九年级数学知识点填空.docx
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九年级数学知识点填空
一）：
【知识梳理】
1.实数的有关概念
（1）有理数:
和统称为有理数。
（2）有理数分类
①按定义分:
②按符号分:
有理数
；有理数
（3）相反数：
只有不同的两个数互为相反数。
若a、b互为相反数，则。
（4）数轴：
规定了、和的直线叫做数轴。
（5）倒数：
乘积的两个数互为倒数。
若a（a≠0）的倒数为
.则。
（6）绝对值：
（7）无理数：
小数叫做无理数。
（8）实数：
和统称为实数。
（9）实数和的点一一对应。
2.实数的分类:
实数
3.科学记数法、近似数和有效数字
（1）科学记数法：
把一个数记成±a×10n的形式（其中1≤a<10，n是整数）
（2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。
取近似数的原则是“四舍五入”。
（3）有效数字：
从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字。
（一）：
【知识梳理】
1.有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则
（1）有理数加法法则：
①同号两数相加，取________的符号，并把__________
②绝对值不相等的异号两数相加，取________________的符号，并用
____________________。
互为相反数的两个数相加得____。
③一个数同0相加，__________________。
（2）有理数减法法则：
减去一个数，等于加上____________。
（3）有理数乘法法则：
①两数相乘，同号_____，异号_____，并把_________。
任何数同0相乘，
都得________。
②几个不等于0的数相乘，积的符号由____________决定。
当______________，
积为负，当_____________，积为正。
③几个数相乘，有一个因数为0，积就为__________.
（4）有理数除法法则：
①除以一个数，等于_______________________.__________不能作除数。
②两数相除，同号_____，异号_____，并把_________。
0除以任何一个
____________________的数，都得0
（5）幂的运算法则：
正数的任何次幂都是___________；负数的__________是负数，
负数的__________是正数
（6）有理数混合运算法则：
先算________，再算__________，最后算___________。
如果有括号，就_______________________________。
2.实数的运算顺序：
在同一个算式里，先、，然后，最后．有括号时，先算里面，再算括号外。
同级运算从左到右，按顺序进行。
3.运算律
（1）加法交换律：
_____________。
（2）加法结合律：
____________。
（3）乘法交换律：
_____________。
（4）乘法结合律：
____________。
（5）乘法分配律：
_________________________。
4.实数的大小比较
（1）差值比较法：
＞0
＞
，
=0
，
＜0
＜
（2）商值比较法：
若
为两正数，则
＞
＞
；
＜
＜
（3）绝对值比较法：
若
为两负数，则
＞
＜
＜
＞
（4）两数平方法：
如
5.三个重要的非负数：
（一）：
【知识梳理】
1.平方根与立方根
（1）如果x2=a，那么x叫做a的。
一个正数有个平方根，它们互为；
零的平方根是；没有平方根。
（2）如果x3=a，那么x叫做a的。
一个正数有一个的立方根；一个负数有一个的立方根；零的立方根是；
2.二次根式
（1）
（2）
（3）
（4）二次根式的性质
①
；③
②
；④
（5）二次根式的运算
①加减法：
先化为，在合并同类二次根式；
②乘法：
应用公式
；
③除法：
应用公式
④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。
（一）：
【知识梳理】
1.整式有关概念
（1）单项式：
只含有的积的代数式叫做单项式。
单项式中____________叫做这个单项式的系数；单项式中____________叫做这个单项式的次数；
（2）多项式：
几个的和，叫做多项式。
____________叫做常数项。
多项式中____________的次数，就是这个多项式的次数。
多项式中____________的个数，就是这个多项式的项数。
2.同类项、合并同类项
（1）同类项：
________________________________叫做同类项；
（2）合并同类项：
________________________________叫做合并同类项；
（3）合并同类项法则：
。
（4）去括号法则：
括号前是“＋”号，________________________________
括号前是“－”号，________________________________
（5）添括号法则：
添括号后，括号前是“+”号，插到括号里的各项的符号都；括号前是“－”号，括到括号里的各项的符号都。
3.整式的运算
（1）整式的加减法：
运算实质上就是合并同类项，遇到括号要先去括号。
（2）整式的乘除法：
①幂的运算：
②整式的乘法法则：
单项式乘以单项式：
。
单项式乘以多项式：
。
单项式乘以多项式：
。
③乘法公式：
平方差：
。
完全平方公式：
。
④整式的除法：
单项式相除：
把它们的系数、相同字母分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，相同字母相除要用到同底数幂的运算性质。
多项式除以单项式：
先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
（一）：
【知识梳理】
1．分解因式：
把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．
2．分解困式的方法：
⑴提公团式法：
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
⑵运用公式法：
平方差公式:
；
完全平方公式:
；
3．分解因式的步骤：
（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．
（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。
4．分解因式时常见的思维误区：
提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的项“1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等
一）：
【知识梳理】
1．分式有关概念
（1）分式：
分母中含有字母的式子叫做分式。
对于一个分式来说：
①当____________时分式有意义。
②当____________时分式没有意义。
③只有在同时满足____________，且____________这两个条件时，分式的值才是零。
（2）最简分式：
一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。
（3）约分：
把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。
将一个分式约分的主要步骤是：
把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的_________。
（4）通分：
把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分式叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的___________。
（5）最简公分母：
通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：
①当分母是多项式时，一般应先；②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的作为最简公分母的系数；③最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；④若分母的系数是负数，一般先把“－”号提到分式本身的前边。
2．分式性质：
（1）基本性质：
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个，分式的值．即：
（2）符号法则：
____、____与__________的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
即：
3.分式的运算：
注意：
为运算简便，运用分式
的基本性质及分式的符号法
则：
①若分式的分子与分母的各项
系数是分数或小数时，一般要化为整数。
②若分式的分子与分母的最高次项系数是负数时，一般要化为正数。
（1）分式的加减法法则：
（1）同分母的分式相加减，，把分子相加减；
（2）异分母的分式相加减，先，化为的分式，然后再按进行计算
（2）分式的乘除法法则：
分式乘以分式，用_________做积的分子，___________做积的分母，公式：
_________________________；分式除以分式，把除式的分子、分母__________后，与被除式相乘，公式：
；
（3）分式乘方是____________________，公式_________________。
4．分式的混合运算顺序，先，再算，最后算，有括号先算括号内。
5．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．
代数式
有理式
无理式
（一）：
【知识梳理】
1.代数式的分类:
2.代数式的有关概念
（1）代数式:
用（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式。
单独的一个数或者一个字母也是代数式．
（2）有理式：
和统称有理式。
（3）无理式：
3.代数式的值：
用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。
求代数式的值可以直接代入、计算。
如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值。
（一）：
【知识梳理】
1.方程的分类
2.方程的有关概念
（1）方程：
含有的等式叫方程。
（2）有理方程：
_________________________________________统称为有理方程。
（3）无理方程：
__________叫做无理方程。
（4）整式方程：
___________________________________________叫做整式方程。
（5）分式方程：
___________________________________________叫做分式方程。
（6）方程的解：
叫做方程的解。
（7）解方程：
_叫做解方程。
（8）一元一次方程：
___________________________________叫做一元一次方程。
（9）二元一次方程：
___________________________________叫做二元一次方程
3．①解方程的理论根据是：
_________________________
②解方程（组）的基本思想是：
多元方程要_________,高次方程要__________.
③在解_____方程，必须验根.要把所求得的解代入______进行检验；
4．解一元一次方程的一般步骤及注意事项：
步骤
具体做法
依据
注意事项
去分母
等式性质
去括号
乘法分配
律、去括
号法则
移项
移项法则
合并
同
类项
合并同
类
项法则
系数
化
为1
等式性质
5.二元一次方程组的解法．
（1）代人消元法：
解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法．
（2）减消元法：
通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．
6．整体思想解方程组．
（1）整体代入．如解方程组
，方程①的左边可化为3（x+5）－18=y+5③，把②中的
看作一个整体代入③中，可简化计算过程，求得y．然后求出方程组的解．
（2）整体加减，如
因为方程①和②的未知数x、y的系数正好对调，所以可采用两个方程整体相加减求解．利用①+②，得x+y=9③，利用②－①
得x－y=3④，可使③、④组成简单的方程组求得x，y．
7.两个方程二元一次方程与一次函数的区别和联系．区别：
（1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；
（2）二元一次方程用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系．联系：
（1）在直角坐标系中分别描出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上；
（2）在一次函数的图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程．
8.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系：
在同一直坐标系中，两个一次函数图象的交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点，
9.用作图象的方法解二元一次方程组：
（1）将相应的二元一次方程组改写成一次函数的表达式；
（2）在同一坐标系内作出这两个一次函数的图象；（3）观察图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解．
（一）：
【知识梳理】
1.一元二次方程：
只含有一个，且未知数的指数为的整式方程叫一元二次方程。
它的一般形式是（其中、）
它的根的判别式是△=；当△＞0时，方程有实数；当△=0时，方程有实数根；当△＜0时，方程有实数根；
一元二次方程根的求根公式是、（其中）
2．一元二次方程的解法：
⑴配方法：
配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：
ax2＋bx+c=0（k≠0）的一般步骤是：
①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上的绝对值一半的平方；④化原方程为
的形式；⑤如果
就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．
⑵公式法：
公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。
它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是
注意：
用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为。
⑶因式分解法：
用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：
①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
3．一元二次方程的注意事项：
⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．
⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：
①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．
⑶方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2（x＋4）2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）
⑷注意：
解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：
直接开平方法→因式分解法→公式法．
（一）：
【知识梳理】
1．分式方程:
分母中含有的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法：
解分式方程的关键是（即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；
3．分式方程的增根问题：
⑴增根的产生：
分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵验根：
因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。
验根的方法是将所求的根代人或，若的值为零或的值为零，则该根就是增根。
4．分式方程的应用：
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．
5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。
6.分式方程的解法有和。
（一）：
【知识梳理】
1.列方程解应用题常用的相等关系
题型
基本量、基本数量关系
寻找思路方法
工作
（工程）
问题
工作量、工作效率、工作时间
把全部工作量看作1
工作量=工作效率×工作时间
相等关系：
各部分工作量之和=1
常从工作量、工作时间上考虑相等关系
比例问题
相等关系：
各部分量之和=总量。
设其中一分为
，由已知各部分量在总量中所占的比例，可得各部分量的代数式
年龄问题
大小两个年龄差不会变
抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。
利息
问题
本息和、本金、利息、利率、期数关系：
利息=本金×利率×期数
相等关系：
本息和=本金+利息
行程问题
追击问题
路程、速度、时间的关系：
路程=速度×时间
1：
同地不同时出发：
前者走的路程=追击者走的路程
2：
同时不同地出发：
前者走的路程+两地间的距离=追击者走的路程
相遇问题
同
上
相等关系：
甲走的路程+乙走的路程=甲乙两地间的路程
航行问题
顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度
逆水（风）速度=静水（风）速度－水流（风）速度
1：
与追击、相遇问题的思路方法类似
2：
抓住两地距离不变，静水（风）速度不变的特点考虑相等关系。
数字问题
多位数的表示方法：
是一个多位数可以表示为
（其中0＜a、b、c＜10的整数）
1：
抓住数字间或新数、原数间的关系寻找相等关系。
2：
常常设间接未知数。
商品利
润
率问题
商品利润=商品售价－商品进价
首先确定售价、进价，再看利润率，其次应理解打折、降价等含义。
2.列方程解应用题的步骤:
（1）审题：
仔细阅读题，弄清题意；
（2）设未知数：
直接设或间接设未知数；
（3）列方程：
把所设未知数当作已知数，在题目中寻找等量关系，列方程；
（4）解方程；
（5）检验：
所求的解是否是所列方程的解，是否符合题意；
（6）答：
注意带单位．
（一）：
【知识梳理】
1．不等式：
用不等号（＜、≤、＞、≥、≠）表示的式子叫不等式。
2．不等式的基本性质：
（1）不等式的两边都加上（或减去），不等号的．
（2）不等式的两边都乘以（或除以），不等号的．（3）不等式的两边都乘以（或除以），不等号的方向．
3．不等式的解：
能使不等式成立的的值，叫做不等式的解．
4．不等式的解集：
一个含有未知数的不等式的，组成这个不等式的解集．
5．解不等式：
求不等式的过程叫做解不等式．
6．一元一次不等式：
只含有，并且未知数的最高次数是，系数不为零的不等式叫做一元一次不等式．
7．解一元一次不等式易错点：
（1）不等式两边部乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变，这是同学们经常忽略的地方，一定要注意；
（2）在不等式两边不能同时乘以0．
8．一元一次不等式的解法：
解一元一次不等式的步骤：
①，②，③，④，⑤（不等号的改变问题）
9．求不等式（组）的正整数解或负整数解等特解时，可先求出这个不等式（组）的所有解，再从中找出所需特解．
10．一元一次不等式组：
关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．
11．一元一次不等式组的解集：
一元一次不等式组中各个不等式的解集的，叫做这个一元一次不等式组的解集．
12．解不等式组：
求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．
13．一元一次不等式组的解．
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即这个不等式的解。
（口诀：
同大取大，同小取小；大于小的小于大的，取两者之间；大于大的小于小的，无解。
）
14.不等式组的分类及解集（a＜b）．
一：
【课前预习】
（一）：
【知识梳理】
1．列不等式解应用题的特征：
列不等式解应用题，一般所求问题有“至少”“最多”“不低于”“不大于”“不小于”等词，要正确理解这些词的含义．
2．列不等式解应用题的一般步骤：
列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：
①；②；③；④；⑤。
（其中检验是正确求解的必要环节）
（一）：
【知识梳理】
1.平面直角坐标系
（1）平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴，构成平面
直角坐标系，其中，水平的数轴叫做_____轴或_____轴，
通常取向右为正方向；铅直的数轴叫做____轴或_____轴，
取竖直向上为正方向，两轴交点O是原点，在平面中建
立了这个坐标系后，这个平面叫做坐标平面。
（2）坐标平面的划分:
x轴和y轴将坐标平面分成四个象限，如图所示，按___________
方向编号为第一、二、三、四象限。
注意：
坐标原点、x轴、y轴不属于任何象限。
（3）点的坐标的意义:
平面中，点的坐标是由两个有顺序的实数组成，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”分开，如（-2，3），横坐标是-2，纵坐标是-3，其位置不能颠倒，（-2，3）与（3，-2）是指两个不同的点的坐标。
（4）各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律
①x轴将坐标平面分为两部分，x轴上方的点的_____坐标为正数；x轴下方的点的______坐标为负数。
即第_____、_____象限及y轴正方向（也称y轴正半轴）上的点的纵坐标为______数；第_____、______四象限及y轴负方向（也称y轴负半轴）上的点的纵坐标为_______数。
反之，如果点P（a，b）在轴上方，则b____0；如果P（a，b）在轴下方，则b_____0。
②y轴将坐标平面分为两部分，y轴左侧的点的横坐标为负数；y轴右侧的点的横坐标为正数。
即第____、______象限和x轴负半轴上的点的______坐标为负数；第______、_______象限和和_____轴正半轴的的点的______坐标为正数。
反之，如果点P（a，b）在轴左侧，则a_____0；如果P（a，b）在轴右侧，则a_____0。
③规定坐标原点的坐标是（0，0）
④各个象限内的点的符号规律如下表。
坐标符号
点所在位置
横坐标
纵坐标
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
上表反推也成立，如：
若点P（a,b）在第四象限，则a>0,b<0等等。
⑤坐标轴上的点
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