高一数学必修一函数的表示法1doc.docx

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1・2函数及其表示

§1.2.2品数的表丘怯1

教学目的：

1.掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法.

2.培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，掌握分段函数的概念.

教学重点：

解析法、图彖法.

教学难点：

作函数图象.

教学过程：

一、复习引入：

1.函数的定义是什么？

函数的图象的定义是什么？

2.在屮学数学小，画函数图象的基本方法是什么？

3.用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？

怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？

二、讲解新课：

函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.

⑴解析法：

就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.

例如,s=6012,A=>Tr2,S=2Till,y=ax2+bx+c（a0）,y=-Jx—2（x-2）等等都是用解析式表示函

数关系的.

优点：

一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个H变量的值所对应的函数值•中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.

它的图象rfl4个孤立

⑵列表法：

就是列出表格來表示两个变量的函数关系.

例如，学生的身高单位：

厘米

学号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

身高

125

135

140

156

138

172

167

158

169

数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列千时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表

优点：

不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的两数值.

⑶图象法：

就是用函数图象表示两个变量之间的关系.

例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图彖，股市走向图等都是用图彖法表示函数关系的.

优点：

能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.

三、例题讲解

例1某种笔记本每个5元,买XG{123,4}个笔记本的钱数记为y（元）,试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像.

解:

这个函数的定义域集合是{1,2,3,4},函数的解析式为y=5x,xe{1,2,3,4}.点A（l,5）B（2,10）C（3,15）D（4,20）组成，如图所示.

例2国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超炊过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封xg（0

分），试写出以x为自变蜃的函数y的解析式，并也如

出这个函数的图像.

解：

这个函数的定义域集合是0VXW100,函数的解析式为

80,xg（0,20],

160,xg（20,40|,

y=J240,%g（40,60],

320,j€（60,80],

400,xg（80,100）.

这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都平行于x轴，如图所示.这一种函数我们把它称为分段函数.

例3画出函数y=lxl=rA~0,的图象

\-x兀＜0・

解：

这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示.说明：

①再次说明函数图象的多样性；

2从例4和例5看到，有些函数在它的定义域中，对于口变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.注意分段西数是一个函数，而不是儿个函数.

3注意：

并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷

||x是冇理数

Z）函数D啊°,濾无理数，我们就作不出它的图象

解：

根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即:

x<-2

-2

X>1

例4作出分段函数y=兀一1十x+2的图像

—（2兀+1）

>?

=x-l+x+2=<3

2x+l

作出图像如下

例5作出函数y=x+丄的图彖

X

歹lj表描点:

K*

U

M

N*

G

0*

P1

Q*

（•50,-5.2）

（-4.0,-4.3）

（・30,・3.3）

（・20,・25）

（•1.0.-20）

（-0.4,-3.0）

（-0.3>-4.0）

（-0.2.-5.0）

Q

P

0

G

N

M

L

K

（0.2,5.0）

（0.3,4.0）

（0.4,3.0）

（1.0,2.0）

（2.0,2.5）

（3.0,3.3）

（4.0,4.3）

（50,5.2）

51C

补充：

1.作函数y=lx-2l（x+l）的图像

分析显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.

解:

（1）当xN2时，即x-230时，r1r9

y=（x-2）（x+l）=兀~-x-2=（x~2^_才当x<2时，即x-2<（）时，

9+—.

4

rif

X——

I2丿

（1）

・x

I2丿

9

4

9

+-

4

x>2

x<2

这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图彖作出

2.作出函数＞Mr-2r-3l的函数图像

1

/—2x-3n0

x2—2x—3v0

步骤：

（1）作出函数y=x2-2x-3的图象

（2）将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=lx2-2x-3l的图象.

四、课后练习

一、选择题

1.已知一次函数的图象过点（1,0）和（0,1）,则此一次函数的解析式为

A.f（x）=—x

B.f（x）=x-l

2.已知函数f（x-1）=x2-3,则f

（2）的值为

A.-2B.6

C.1D.0

3.已知f（x）=±‘g（x）=x+l,则f（g（x））的表达式是

A*x2+2x

X2

Gx2+2x

B.

D.

x2

]

x‘一1

4•己知函数y£m（n）+3,茴

则f⑶等于

A.0

C.6

B.3

D.9

二.填空题

5.已知函数f（x）的图象如图所示,

则此函数的定义域是

6.已知f（x）与g（x）分别由下表给出

X

1

2

3

4

f（x）

4

3

2

1

那么f（g（3））=

X

1

2

3

4

g（x）

3

1

4

2

三、解答题

7.解答下列问题:

⑴若f（x+1）=2x2+1,求f（x）；

⑵若函数f（x）i

+b'

f

（2）=l,又方程f（x）=x有唯一解,求f（x）・

&作卜•列各函数的图彖：

（2）y=|x-l|；

（1）y=2x2—4x—3（0

9.已知函数

[2x,（xW—1）

f（x）=<1,（—lVxWl）

、一2x,（x>l）

（1）求f（x）的定义域、值域;

（2）作出这个函数的图象.

⑴⑵

课后作业参考答案

一、选择题

1・D2.B3.A[f（g（x））=（x+：

）2_]=；7^.]4.f

（2）=f（1+1）=f

（1）+3=0+3=3,

・・・f（3）=f（2+l）=f

（2）+3=3+3=6.选C

二、填空题

5.[-3,3][-2,2]6.【答案】1山表可得g（3）=4,・・・f（g（3））=f（4）=l.

三、解答题

7.【解析】⑴令t=x+l,则x=t-l,Af（t）=2（t-l）2+l=2t2-4t+3.Af（x）=2x2-4x+3.

2

（2）由f⑵=1得茲齐=1，即2a+b=2；

v1I—h

由他）円得待尸变形得x（寸厂1）=0,解此方程得：

x=0^x—.乂因为方程有唯

1—b1

一解，所以——=0,解得b=l,代入2a+b=2得a=Raz

2x

所以所求解析式为f（x）=兀・

8.【解析】（l）T0Wx<3,二这个函数的图象是抛物线y=2x2-4x-3介于0Wx<3之间的一段弧（如图⑴）.

X——1X>1

是端点

⑵所给函数可写成分段函数尸一xSl

为（1,0）的两条射线（如图

（2））・

9.【解析】（l）f（x）的定义域为{x|xW—1}U{x|—1VxWl}U{x|x>1}={x|xW-1或一lVxWl或x>l}=R,

f（x）的值域为{y|yW—2}U{1}U{y|y<—2}={y|yW—2或y=1},

・・・f（x）的定义域为R,值域为{y|yW—2或y=l}・⑵

根据解析式分段作图如图