全国三卷理科数学高考真题及答案.docx

1、全国三卷理科数学高考真题及答案2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 Ax|x 10 ，B0 ，1，2 ，则 AIBA0B1C1，2D 0，1，22 1i 2 iA3iB3i C3iD 3 i3中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼， 图中木构件右边的小长方体是榫头 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体， 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以 是2 上，则 ABP 面积的取值范围6直线 x y 2 0分别与 x轴， y

2、轴交于 A，B两点，点 P在圆 x 2 2 y2A 2，6 B 4，8 C 2，3 2 D 2 2 ，3 27函数 y x4 x2 2 的图像大致为A0.7B0.6C0.4D0.32229 ABC 的内角A，B，C 的对边分别为 a，b， c ，若 ABC 的面积为ab c ，则 C4A B CD2346ABC 为等边三角形且其面积为 9 3 ，则三棱锥10设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，D ABC 体积的最大值为11设 F1 ，F2是双曲线 C：x2 y2 1（ a 0，b 0 ）的左，右焦点， O是坐标原点过 F2作C的一条渐近线的 ab垂线，垂足为 P若 PF1

3、 6 OP ，则 C 的离心率为A 5B2C3D 212设 alog 0.2 0.3 ， b log 2 0.3 ，则A ab ab 0Bab a b 0C ab 0 abDab 0 a b二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分。13已知向量 a= 1,2 ，b= 2, 2 ，c= 1,若 c 2a+ b ，则 _14曲线 y ax 1 ex 在点 0，1 处的切线的斜率为 2，则 a 15函数 f x cos 3x 在 0， 的零点个数为 616已知点 M 1，1 和抛物线 C：y2 4x，过 C的焦点且斜率为 k的直线与 C交于 A ， B两点若 AMB 90 ， 则 k

4、 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（ 12 分）等比数列 an 中， a1 1，a5 4a3 （ 1）求 an 的通项公式；（2）记 Sn为 an 的前 n项和若 Sm 63，求 m 18（ 12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人。第一组工人用第一种生产方式，第min）绘制了如下茎叶图：二组工人用第二种生

5、产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（ 2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m ，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：超过 m不超过 m第一种生产方式第二种生产方式3）根据（ 2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？2附： K 2n ad bca b c d a c b d2P K2 k0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819（ 12 分）如图，边长为 2的正方形 ABCD所在的平面与半圆弧 C?D所在平面垂直， M是C?D上

6、异于 C，D的点1）证明：平面 AMD 平面 BMC ；2）当三棱锥 M ABC体积最大时，求面 MAB与面 MCD 所成二面角的正弦值20（ 12 分）22 已知斜率为 k的直线 l 与椭圆 C：x y431）证明： kuuur uuur uuur uuur uuur uuur（2）设F为C的右焦点， P为C上一点，且 FP FA FB 0证明： FA，FP，FB 成等差数列，并求 该数列的公差21（ 12 分）已知函数 f x 2 x ax2 ln 1 x 2 x （1）若 a 0 ，证明：当 1 x 0时， f x 0；当 x 0 时， f x 0 ；（2）若 x 0是 f x 的极大值

7、点，求 a （二）选考题：共 10分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22 选修 44：坐标系与参数方程 （10分）x cos ，在平面直角坐标系 xOy 中， O的参数方程为 （ 为参数），过点 0， 2 且倾斜角为 的y sin直线 l 与 O交于 A ，B两点（ 1）求 的取值范围；（2）求 AB中点 P 的轨迹的参数方程 23选修 45：不等式选讲 （10 分）设函数 f x 2 x 1 x 1 （ 1）画出 y f x 的图像；参考答案：123456789101112CDABCADBCBCB113. 14. 3 15. 3 16.2217.

8、（12 分 ）解：（1）设 an的公比为 q ，由题设得 an qn 1由已知得 q4 4q2，解得 q 0 （舍去）， q 2 或q 2.故 an （ 2）n 1或 an 2n 1.（2）若 an （ 2）n 1，则 Sn 1 （ 2） .由 Sm 63得 （ 2）m 188 ，此方程没有正整数解 3若an 2n1，则 Sn 2n 1.由Sm 63得2m 64，解得 m 6.综上， m 6.18.（12 分）解：（ 1）第二种生产方式的效率更高 .理由如下：（ i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟，用第二种生产方式的工人中， 有

9、75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟. 因此第二种生产方式的效率更高（ii ）由茎叶图可知： 用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5 分钟， 用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟 .因此第二种生产方式的效率更高 .（ iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高 .（iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多，关于茎 8大致呈对称分布；用第二种生产方

10、式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分 布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生 产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高 .以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分超过 m不超过 m第一种生产方式155第二种生产方式5153）由于 K 2 40（15 15 5 5） 10 6.635 ，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异20 20 20 2019.（12 分）解：（1）由题设知 ,平面 CMD平面 ABCD,交线

11、为 CD. 因为 BC CD, BC 平面 ABCD,所以 BC平面 CM,D故 BC DM.因为 M为C?D上异于 C，D的点,且 DC为直径，所以 DMCM.又 BCI CM=C, 所以 DM平面 BMC.而 DM 平面 AMD, 故平面 AMD平面 BMC.uuur2）以 D为坐标原点 , DA 的方向为 x 轴正方向 , 建立如图所示的空间直角坐标系 D- xyz.当三棱锥 M- ABC体积最大时， M为C?D 的中点.由题设得 D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), M (0,1,1)，uuuur uuur uuurAM ( 2,1,1),AB

12、 (0, 2,0), DA (2,0,0)设 n （x,y,z）是平面 MAB的法向量 , 则|n|DA|20.(12 分)3 . 4m2)由题意得 F (1,0) ，设 P(x3,y3)，则(x3 1,y3) (x1 1, y1) (x2 1,y2) (0,0) .uuuurn AM 0, 2x y z 0,uuur 即n AB 0. 2 y 0.可取 n (1,0,2) .uuurDA 是平面 MCD的法向量 ,因此uuur n DA uuur由( 1)及题设得 x3 3 (x1 x2 ) 1, y3 (y1 y2) 2m 0 .3 3 uuur 3又点 P在 C上，所以 m ，从而 P(

13、1, )，|FP | .4 2 2于是|uFuAur | (x1 1)2 y12 (x1 1)2 3(1 x41 ) 2 x21.uuur x 同理 |FB | 2 2 .2uuur uuur 1 所以 |FA| | FB| 4 (x1 x2) 3.设该数列的公差为 d，则uuur uuur 1 1 22|d| |FB| |FA| 2|x1 x2| 2 (x1 x2)2 4x1x2 .3 将 m 代入得 k 1 .47 2 1 所以 l 的方程为 y x ，代入 C的方程，并整理得 7x2 14x 0 .4421.(12 分 )设函数 g (x)xxf (x) ln(1 x) 1xx，则g(x

14、) (1 xx)2当 1 x 0时，g(x) 0；当x 0时，g(x) 0.故当x 1时，g(x) g(0) 0，且仅当x 0时， g(x) 0 ，从而 f (x) 0，且仅当 x 0 时， f (x) 0.所以 f(x)在( 1, )单调递增 .又 f(0) 0，故当 1 x 0时， f(x) 0；当 x 0时， f(x) 0.(2)(i)若a 0，由( 1)知，当 x 0时， f(x) (2 x)ln(1 x) 2x 0 f (0) ，这与 x 0是 f(x) 的极大值点矛盾 .(ii )若 a 0，设函数 h(x) f(x) 2 ln(1 x) 2x 2 .2 x ax2 2 x ax2

15、由于当|x| min1, 1时，2 x ax2 0 ，故h( x)与f ( x)符号相同 .又 h(0) f(0) 0，故 x 0是 f(x) 的极大值点当且仅当 x 0是 h(x) 的极大值点 .1 2(2 x ax2) 2x(1 2ax)1 x (2 x ax2)26a 1 如果 6a 1 0，则当 0 x ，且|x| min1,4a如果 6a 1 0，则 a2x2 4ax 6a 1 0 存在根 x1 0，故当 x ( x1,0) ，且 |x| min1, |1a| 时 ， h(x) 0 ，所以 x 0不是 h(x) 的极大值点 .所以 x 0是 h( x)的极大值点，从而 x 0是 f(

16、x) 的极大值点综上， a 1.622 选修 44：坐标系与参数方程 （10分）解析】（1） e O 的直角坐标方程为 x2 y2 1当 时， l 与 e O 交于两点22时，记 tank ，则 l 的方程为 ykx 2l 与e O交于两点当且仅当2| 1 k2 |1 ，解得 k 1或k 1，即 (4,2)或 (2, 4)综上， 的取值范围是 （ , ） 44x t cos ,2) l 的参数方程为 ( t 为参数， ) y 2 t sin 4 4设 A ， B ， P 对应的参数分别为tA，tB，tP，则 tP2且 tA ，t B 满足 t22 2t sin于是 t A tB 2 2 sin ， tP2 sinx又点 P的坐标 （x, y）满足yt P cos ,2 t P sin所以点 P 的轨迹的参数方程是2 sin2 ,222 cos222（ 为参数，4)23选修 45：不等式选讲 （10 分）13x, x ,2解析】（1） f （ x）1x 2, x 1, y f (x) 的图像如图所示23 ，故当且仅当（2）由（ 1）知， y f （x） 的图像与 y轴交点的纵坐标为 2 ，且各部分所在直线斜率的最大值为 a 3且b 2时， f （x） ax b在0, ）成立，因此 a b的最小值为 5