三角函数图像与性质的知识点.docx
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三角函数图像与性质的知识点
三角函数的图像与性质
一、正弦函数、余弦函数的图像与性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
图
象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
单调性
递增区间：
递减区间：
递增区间：
[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）
递减区间：
[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）
最 值
x＝2kπ＋
（
k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ－
（k∈Z）时，ymin＝－1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1
奇偶性
奇函数
偶函数
对称性
对称中心：
（kπ，0）（k∈Z）（含原点）
对称轴：
x＝kπ＋
，k∈Z
对称中心：
（kπ＋
，0）（k∈Z）
对称轴：
x＝kπ，k∈Z（含y轴）
最小正周期
2π
2π
二、正切函数的图象与性质
定义域
值域
R
单调性
递增区间
奇偶性
奇函数
对称性
对称中心：
（含原点）
最小正周期
π
三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换
1.由
的图象得到
（
）的图象
方法一：
先平移后伸缩
方法二：
先伸缩后平移
操作
向左平移φ个单位
横坐标变为原来的
倍
结果
操作
横坐标变为原来的
倍
向左平移
个单位
结果
操作
纵坐标变为原来的A倍
结果
注意：
平移变换或伸缩变换都是针对自变量x而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
2.
（
）的性质
（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：
将
看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出；
（2）奇偶性：
只有当
取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：
，当
时为奇函数，当
时为偶函数；
（3）最小正周期：
3.y＝Asin（ωx＋φ）,x∈[0,+∞）（
）中各量的物理意义
（1）A称为振幅；
（2）
称为周期；（3）
称为频率；
（4）
称为相位；（5）
称为初相（6）
称为圆频率.
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Alongwiththeadvanceofthesocietymoreandmoreproblemsarebroughttoourattention,oneofwhichisthat....
随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是____________。
Astowhetheritisablessingoracurse,however,peopletakedifferentattitudes.
然而，对于此类问题，人们持不同的看法。
（Holddifferentattitudes持不同的看;Comeupwithdifferentattitudes有不同的看法）
Associetydevelops,peopleareattachingmuchimportanceto....
随着社会的发展，人们开始关注............
Peopleareattachingmoreandmoreimportancetotheinterviewduringjobhunting
求职的过程中，人们慢慢意识到面试的重要性。
Astowhetheritisworthwhile.....,thereisalong-runningcontroversialdebate.Itisquitenaturalthatpeoplefromdifferentbackgroundsmayhavedivergentattitudestowardsit.
关于是否值得___________的问题，一直以来争论不休。
当然，不同的人对此可能持不同的观点。
Intheprocessofmodernurbandevelopment,weoftenfindourselvesinadilemma.
在都市的发展中，我们往往会陷入困境。
Recentlythephenomenonhasarousedwideconcern,somepeopleareinalarmthat....
最近，这种现象引起了人们的广泛关注，有人开始担心______________。
Thehumanracehasenteredacompletelynewstageinitshistory,withtheincreasinglyrapideconomicglobalizationandurbanization,moreproblemsarebroughttoourattention.
人类进入了一个历史的崭新的阶段，经济全球化、都市化的速度不断加快，随之给我们带来了很多问题。
......playssuchanimportantrolethatitundeniablybecomesthebiggestconcernofthepresentworld,therecomesaquestion,isitablessingoracurse?
"
_______显得非常重要而成为当今世界所关注的最大的问题，这是无可厚非的。
不过，问题是：
"我们该如何抉择?
"
Nowweareenteringanewera,fullofopportunitiesandchallenges,
现在我们正在进入一个充满机会和挑战的新时代。
Peoplefromdifferentbackgroundswouldputdifferentinterpretationsonthesamecase.
不同行业的人对同一种问题的解释不尽相同。
Thecontroversialissueisoftenbroughtintopublicfocus.Peoplefromdifferentbackgroundsholddifferentattitudestowardstheissue.
这中极具争议性的话题往往很受社会的关注。
不同的人对此问题的看法也不尽相同。
Whenasked...,somepeoplethink.....whilesomeprefer...
说到______，有人认为________，而另一些人则认为__________。
Justasthesayinggoes:
"somanypeople,somanyminds".Itisquiteunderstandablethatviewsonthisissuevaryfrompersontoperson.
俗话说，""。
不同的人对此有不同的看法是可以理解的。
Tothisissue,differentpeoplecomeupwithvariousattitudes.
对于这个问题，不同的人持不同的观点。
Thereisagoodsideandabadsidetoeverything,itgoeswithoutsayingthat...
万事万物都有其两面性，所以，勿庸置疑，____________。
Whenitcomesto...,mostpeoplebelievethat...,butotherpeopleregard...as....
提到_________问题，很多人认为_________，不过，一些人则认为______是____.
Whenfacedwith....,quiteafewpeopleclaimthat....,butotherpeoplethinkas...
提到_________问题，仅少数人认为________，但另一些人则认为_________。
Thereisapubliccontroversynowadaysovertheissueof....Therewhocriticize...arguethat....,theybelievethat...,butpeoplewhofavor..,ontheotherhand,arguethat...
目前，____问题争议较大。
批判_____的人认为_____，他们认为_____，不过，另一方面，赞同_____的人则认为_______。
Somepeopleareoftheopinionthat..有些人认为_________。
Manypeopleclaimthat...很多人认为_________。
Amajorityof绝大多数
Alargenumberof很多人
Somepeoplecontendthat...hasprovedtobringmanyadvantages（disadvantages）
有些人认为________有很多有利之处（不利之处）。
Thosewhoarguefor...saythat...economicdevelopmentofthecities.
觉得_____的人认为，______城市的经济发展。
Somepeopleadvocatethat....
有些人在坚持认为_________。
Theyholdthat...他们认为_________。
People,whoadvocatethat...,havetheirsoundreasons（grounds）
坚持认为______的人也有其说法（依据）。
Thosewhohavealreadybenefitedfrompracticingitsinghighpraiseofit.那些从中受益的人对此大家褒奖。
Thosewhostronglyapproveof...havecogentreasonsforit.
强烈认同_______的人有很多原因。
Manypeoplewouldclaimthat...有人会认为___________。
Peoplewhosupport...givesomeorallofthefollowingreasons.
那些支持_________观点的人列出了如下原因：
________。
Butothersholdtheviewthat...但是，另外一些人则认为_______。
观点的用词：
Attitude,opinion,与其搭配的动词以及词组：
Take,have,comeupwith，setforth,putforward等。
Butontheotherhand,therearealsoquiteafewpeoplewho
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