此时又故又直线l过点解析：2x - 4y+3 = 0【解析】【分析】要/ ACB最小则分析可得圆心 C到直线l的距离最大，此时直线l与直线CM垂直,即可算 出CM的斜率求得直线l的方程.2，又 kCM kl 1【详解】 由题得，当/ ACB最小时,直线l与直线CM垂直,此时kCM一 1 1 一 . 1 1故 kl ,又直线 l 过点 M (一,1)，所以 l : y 1 (x ),即 2x 4y 3 0 .2 2 2 2故答案为：2x 4y 3 0【点睛】.同时也考查了线线垂直时斜率之积为 -1,以及用点斜式写出直， ， 1tan tan 1 )

23、4 4_ 6_ 7， , 1 51 tan tan 1 一4 4 650本题主要考查直线与圆的位置关系，过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心 到定点与直线垂直时取得最值 线方程的方法.19.【解析】故答案为解析：75【解析】tan tan 一 4 4故答案为7. 520.【解析】试题分析：所以考点：三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三 角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目 的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦 解析：生二2试题分析：cos(2 ) 2 -3 5sin(2 ) sin(2 12 3 42 24 7 17 2

24、7 24 1 , sin(2 -)袤，所以2 25 25 50考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系.【思路点晴】本题主要考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式 .题目的已知条件是单倍2角，并且加了 一，我们考虑它的二倍角的情况，即 cos(2 -)2- 1 Z,同6 3 5 2524 时求出其正弦值 sin(2 ) ,而要求的角sin(2 ) sin(2 ),再利3 25 12 3 4用两角差的正弦公式，就能求出结果.在求解过程中要注意正负号 .三、解答题. . 一 , 一 一 . 2 , ,一21. (I)2； ( II ) f x的最小正周期是 ， 一+k ,+k k

25、Z.6 3【解析】【分析】(I)直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值.(n)直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间.【详解】(I) f (x) = sin2x- cos2x 23 sin x cos x,=cos2x . 3 sin2x,=-2 sin 2x 一 6则 f ( 2-) =- 2sin ( 一)=2, 3 3 6(n)因为 f(x) 2sin(2 x -). 6所以f (x)的最小正周期是 .由正弦函数的性质得32k 2x 2k ,k Z ,2 6 2 . 2 ，一解得一k x k ,k Z ,6 3所以，f(x)的单调递增

26、区间是k , k , k Z .6 3【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数 y =总 + 血 的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调 区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即F 力+g)，然后利用三角函数 二44甘出的性质求解.1 一22. (1) cosB -； (2) 4衣.3 、【解析】【分析】(1)利用正弦定理边角互化思想以及切化弦的思想得出 cosB的值；(2)利用余弦定理求出 c的值，并利用同角三角函数的平方关系求出 sin B的值，最后利用三角形的面积公式即可求出

27、ABC的面积.【详解】(1)因为 atanB 3bsin A,所以 sinAtanB 3sin Bsin A,sin B _ _ _ 1又 sin A 0,所以 3sin B ,因为 sin B 0,所以 cosB 一 ；cosB 32 1由余弦te理，信 b a c 2ac cos B ,则 17 9 c 2 3c-,34.2.23整理得c2 2c 8 0，Qc 0，解得c1因为 cosB -,所以 sin B /cos B 3所以 ABC的面积S lacsinB 4 J2.2【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等

28、题 .一 . 323.(1) 29人；(2)一.5【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图，良好即第二三两组，计算出第二三两组的频率即可算出人数；(2)结合频率分布直方图，计算出 13,14,17,18两组的人数， m n 1即两位同学来自不同的两组，利用古典概型求解概率即可 【详解】(1)由直方图知，成绩在14,16)内的人数为：50 0.20 50 0.38 29 (人)，所以该班成绩良好的人数为 29人；(2)由直方图知，成绩在13,14)的人数为50 0.06 3人;成绩在17,18的人数为50 0.04 2人；.事件“m n 1”发生即这两位同学来自不同的两组,此题相当于从这五人中任取2人，求这两人来自不同组的概率其概率为