河南省新乡市届高三上学期第二次月考数学理试题Word版含答案.docx
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河南省新乡市届高三上学期第二次月考数学理试题Word版含答案
河南省新乡市2019届上学期第二次月考
高三数学试卷（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数
的实部与虚部之差为（）
A．-1B．1C．
D．
2.若集合
，则
等于（）
A．
B．
C．
D．
3.已知
，且向量
，则
等于（）
A．（-2,3）B．（1,2）C．（4,3）D．（2,3）
4.下列四个命题中，正确的是（）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
5.已知
为等比数列
的前
项和，且
，则
等于（）
A．
B．
C．
D．
6.已知
，如图，在矩形
中，
，分别为
边、
边上一点，且
．现将矩形
沿
折起，使得平面
平面
，连接
，则所得三棱柱
的侧面积比原矩形
的面积大约多（）
A．68%B．70%C．72%D．75%
7.若定义在
上的函数
当且仅当存在有限个非零自变量
，使得
，则称
为类偶函数．那么下列函数中，为类偶函数的是（）
A．
B．
C．
D．
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．24B．
C．20D．
9.若函数
（
）与函数
的部分图像如图所示，则函数
图像的一条对称轴的方程可以为（）
A．
B．
C．
D．
10.已知平面区域
，夹在两条斜率为
的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为
．若点
，则
的最小值为（）
A．
B．3C．
D．6
11.已知函数
的导数为
，且
对
恒成立，则下列不等式一点成立的是（）
A．
B．
C．
D．
12.在正四棱锥
中，
为正方形
的中心，
，且平面
与直线
交于
，则（）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13.已知向量
，若
，则向量
在向量
方向上的投影为___________．
14.已知一个三棱锥的体积和表面积分别为
，若
，则该三棱锥内切球的表面积为_________．
15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：
将1到2016这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列
，则此数列的项数为_______________．
16.函数
的定义域为_______________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知函数
．
（1）若
，求
的最小值，并确定此时
的值；
（2）若
，求
的值．
18.（本小题满分12分）
已知
为等差数列
的前
项和，
，且
是
与
的等比中项．
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
为整数，求证：
．
19.（本小题满分12分）
如图，在
中，角
所对的边分别为
，且
，
为
边上一点．
（1）若
，求
的长．
（2）若
是
的中点，且
，求
的最短边的边长．
20.（本小题满分12分）
如图，在五棱锥
中，平面
平面
，且
．
（1）已知点
在线段
上，确定
的位置，使得
平面
；
（2）点
分别在线段
上，若沿直线
将四边形
向上翻折，
与
恰好重合，求直线
与平面
所成角的正弦值．
21.（本小题满分12分）
已知
，函数
．
（1）求证：
曲线
在点
处的切线过定点；
（2）若
是
在区间
上的极大值，但不是最大值，求实数
的取值范围；
（3）求证：
对任意给定的正数
，总存在
，使得
在
上为单调函数．
22.（本小题满分12分）
已知函数
，其中
．
（1）若
和
在区间
上具有时间的单调性，求实数
的取值范围；
（2）若
，且函数
的最小值为
，求
的最小值．
河南省新乡市2019届高三上学期第二次月考
数学理试题参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
D
C
A
D
D
D
B
A
A
A
二、填空题
13.414.
15.13516.
三、解答题
17.解：
（1）∵
，∴
，∴
．．．．．．．．2分
∴
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
（2）∵
，∴
，∵
，∴
．．．．．．7分
∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9分
∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
18.
（1）解：
设
的公差为
，∵
是
与
的等比中项，∴
．．．．．．．．．．1分
∴
，∴
，∴
或
．．．．．．．．．．．．4分
当
时，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
当
时，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分
（2）证明：
若
为整数，则
，
∴
，∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
∴
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
∴
，
即
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
19.解：
∵
，
∴
，．．．．．．．．．．．．．．．．1分
即
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（1）∵
，∴
，则
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
∴
．．．．．．．．．．．．．．．．4分
∵
，
∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）由
得
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7分
∵
，∴
，
则
，得
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
∴
，则
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
∵
且
，．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分
∴
，∴
，．．．．．．．．．．．．．． 11分
解得
，∴
，
∴
的最短边的边长
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
20.解：
（1）点
为靠近
的三等分点，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分
在线段
取一点
，使得
，连结
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分
∵
，∴
．
又
，∴四边形
为平行四边形，∴
，
∵点
为靠近
的三等分点，∴
，∴
，
∵
，∴平面
平面
，而
平面
，∴
平面
．．．．．．5分
（2）取
的中点
，连接
，∵
，∴
，又平面
平面
，
∴
平面
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
如图，建立空间直角坐标系
，则
．
设
，则
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
∵翻折后，
与
重合，∴
，又
，
故
，从而，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
，
设
为平面
的一个法向量，
则
，
取
，则
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
设直线
与平面
所成角为
，则
，
故直线
与平面
所成角的正弦值为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
21.
（1）证明：
∵
，∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
∵
，∴曲线
在点
处的切线方程为
，．．．．．．2分
即
，令
，则
，
故曲线
在点
处的切线过定点
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
（2）解：
，
令
得
或
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
∵
是
在区间
上的极大值，∴
，∴
．．．．．．．．．．．．．5分
令
，得
或
递增；令
，得
递减，
∵
不是
在区间
上的最大值，
∴
在区间
上的最大值为
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
∴
，∴
，又
，∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
（3）证明：
，
∵
，∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
令
，得
或
递增；令
，得
递减，．．．．．9分
∵
，∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
若
在
上为单调函数，则
，即
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11分
故对任意给定的正数
，总存在
（其中
），使得
在
上为单调函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
22.解：
（1）
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
∵
在
上恒成立，即
在
上单调递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
当
时，
，即
在
上单调递增，不合题意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
当
时，由
，得
，由
，得
，
∴
的单调减区间为
，单调增区间为
．．．．．．．．．．．．．．．．4分
∵
和
在区间
上具有相同的单调性，
∴
，解得
，
综上，
的取值范围是
．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）
，．．．．．．．．．．．．．．6分
由
得到
，设
，．．．．．．．．．．．．．7分
当
时，
；当
时，
，
从而
在
上递减，在
上递增，∴
．．．．．．．．．．．．9分
当
时，
，即
，
在
上，
递减；
在
上，
递增，∴
，．．．．．．． 10分
设
，
在
上递减，∴
，
∴
的最小值为0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
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