最新2762动态经济学02汇总.docx
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最新2762动态经济学02汇总
2762-动态经济学02
〖数理经济学〗
董志勇
经济学院
第11讲动态经济学
（2）
第七节可变系数和可变项
在更一般的一阶线性微分方程中«SkipRecordIf...»（10.17）
«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»分别表示可变系数和可变项。
在这种情况下，如何求出时间路径«SkipRecordIf...»？
齐次方程的情况
对于齐次方程的情况，其中«SkipRecordIf...»，方程的解很容易求出。
因为微分方程的形式为
«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»（10.18）
两边依次对«SkipRecordIf...»积分，得到
左边＝«SkipRecordIf...»（假定«SkipRecordIf...»）
右边＝«SkipRecordIf...»
后一个方程难以进行进一步的积分，因为«SkipRecordIf...»未给出具体形式。
因此，我们不得不满足于一个一般积分表达式。
当方程两边相等时，结果成为：
«SkipRecordIf...»
则所求的«SkipRecordIf...»的路径可以通过求«SkipRecordIf...»的反对数得到：
«SkipRecordIf...»在此«SkipRecordIf...»（10.19）
这是微分方程（10.18）的通解。
为突出系数«SkipRecordIf...»的可变性质，我们已明确地写出了变量«SkipRecordIf...»。
但为了简化书写符号，我们从现在起省略自变量，并将«SkipRecordIf...»简化为«SkipRecordIf...»。
将不变系数模型的通解（10.18）与（10.19）相比较，（10.19）中唯一的修正是以更复杂的表达式«SkipRecordIf...»代替了«SkipRecordIf...»。
如果我们将«SkipRecordIf...»中的«SkipRecordIf...»解释成«SkipRecordIf...»（加上一个可纳入A项中的常数，因为«SkipRecordIf...»自乘常数幂仍为常数），我们可以更好地理解这种变化的合理性。
由此看来，这种差别就变成相似性了。
因为在两种情况下，我都取微分方程中«SkipRecordIf...»项的系数（在一种情况中为常数项«SkipRecordIf...»，在另一种情况中为可变项«SkipRecordIf...»）并将«SkipRecordIf...»对«SkipRecordIf...»积分，然后再取所得积分的负值作为«SkipRecordIf...»的指数。
一旦得到通解，根据适当的初始条件求得定解，便是一个相对简单的事了。
例6．求方程«SkipRecordIf...»。
这里«SkipRecordIf...»，且«SkipRecordIf...»。
因此，由（10.19），我们可以把解写成«SkipRecordIf...»在此«SkipRecordIf...»
注意，如果省去积分常数«SkipRecordIf...»，我们不会失去任何信息，因为那样我们会得到«SkipRecordIf...»，它与上式的解相同，因为A和B均表示任意常数。
换言之，指数式«SkipRecordIf...»总可以归入另一个常数A中。
非齐次方程的情况
对于非齐次方程的情况，其中«SkipRecordIf...»，解方程就有些难度了。
我们将通过后面将要讨论的恰当微分方程概念试求其解。
但在这里先给出结果：
给定微分方程（10.17），通解为
«SkipRecordIf...»（10.20）
其中A为如果均有恰当的初始条件，便可以确定的任意常数。
例7．求方程«SkipRecordIf...»的通解。
我们有«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»为任意常数），所以由（10.20），有
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»（在此«SkipRecordIf...»是任意常数）
此解的正确性也可通过微分来检验。
第八节恰当微分方程
我们现在引入恰当微分方程的概念，并运用这种解法解微分方程（10.16）以得到解的公式（10.19）。
尽管我们现在的目的是解线性微分方程，但恰当微分方程本身可以是线性的，也可以是非线性的。
恰当微分方程
给定二元函数«SkipRecordIf...»，其全微分为«SkipRecordIf...»令此微分等于零，所得到的方程«SkipRecordIf...»被称作是恰当微分方程，因为其左边恰好是«SkipRecordIf...»的微分。
一般而言，微分方程
«SkipRecordIf...»（10.20）
当且仅当存在一个函数«SkipRecordIf...»使得«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»时，便是恰当的。
然而，根据杨氏定理«SkipRecordIf...»，我们还可以表明，当且仅当«SkipRecordIf...»（10.21）
时，（10.20）是恰当的。
注意，我们对M和N项关于«SkipRecordIf...»出现的方式并未施加任何限制。
因此，恰当微分方程完全可以是非线性的。
然而，它总是一阶和一次的方程。
作为恰当方程，微分方程只是表明
«SkipRecordIf...»
因此，其通解的形式显然为
«SkipRecordIf...»
所以，解恰当微分方程基本上是求原函数«SkipRecordIf...»，并令其等于任意常数。
下面我们对方程«SkipRecordIf...»，介绍求«SkipRecordIf...»的方法。
解法
首先，因为«SkipRecordIf...»，所以函数F必定包含M对变量«SkipRecordIf...»的积分；这样，我们可以将初步结果以未确定的形式，写出如下：
«SkipRecordIf...»（10.22）
这里，偏导数M将仅对«SkipRecordIf...»积分；即«SkipRecordIf...»在积分过程中将被视为常数，正如它在«SkipRecordIf...»的偏微分从而产生«SkipRecordIf...»的过程中被视为常数一样。
因为在«SkipRecordIf...»对«SkipRecordIf...»偏微分过程中，任何仅含有变量«SkipRecordIf...»和某些常数的相加的项会消失，因此，我们在（10.22）中引入了一个一般项«SkipRecordIf...»。
尽管它并非恰好与积分常数相同，但它确实与积分常数发挥同样的作用。
得到«SkipRecordIf...»是相对容易的，但我们如何确定«SkipRecordIf...»项的确切形式呢？
诀窍在于利用«SkipRecordIf...»。
例8．解恰当微分方程«SkipRecordIf...»
在此方程中，有«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»
第一步：
由（10.22），我们可以首先写出初步结果
«SkipRecordIf...»
第二步：
对«SkipRecordIf...»偏微分，可得
«SkipRecordIf...»
但因«SkipRecordIf...»，和«SkipRecordIf...»，可得«SkipRecordIf...»
第三步：
上述结果的积分为
«SkipRecordIf...»
则我们有了«SkipRecordIf...»的具体形式。
在本例中，«SkipRecordIf...»恰好是一个常数。
在更一般的情况下，它可以是«SkipRecordIf...»的非常数函数。
第四步：
将第一步和第三步的结果结合起来可以得到
«SkipRecordIf...»
则恰当微分方程的解应为«SkipRecordIf...»。
但因常数«SkipRecordIf...»可以纳入«SkipRecordIf...»中，我们可以简单地将解写成«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»为常数）
例9．解方程«SkipRecordIf...»。
我们首先检验它是否是恰当微分方程。
令«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，可求得«SkipRecordIf...»。
因此，方程通过了恰当性检验。
为了求其解，我们仍遵循上例的步骤。
第一步：
应用（10.22）并写成
«SkipRecordIf...»
第二步：
将此结果对«SkipRecordIf...»微分，可得
«SkipRecordIf...»
则令其等于«SkipRecordIf...»，可得
«SkipRecordIf...»
第三步：
将最后结果积分得到
«SkipRecordIf...»（常数可以省略）
第四步：
将第一步和第三步的结果合并，以得到«SkipRecordIf...»的完备形式：
«SkipRecordIf...»
这意味着给定微分方程的解为«SkipRecordIf...»
这四个步骤可以用于解任何恰当微分方程。
有意思的是，甚至当给定方程不是恰当的时候，也可以应用这四个步骤。
但要看到这一点，我们必须首先引入积分因子这个概念。
积分因子
有时，将微分方程的每一项都乘以一个特定的公因子，非恰当的微分方程也可以成为恰当微分方程。
这样的因子称作积分因子。
例10．微分方程«SkipRecordIf...»不是恰当的，因为它不满足（10.21）：
«SkipRecordIf...»
但是，如果将给定方程的每项均乘以«SkipRecordIf...»，它便成为（10.19），从而成为恰当微分方程。
因此，«SkipRecordIf...»是本例给出的微分方程的积分因子。
一阶线性微分方程的解
一般的一阶线性微分方程«SkipRecordIf...»按（10.20）的形式，可以表示为
«SkipRecordIf...»（10.23）
具有积分因子«SkipRecordIf...»
这个形式非常不直观的积分因子可以通过如下办法“发现”：
令I为尚属未知的积分因子。
以I通乘（10.23）可以将其变为恰当微分方程：
«SkipRecordIf...»（10.23’）
正合性检验表明«SkipRecordIf...»。
观察M和N的表达式可知，因为M仅由I构成，且因«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»仅是«SkipRecordIf...»的函数，所以，如果I也只是«SkipRecordIf...»的函数，正合性检验将简化为非常简单的条件。
那时，检验变成«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»
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