全国三卷理科数学高考真题及答案.docx
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全国三卷理科数学高考真题及答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A
x|x1≥0，
B
0，1，2，则AI
B
A．
0
B．
1
C．
1，2
D．0，1，2
2．1
i2i
A．
3i
B．
3
iC．
3i
D．3i
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方
体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
2上，则△ABP面积的取值范围
6．直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆x22y2
A．2，6B．4，8C．2，32D．22，32
7．函数yx4x22的图像大致为
A．0.7
B．0.6
C．
0.4
D．0.3
2
22
9．△ABC的内角
A，B，C的对边分别为a，
b，c，
若△ABC的面积为
a
bc，则C
4
A．π
B．π
C．
π
D．
π
2
3
4
6
△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥
10．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，
DABC体积的最大值为
11．设F1，F2是双曲线C：
x2y21（a0，b0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的ab
垂线，垂足为P．若PF16OP，则C的离心率为
A．5
B．2
C．
3
D．2
12．设a
log0.20.3，blog20.3，则
A．a
bab0
B．
abab0
C．a
b0ab
D．
ab0ab
二、填空题
：
本题共4小题，每小题5分，共
20分。
13．已知向量a=1,2，b=2,2，c=1,λ．
若c∥
2a+b，则___
14．曲线yax1ex在点0，1处的切线的斜率为2，则a．
15．函数fxcos3x在0，π的零点个数为．
6
16．已知点M1，1和抛物线C：
y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB90，则k．
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须
作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17．（12分）
等比数列an中，a11，a54a3．
（1）求an的通项公式；
（2）记Sn为an的前n项和．若Sm63，求m．
18．（12分）
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两
种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人。
第一组工人用第一种生产方式，第
min）绘制了如下茎叶图：
二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？
并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人
数填入下面的列联表：
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
3）根据
（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
2
附：
K2
nadbc
abcdacbd
2
PK2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19．（12分）
如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧C?
D所在平面垂直，M是C?
D上异于C，D的点．
1）证明：
平面AMD⊥平面BMC；
2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．
20．（12分）
22已知斜率为k的直线l与椭圆C：
xy
43
1）证明：
k
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FPFAFB0．证明：
FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．
21．（12分）
已知函数fx2xax2ln1x2x．
（1）若a0，证明：
当1x0时，fx0；当x0时，fx0；
（2）若x0是fx的极大值点，求a．
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．［选修4—4：
坐标系与参数方程］（10分）
xcos，
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为（为参数），过点0，2且倾斜角为的
ysin
直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．23．［选修4—5：
不等式选讲］（10分）
设函数fx2x1x1．
（1）画出yfx的图像；
参考答案：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
D
A
B
C
A
D
B
C
B
C
B
1
13.14.315.316.2
2
17.（12分）
解：
（1）设｛an｝的公比为q，由题设得anqn1
由已知得q44q2，解得q0（舍去），q2或q2.
故an
（2）n1或an2n1.
（2）若an
（2）n1，则Sn1
（2）.由Sm63得
（2）m188，此方程没有正整数解3
若an2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.
综上，m6.
18.（12分）
解：
（1）第二种生产方式的效率更高.
理由如下：
（i）由茎叶图可知：
用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第
二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高
（ii）由茎叶图可知：
用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产
方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
（iii）由茎叶图可知：
用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方
式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.
（iv）由茎叶图可知：
用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致
呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分
超过m
不超过m
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
3）由于K240（151555）106.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异
20202020
19.（12分）
解：
（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CM,D故BC⊥DM.
因为M为C?
D上异于C，D的点,且DC为直径，所以DM⊥CM.
又BCICM=C,所以DM⊥平面BMC.
而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.
uuur
2）以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
当三棱锥M-ABC体积最大时，M为C?
D的中点.
由题设得D（0,0,0）,A（2,0,0）,B（2,2,0）,C（0,2,0）,M（0,1,1），
uuuuruuuruuur
AM（2,1,1）,AB（0,2,0）,DA（2,0,0）
设n（x,y,z）是平面MAB的法向量,则
|n||DA|
20.（12分）
3.①
4m
2）由题意得F（1,0），设P（x3,y3），则
（x31,y3）（x11,y1）（x21,y2）（0,0）.
uuuur
nAM0,2xyz0,
uuur即
nAB0.2y0.
可取n（1,0,2）.
uuur
DA是平面MCD的法向量,因此
uuurnDAuuur
由
（1）及题设得x33（x1x2）1,y3（y1y2）2m0.
33uuur3
又点P在C上，所以m，从而P（1,），|FP|.
422
于是
|uFuAur|（x11）2y12（x11）23（1x41）2x21.
uuurx同理|FB|22.
2
uuuruuur1所以|FA||FB|4（x1x2）3.
设该数列的公差为d，则
uuuruuur112
2|d|||FB||FA||2|x1x2|2（x1x2）24x1x2.②
3将m代入①得k1.
4
721所以l的方程为yx，代入C的方程，并整理得7x214x0.
44
21.（12分）
设函数g（x）
xx
f（x）ln（1x）1xx，则g（x）（1xx）2
当1x0时，g（x）0；当x0时，g（x）0.故当x1时，g（x）g（0）0，且仅当x0时，g（x）0，从而f（x）0，且仅当x0时，f（x）0.
所以f（x）在（1,）单调递增.
又f（0）0，故当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0.
（2）（i）若a0，由
（1）知，当x0时，f（x）（2x）ln（1x）2x0f（0），这与x0是f（x）的极大值点矛盾.
（ii）若a0，设函数h（x）f（x）2ln（1x）2x2.
2xax22xax2
由于当|x|min{1,1}时，2xax20，故h（x）与f（x）符号相同.
又h（0）f（0）0，故x0是f（x）的极大值点当且仅当x0是h（x）的极大值点.
12（2xax2）2x（12ax）
1x（2xax2）2
6a1如果6a10，则当0x，且|x|min{1,
4a
如果6a10，则a2x24ax6a10存在根x10，故当x（x1,0），且|x|min{1,|1a|}时，h（x）0，所以x0不是h（x）的极大值点.
所以x0是h（x）的极大值点，从而x0是f（x）的极大值点
综上，a1.
6
22．［选修4—4：
坐标系与参数方程］（10分）
解析】
（1）eO的直角坐标方程为x2y21．
当时，l与eO交于两点．
2
2时，记tan
k，则l的方程为y
kx2．l与eO交于两点当且仅当
2
|1k2|
1，解得k1
或k1，即（4,2）或（2,4）．
综上，的取值范围是（,）．
44
xtcos,
2）l的参数方程为（t为参数，）．
y2tsin44
设A，B，P对应的参数分别为
tA，tB，tP，则tP
2
且tA，
tB满足t2
22tsin
于是tAtB22sin，tP
2sin
x
．又点P的坐标（x,y）满足
y
tPcos,
2tPsin
所以点P的轨迹的参数方程是
2sin2,
2
22cos2
22
（为参数，
4）．
23．［选修4—5：
不等式选讲］（10分）
1
3x,x,
2
解析】
（1）f（x）
1
x2,x1,yf（x）的图像如图所示．
2
3，故当且仅当
（2）由
（1）知，yf（x）的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为a3且b2时，f（x）axb在［0,）成立，因此ab的最小值为5
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