向量组线性相关性判定.docx

向量组线性相关性判定.docx

《向量组线性相关性判定.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《向量组线性相关性判定.docx（5页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

向量组线性相关性判定

向量组线性相关性判定

　　　　　　　　　　安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法　　　　　　作　　者　　　　院　　数学与统计学院　　专　　业　　数学与应用数学　　年　　级　　2011级　　学　　号　　　　指导教师　　郭亚梅　　论文成绩　　　　日　　期　　2015年月日　　　　　　学生诚信承诺书　　　　本人郑重承诺：

所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.　　作者签名：

　　　　日期：

　　导师签名：

　　　　日期：

　　院长签名：

　　　　日期：

　　　　　　论文使用授权说明　　　　本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：

学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.　　作者签名：

　　导师签名：

　　日期：

　　　　　　　　向量组线性相关性的判定方法　　　　　　摘要：

向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他　　许多理论。

所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法.　　关键词：

向量组线性相关线性无关判定方法1引言　　线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法.n维向量的定义　　　　定义：

n个有次序的数a1,a2,?

an所组成的数组（a1,a2,?

an）或（a1,a2,?

an）T分别称为n维行向量或列向量.这n个数称为向量的n个分量?

第i个数ai称为第i个分量?

显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母?

?

等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算?

特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律.　　全体的n维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n维向量空间.　　例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间.3.向量组线性相关性的定义向量组　　有限个或无限个同维数列向量（或同维数的行向量）所组成的集合称为一个向量组?

例如一个m?

n矩阵对应一个m维列向量组?

也对应一个n维行向量组　　　　第3页　　　　（a11a22?

a1n）（a21a22?

a2n）?

?

?

?

?

?

（am1am2?

amn）线性组合与线性表示　　?

a11a12?

a1n?

?

?

aa?

a?

21222n?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

aa?

a?

?

m1m2mn?

?

a11?

?

a12?

?

a1n?

?

?

?

?

?

?

a?

21?

?

?

a22?

?

a2n?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

a?

?

a?

?

?

a?

?

m1?

?

m2?

?

mn?

向量组的线性相关性的定义　　设A:

a1,a2,?

am是一向量组?

表达式k1a1?

k2a2?

?

?

kmam称为向量组A的一个线性组合?

其中k1,k2,?

km是一组实数?

称为这个线性组合的系数?

　　如果向量b是向量组A的线性组合b?

?

1a1?

?

2a2?

?

?

?

mam则称向量b能向量组A线性表示?

　　例如，任一n维向量，都可以n维基向量线性表示.　　例1.设向量组b1?

?

1,0,?

1?

b2?

?

1,1,1?

b3?

?

3,1,?

1?

b4?

?

5,3,1?

试判断b4是否可　　TTTTb1,b2,b3线性表示？

如果可以的话，求出一个线性表示式.　　解设一组数k1,k2,k3,使b4?

k1b1?

k2b2?

k3b3,即有　　T?

5,3,1?

?

?

k1?

k2?

3k3,k2?

k3,?

k1?

k2?

k3?

.　　T向量相等的定义可得线性方程组　　?

k1?

k2?

3k3?

5,?

　　　　　　?

k2?

k3?

3,　　　　?

?

k?

k?

k?

1.?

123该方程组的一个解为k1?

2,k2?

3,k3?

0.于是b4?

2b1?

3b2,即b4b1,b2,b3线性表示.定理1向量b能向量组A:

a1,a2,?

am线性表示的充分必要条件是矩阵A?

（a1,a2,?

am）与矩阵B?

（a1,a2,?

am,b）的秩相等?

即R（A）?

R（B）?

向量组线性相关的定义　　定义1向量组A:

a1,a2,?

am（m?

2）线性相关?

在向量组A中至少有一个向量能其余　　m?

1个向量线性表示.　　定义2给定向量组A:

a1,a2,?

am，m个数k1,k2,?

km,构造k1a1?

k2a2?

?

?

kmam?

0,?

*?

如果存在不全为零的数k1,k2,?

km,使?

*?

式成立，称向量组A是线性相关的?

否则称它线性无关.这两个定义是等价的.证明如下：

　　　　第4页　　　　如果向量组A中有某个向量（不妨设am）能其余m?

1个向量线性表示?

即有　　?

1,?

2,?

?

m?

1,使am?

?

1a1?

?

2a2?

?

?

m?

1am?

1,　　于是?

1a1?

?

2a2?

?

?

m?

1am?

1?

（?

1）am?

0.　　因为?

1,?

2,?

?

m?

1,?

1不全为0?

所以向量组A线性相关?

　　反过来，如果向量组A线性相关，则有k1a1?

k2a2?

?

?

kmam?

0,其中k1,k2,?

km不全为0?

不妨设k1?

0?

于是a1?

?

（1）（k2a2?

?

?

kmam）,　　k1即a1能a2,?

am线性表示?

　　例2判断向量组?

1?

（2,?

1,3,1）,?

2?

（4,?

2,5,4）,?

3?

（2,?

1,4,?

1）是否线性相关.　　解：

可取?

1,?

2,?

3为未知数，建立下列方程式　　?

1?

1?

?

2?

2?

?

3?

3?

0,　　看它是否有?

1,?

2,?

3的不全为零的解.这是向量等式，按各个分量分别写出方程，就成为下列方程组　　?

2?

1?

4?

2?

2?

3?

0,?

?

?

?

2?

?

?

?

0,?

123?

3?

?

5?

?

4?

?

0,23?

1?

?

?

1?

4?

2?

?

3?

0.前面的含向量的方程组有无非零解等价于这个方程组有无非零解.可以用消元法解这个方程组.它有无线多解，当然有非零解，故?

1,?

2,?

3线性相关.特别的一组解，可取为　　（?

1,?

2,?

3）?

（3,?

1,?

1）,即3?

1?

?

2?

?

3?

0或?

3?

3?

1?

?

2.　　定理2向量组a1,a2,?

am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A?

（a1,a2,?

am）的秩小于向量个数m?

向量组线性无关的充分必要条件是R（A）?

m这是因为?

　　向量组A:

a1,a2,?

am线性相关?

x1a1?

x2a2?

?

?

xmam?

0即Ax?

0有非零解　　?

R（A）?

m.　　向量组a1,a2,?

am线性无关?

R（a1,a2,?

am）?

m.　　例3证明n维单位坐标向量组e1?

（1,0,?

0）T,e2?

（0,1,?

0）T,?

en?

（0,0,?

1）T线性无关.证明我们直接利用定义证明.如果存在一组数k1,k2,?

kn,使得　　　　第5页

　　　　　　　　k1e1?

k2e2?

?

?

knen?

0,　　根据向量线性运算的定义可以得到　　　　　　（k1,k2,?

kn）T?

（0,0,?

0）T,　　从而k1?

k2?

?

?

kn?

0.所以e1,e2,?

en是线性无关的.　　另证我们利用定理，设向量组e1,e2,?

en构成的矩阵为I?

（e1,e2,?

en）,I是n阶单位矩阵.显然有R（I）?

n,即R（I）等于向量组中向量的个数，所以定理2知向量组I是线性无关的.　　TT例4已知向量a1?

（1,1,1）T,a2?

（0,2,5）,a3?

（2,4,7）讨论向量组a1,a2,a3及向量组a1,a2的　　线性相关性.　　解对矩阵（a1,a2,a3）施行初等行变换使它变成行阶梯形矩阵，就可以同时看出矩阵（a1,a2,a3）及　　（a1,a2）的秩，再利用定理2就可以得出结论.　　易知R（a1,a2,a3）?

2?

3,向量组a1,a2,a3线性相关；R（a1,a2）?

2,向量组a1,a2线性无关.　　4.向量组线性相关性的性质　　含零向量的向量组必线性相关?

　　线性无关的向量组中一定不含零向量.一个向量?

线性相关?

?

?

0.　　一个向量?

线性无关?

?

?

0.（3）两个非零向量?

1,?

2线性相关?

?

1?

k?

2.　　两个向量?

1,?

2线性无关?

它们不成比例.（4）向量组有一部分线性相关，则全体线性相关.向量组全体线性无关，则每一部分线性无关.　　若向量组A:

a1,a2,?

am线性相关?

则向量组B:

a1,a2,?

am,am?

1也线性相关?

反之?

若向量组B线性无关?

则向量组A也线性无关?

　　结论可叙述为?

一个向量组若有线性相关的部分组?

则该向量组线性相关?

一个向量组若线性无关?

则它的任何部分组都线性无关?

　　性质说明：

这是因为?

记A?

（a1,a2,?

am）?

B?

（a1,a2,?

am,am?

1）?

有R（B）?

R（A）?

1.　　若向量组A线性相关?

则有R（A）?

m，从而R（B）?

R（A）?

1?

m?

1.　　因此向量组B线性相关?

（5）个数大于维数时，必线性相关.　　个数等于维数时，看行列式.　　　　第6页　　　　　　m个n维向量组成的向量组?

当维数n小于向量个数m时一定线性相关?

特别地?

　　n?

1个n维向量一定线性相关?

　　这是因为?

m个n维向量a1,a2,?

am构成矩阵An?

m?

（a1,a2,?

am）,有R（A）?

n.若n?

m则R（A）?

n?

m,故m个向量a1,a2,?

am线性相关?

　　（6）设向量组A:

a1,a2,?

am线性无关?

而向量组B:

a1,a2,?

am,b线性相关?

则向量b必能向量组A线性表示?

且表示式是唯一的?

　　这是因为?

记A?

（a1,a2,?

am）?

B?

（a1,a2,?

am,b）?

有m?

R（A）?

R（B）?

m?

1,即有R（B）?

R（A）?

m.因此方程组有唯一解（a1,a2,?

am）x?

b即向量b能向量组A线性表示?

且表示式唯一?

5.向量组线性相关性的判定方法定义法　　给定向量组A:

a1,a2,a3,?

am,如果存在不全为零的数k1,k2,k3,?

km,使得　　A是线性相关的.否则，如果不存在不全为零的k1a1?

ka2?

2?

?

kmam?

0成立，则称向量组　　数k1,k2,k3,?

km,使得k1a1?

k2a2?

?

?

kmam?

0成立，也就是说，只有当k1,k2,k3,?

km全部为0时，k1a1?

k2a2?

?

?

kmam?

0才成立，则称向量组A是线性无关的.　　例5设向量组a1,a2,a3线性无关，判断向量组b1?

a1?

a2,b2?

a2?

a3,b3?

a3?

a1的线性相关性.　　解设一组数k1,k2,k3,使k1b1?

k2b2?

k3b3?

0,则有　　k1（a1?

a2）?

k2（a2?

a3）?

k3（a3?

a1）?

0,　　即　　（k1?

k3）a1?

（k1?

k2）a2?

（k2?

k3）a3?

0.因为向量组a1,a2,a3线性无关，所以　　?

k1?

k3?

0,?

?

k1?

k2?

0,?

k?

k?

?

2该方程组的系数行列式D?

2?

0,故方程组只有零解k1?

k2?

k3?

0,所以向量组b1,b2,b3线性无关.　　例6判断向量组b1?

?

1,0,?

1?

b2?

?

1,1,1?

b3?

?

3,1,?

1?

b4?

?

5,3,1?

的线性相关性.解设一组数k1,k2,k3,