吉林大学高数A3作业.docx

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吉林大学高数A3作业

高等数学作业

AⅢ

吉林大学公共数学教学与研究中心

2013年9月

第一次作业

学院班级姓名学号

一、单项选择题

1．设L是圆周，则（）．

（A）；（B）；（C）；（D）．

2．设L是由（0,0）,（2,0）,（1,1）三点连成的三角形边界曲线，则（）．

（A）；（B）；（C）；（D）．

3．设是锥面在的部分，则（）．

（A）；（B）；

（C）；（D）．

4．设为，是在第一卦限中的部分，则有（）．

（A）；（B）；

（C）；（D）．

二、填空题

1．设曲线L为下半圆，则．

2．设L为曲线上从到的一段，则．

3．设表示曲线弧，则．

4．设是柱面在之间的部分，则．

5．设是上半椭球面，已知的面积为A，则．

三、计算题

1．计算，其中L为圆周，直线及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．

2．，其中．

3．计算曲面积分,其中曲面被柱面所截得部分。

4．求，其中是介于与之间的柱面．

四、应用题

1．求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积．

2．求面密度的均匀半球壳关于z轴的转动惯量．

第二次作业

学院班级姓名学号

一、单项选择题

1．设L是圆周负向一周，则曲线积分

（）．

（A）0；（B）；（C）；（D）．

2．设L是椭圆沿逆时针方向，则曲线积分

（）．

（A）；（B）；（C）1；（D）0．

3.设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且，则等于（）

（A）（B）（C）（D）1

4．已知为某函数的全微分，则（）正确．

（A）；（B）0；（C）2（D）1．

二、填空题

1．设L为正向一周，则．

2．设L为封闭折线正向一周，则．

3．设L为从x=0到一段弧，将化为第一型曲线积分为．

4．设L为封闭折线沿顺时针方向，则．

三、计算题

1．计算，其中L是抛物线上从点到，再沿直线到的曲线．

2．计算，其中L是圆周上从到的一段弧．

3．设在内具有一阶连续导数，L是半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为．证明

（1）证明曲线积分I与路径L无关

（2）当时，求I的值

4．设力，证明力F在上半平面内所作的功与路径无关，并求从点到点力F所作的功．

5．计算，其中在连结点与的线段之下方的任意路线，且该路线与AB所围成的面积为2，具有连续的导数。

四．证明题

证明，并由此估计的上界。

其中为球面与平面的交线并已取定方向

第三次作业

学院班级姓名学号

一、单项选择题

1．设是球面外侧，则曲面积分

（）．

（A）0；（B）；（C）；（D）．

2．设空间闭区域由曲面与平面围成，记的表面外侧为，的体积为V，则（）

（A）0；（B）V；（C）2V；（D）3V.

3．设是球面的外侧，则曲面积分

（）．

（A）0；（B）1；（C）；（D）．

4设，其中为锥面介于平面及之间部分的下侧，则（）

（A）；（B）;（C）；（D）

二、填空题

1．设为球面，法向量向外，则．

2．向量场在点处的散度divA=．

3．设向量场，则．

4．设是平面在第一卦限部分的下侧，则化为对面积的曲面积分为．

5．设为球面，法向量向外，则．

6．设，则．

三、计算题

1．计算，其中是球面的下半球面，法线朝上，是法线正向与z轴正向的夹角。

2．计算，其中为连续函数，为平面在第四卦限部分的上侧。

3．计算曲面积分

其中,方向外侧

4．计算，其中是曲面的上侧．

5．计算，其中是平面与柱面的交线，从z轴正向看去，取逆时针方向．

6.计算曲面积分其中是球面

第四次作业

学院班级姓名学号

一、单项选择题

1．设，则下列级数中肯定收敛的是（）．

（A）；（B）；（C）；（D）．

2．若级数都发散，则（）．

（A）发散；（B）发散；

（C）发散；（D）发散．

3．设级数收敛，则必收敛的级数为（）．

（A）；（B）；

（C）；（D）．

4．设a为常数，则级数（）．

（A）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散；（D）收敛性取决于a的值．

5．设，下列结论中正确的是（）

（A）级数和都收敛（B）级数和都发散

（c）级数收敛，而都发散（D）级数发散，而收敛

6．则级数

（A）发散;（B）绝对收敛;

（C）条件收敛;（D）收敛性根据条件不能确定.

二、填空题

1．若级数，则级数=．

2．设级数收敛，则满足什么条件

3．当时，级数的收敛

三、计算题

1．判别级数的敛散性

2．求级数的和．

3．设正项数列单调减少，且发散，试问级数是否收敛？

并说明理由．

4．判别级数的敛散性

5．判别级数的敛散性（）

6．讨论级数的敛散性

四．证明题

1．若正项数列单调增加且有上界，证明收敛

2．若级数绝对收敛，证明绝对收敛

第五次作业

学院班级姓名学号

一、单项选择题

1．设，则幂级数的收敛半径（）．

（A）；（B）；（C）；（D）．

2．已知函数在处收敛，则在处，该级数为（）．

（A）发散；（B）条件收敛；（C）绝对收敛；（D）收敛性不定．

3．幂级数的收敛域是（）．

（A）；（B）；（C）[-3,3]；（D）．

4．展开为x的幂级数是（）．

（A）；（B）；（C）；（D）．

5.设，而，其中

则（）

（A）（B）（C）（D）

二、填空题

1．若幂级数在处条件收敛，则幂级数收敛半径为．

2．设幂级数的收敛半径为2，则幂级数的收敛区间为．

3．幂级数的收敛半径为．

4．设函数，而，其中，则的值为．

三、计算题

1．设幂级数，求

（1）收敛域及其和函数；

（2）的和。

2．将函数展开成x的幂级数

3．求幂级数的收敛域．

4．利用幂级数求的和

5．将函数在点展成幂级数

6．求幂级数的和函数．

7．设是周期为2的周期函数，且写出的傅里叶级数与其和函数，并求级数的和．

第六次作业

学院班级姓名学号

一、单项选择题

1．设函数满足微分方程。

且在时，则在时，（）

（A）；（B）；（C）；（D）．

2．若是方程的两个解，要使也是該方程的解，应满足关系式（）．

（A）；（B）；（C）；（D）．

3．方程是（）．

（A）可分离变量方程；（B）齐次方程；

（C）全微分方程；（D）一阶线性非齐次方程．

4．设函数满足微分方程，且当时。

则当时（）

（A）；（B）；（C）；（D）．

二、填空题

1．常微分方程的通解是．

2．常微分方程的通解是．

3．设连续可微，且满足，则．

4．若曲线积分与路径无关，其中可导，则．

三、计算题

1．求解微分方程．

2．求解微分方程

3．求解微分方程．

4．求微分方程的通解．

5．求解微分方程．

第七次作业

学院班级姓名学号

一、单项选择题

1．设线性无关的函数均是方程的解，是任意常数，则该方程的通解是（）．

（A）；

（B）；

（C）；

（D）．

2．若2是微分方程的特征方程的一个单根，则该微分方程必有一个特解（）．

（A）；（B）；（C）；（D）．

3．方程的特解形式为（）．

（A）；（B）；

（C）；（D）．

4．以为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是（）．

（A）；（B）；

（C）；（D）．

二、填空题

1．若是二阶非齐次线性微分方程的线性无关的解，则用表达此方程的通解为．

2．微分方程的通解为．

3．微分方程的通解．

4．以为一个特解的二阶常系数线性微分方程为．

5．的一个特解形式为．

三、计算题

1．求解微分方程．

2．求微分方程的通解，其中a为常数．

3．求微分方程在原点处与直线相切的特解．

4．求微分方程的通解．

．

四、综合题

设具有二阶连续导数，，且

是全微分方程，求及此全微分方程的通解．

综合练习题

学院班级姓名学号

一、单项选择题

1．设L为椭圆的顺时针方向，则（）．

（A）（B）（C）0（D）

2．设，由（0，0，-1）到（0，0，1）则以下计算（）错误．

（A）（B）（C）（D）

3．设为正项级数，下列结论中正确的是（）．

（A）若，则级数收敛；

（B）若存在非零常数，使得，则级数发散；

（C）若级数收敛，则；

（D）若级数发散，则存在非零常数，使得．

4．若，则幂级数（）．

（A）当<2时绝对收敛；（B）当时绝对发散；

（C）当<4时绝对收敛；（D）当时绝对发散．

5．设是方程的解，并且，则（）．

（A）在点的某邻域内单调增加；（B）在点的某邻域内单调减少；

（C）在点处取极小值（D）在点处取极大值．

二、填空题

1．L为上半圆周，则．

2．设是柱面在之间的部分，则．

3．设为L椭圆，其周长为a，则．

4．周期为2的函数，它在一个周期内的表达式为，设它的傅里叶级数的和函数为，则．

5．以为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是．

6．曲面，则．

三、计算题

1．计算，其中为锥面被柱面截得的有限部分．

2．计算曲线积分，其中为连接点O（0,0）和的任何路径，但与直线OA围成的图形ONAO有定面积．

3．设函数在内具有二阶导数，且满足等式

．

（Ⅰ）验证：

；

（Ⅱ）若，求函数的表达式．

4．计算其中为曲的上侧．

5．将函数展开成x的幂级数．

6．已知齐次方程的通解为求非齐次方程的通解．

7.设具有二阶导数。

满足方程

求的表达式。

四、证明题

设．证明：

对任意常数，级数收敛．

综合模拟题

（一）

学院班级姓名学号

一、单选题（共6道小题，每小题3分，满分18分）

1.设L是光滑的，包含原点的正向闭曲线，则曲线积分（）.

（A）0;（B）2π;（C）π;（D）-π.

2.设曲面为在第一卦限部分的下侧，则（）.

（A）（B）（C）（D）

3.级数的收敛域是（）.

（A）[-1,1];（B）（-1,1];（C）[-1,1）;（D）（-1,1）.

4.级数（）.

（A）发散；（B）条件收敛；

（C）绝对收敛；（D）收敛性与取值有关，不能确定.

5.已知幂级数在处收敛，则（）.

（A）发散；（B）条件收敛；

（C）绝对收敛；（D）收敛性不能确定.

6.已知是二队常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为（）.

（A）;（B）;

（C）;（D）.

二、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分）

1.设半圆形曲线的线密度则其对轴的转动惯量为