圆各节知识点及典型例题.docx
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圆各节知识点及典型例题
圆的基本性质
五.弧长及扇形的面积六.侧面积及全面积
7、圆周角定理
&圆周角定理的推论
9、圆锥的侧面积与全面积
一.圆二.圆的轴对称性三.圆心角四.圆周角六大知识点：
1、圆的概念及点与圆的位置关系
2、三角形的外接圆
3、垂径定理
4、垂径定理的逆定理及其应用
5、圆心角的概念及其性质
6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
【课本相关知识点】
1、圆的定义：
在同一平面内，线段0P绕它固定的一个端点0，另一端点P所经过的
叫做圆，定点0叫做，线段0P叫做圆的，以点0为圆心的圆记作，读作圆0。
2、弦和直径：
连接圆上任意叫做弦，其中经过圆心的弦叫做，是圆中最长的弦。
3、弧：
圆上任意叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条
弧都叫做。
小于半圆的弧叫做，用弧两端的字母上加上就可表示出来，大于半圆的弧叫
做，用弧两端的字母和中间的字母，再加上就可表示出来。
4、等圆：
半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆
5、点与圆的三种位置关系：
若点P到圆心0的距离为d,O0的半径为R,则：
点P在O0外；
点P在O0上；
点P在O0内。
6、线段垂直平分线上的点距离相等；至U线段两端点距离相等的点在上
7、过一点可作个圆。
过两点可作个圆，以这两点之间的线段的上任意
一点为圆心即可。
&过的三点确定一个圆。
9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的，外接圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆
的。
三角形的外心是三角形三条边的
【典型例题】
【题型一】证明多点共圆
例1、已知矩形ABCD，如图所示，试说明：
矩形ABCD的四个顶点A、B、C、D在同一个圆上
【题型二】相关概念说法的正误判断
例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：
①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到
三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧。
其中正确的有（）
A.4个B.3个C.3个D.2个
例2、下列说法中，错误的是（
A.直径是弦B.半圆是弧C.圆内最长的弦是直径D.弧小于半圆
例3、下列命题中，正确的是（
A•三角形的三个顶点在同一个圆上B•过圆心的线段叫做圆的直径
C•大于劣弧的弧叫优弧D•圆内任一点到圆上任一点的距离都小于半径
例4、下列四个命题：
①经过任意三点可以作一个圆；②三角形的外心在三角形的内部；③等腰三角形的外
心必在底边的中线上；④菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。
其中真命题的个数（）
A.4个B.3个C.3个D.2个
【题型三】点和圆的位置关系的判断
例1、OO的半径为5，圆心0在坐标原点上，点P的坐标为（4,2）,则点P与OO的位置关系是（）
A.点P在O0内B.点P在O0上C.点P在O0夕卜
例2、已知矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm，若以A点为圆心作OA，使B、C、D三点中至少有一个点在圆内且至少有一个点在圆外，则OA的半径r的取值范围是
【题型四】“不在同一条直线上的三点确定一个圆”的应用
如“把破圆复原成完整的圆”；如“找一点，使它到三点的距离相等”：
方法就是找垂直平分线的交点
例1、平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为
CD为O0的弦，AB、CD的延长线交于点E,已知AB=2DE，/E=18°，求/A0C
【题型五】圆中角的求解如图，AB为O0的直径,的度数
温馨提醒：
（1）在同圆或等圆中，直径为半径的2倍；
（2）圆中常用半径相等来构造等腰三角形，这些看似十分简单的性质和方法，却最容易被遗忘。
巩固练习
1、如图，一根5m长的绳子，一端拴在柱子上，另一端拴着一只羊（羊只能在草地上活动），请画
出羊的活动区域。
2、如果O0所在平面内一点P到O0上的点的最大距离为7,最小距离为1，那么此圆的半径为
4、已知O0的半径为1，点P与圆心0的距离为d，且方程x2-2x+d=0有实数根，则点P在O0的
5、如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用次就可以找到圆形工件的圆心
6、若线段AB=6，则经过A、B两点的圆的半径r的取值范围是
7、在Rt△ABC中，/C=90°,两直角边a、b是方程x2-7x+12=0的两根，则△ABC的外接圆面积为
8、如图，平面直角坐标系中一第圆弧经过网格点A、B、C,其中B点坐标为（4,4），那么该圆弧所在圆的圆心坐标为
A
LL
B
K
C
O4
x
9、已知圆上有3个点，以其中两个点为端点的弧共有条
【课本相关知识点】
1、轴对称图形：
如果一个图形沿着某一条直线直线，直线两旁的部分能够，那么这个图形就叫
做轴对称图形，这条直线就是对称轴。
2、圆是轴对称图形，都是它的对称轴
3、垂径定理：
垂直于弦的直径，并且平分
4、分一条弧成的点，叫做这条弧的中点。
5、的距离叫做弦心距。
6、垂径定理的逆定理1:
平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分
垂径定理的逆定理2:
平分弧的直径
【典型例题】
【题型一】应用垂径定理计算与证明
例1、如图所示，直径CE垂直于弦AB，CD=1，且AB+CD=CE，求圆的半径。
例2、如图所示，已知线段AB交OO于C、D两点，OA、OB分别交OO于E、F两点，且OA=OB，求证:
AC=BD
O
E
温馨提醒：
在垂径定理中，“垂直于弦的直径”可以是直径，可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。
【题型二】垂径定理的实际应用
例1、某居民区内一处圆形下水道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图所示，污水的水面宽为60cm，水
面至管道顶部距离为10cm,问：
修理人员应准备内径多大的管道？
|60cI
0cm
温馨提醒：
要学会自己多画图，这样有助于书写解题过程。
例2、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢
珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是
【题型三】垂径定理与逆定理的实际应用
例1如图，已知M是AB的中点，过点
M的弦MN交AB于点C,设OO的半径为
（1）求圆心0到弦MN的距离
（2）求/ACM的度数
N
B
【题型四】应用垂径定理把弧
2等份,
4等份等
巩固练习
1、下列说法正确的是（
A.每一条直径都是圆的对称轴
C.圆的对称轴一定经过圆心
B.圆的对称轴是唯一的
D.圆的对称轴与对称中心重合
2、下列命题：
①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直且平分弦
的直线必定经过圆心。
其中正确的有（）
A.0个B.1个
3、如图，OO则满足条件的点
A.2B.3
4、半径为5cm
的直径为
P有（
C.4
C.2个D.3个
10cm，弦AB为8cm,P是弦AB上一点，若OP的长是整数,）个
D.5
的圆内有两条互相平行的弦,
长度分别为6cm和8cm，则这两弦之间的距离为
23cm，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于
5、圆的半径等于23cm，圆内一条弦长
如果AM=2,DE=1,
第9题
EF=8，那么MN
如图,
AB是OO的直径,
CD是弦。
若
8、
如图,
半径为5的OP与y轴交于点M
将半径为2cm的圆形纸片折叠后,
CD=6cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为
k
（0,-4）、N（0,-10）,函数y=—（x<0）的图象过点P,贝Vk=
x
则折痕AB的长为
N,BC=4，贝UMN=
圆的半径为7cm,求腰AB的长
AB=10cm,
圆弧恰好经过圆心O,
ON丄AC于点
如图，
10、如图，已知AB、AC为弦，OM丄AB于点M,
11、已知圆内接△ABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm,
12、如图，已知OO的半径为10cm，弦AB丄CD，垂足为E,AE=4cm,BE=8cm，求弦CD的长
13、如图，某菜农在生态园基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度（弦
大棚顶点C离地面的高度为2.3米.
⑴求该圆弧形所在圆的半径；
⑵若该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有多大?
14、OO的半径为2,弦BD=2.3,A为BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上。
求四边形ABCD勺面积。
【课本相关知识点】
1、中心对称图形：
把一个图形绕着某一点，如果旋转后的图形能够与原来的图形
那么，这个图形叫做中心对称图形，这个点是它的
2、过中心对称图形的的任意一条直线可以平分其面积。
3、圆的旋转不变性：
将圆周绕圆心0旋转，都能与自身重合，这个性质叫做圆的旋转不变性。
4、圆心角：
叫做圆心角。
5、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的，所对的（这就是圆心角定理）
6、n°的圆心角所对的弧就是，圆心角和的度数相等。
注意：
在题目中，若让你求AB那么所求的是弧长
7、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么
都相等。
（姑且称之为圆心角定理的逆定理）
注解：
在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。
【典型例题】
【题型一】与圆心角定理的逆定理的相关说法的正确与否
例1、下列说法：
①等弦所对的弧相等；②等弧所对的弦相等；③圆心角相等，所对的弦相等；④弦相等,
所对的圆心角相等；⑤在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。
正确的个数为（）
【题型二】运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系证明线段、角度、弧相等
例1、如图，OO的弦AB、CD相交于点P,PO平分/APD。
求证：
AB=CD
例3、如图所示，AB、CD是OO的直径，CE/AB交OO于点E,那么AD与AE相等吗？
说明理由。
【题型三】计算弧的度数
例1、如图所示，C是OO的直径AB上一点，过点C作弦DE,使CD=CO，若AD的度数为40°,求BE的度数
巩固练习
1、如果两个圆心角相等，那么（）
A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等
C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对
2、下列命题中，正确的是（）
A.相等的圆心角所对弦的弦心距相等B.相等的圆心角所对的弦相等
C.同圆或等圆中，两弦相等，所对的弧相等D.同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距也相等
3、在半径为1的圆中，长为.空的弦所对的圆心角的度数是（）
A.30°B.45°C.60°D.90
4、在OO中，AD是直径，AB、AC是它的两条弦，且AD平分/BAC,那么：
①AB=AC;②阻=恥；③BDCD
A.AB>2CDB.AB<2CDC.AB=2CDD.无法确定
7、如图，在条件：
①/COA=/AOD=60:
②AC=AD=OA;③点E分别是AO、CD的中点；④OA丄CD且
/ACO=60中，能推出四边形OCAD是菱形的条件有个。
8、如图所示，在OO中，弦AB>CD,OM丄AB,ON丄CD,M、N为垂足，那么OM、ON的关系是（）
A.OM>ONB.OM=ONC.OM9、如图所示，已知AB为OO的弦，从圆上任一点引弦CD丄AB，作/OCD的平分线交OO于点P,连续PA、
PB。
求证：
PA=PB
10、如图所示，M、N为AB、CD的中点，且AB=CD。
求证：
/AMN=ZCNM
MO丄NO,过MN的中点A作AB//ON，交负于点B,试求少的度数
【课本相关知识点】
1、顶点在上，且两边的角叫圆周角。
2、圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的
3、圆周角定理推论1:
半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是
4、拓展一下：
圆内接四边形的对角
5、圆周角定理推论2:
在同圆或等圆中，所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的也相等
【典型例题】
【题型一】圆周角定理的应用
例〔、△ABC为OO的内接三角形，/BOC=100°，求/BAC的度数。
【题型二】圆周角定理推论的应用
例1、如图所示，点A、B、C、D在圆上，AB=8,BC=6,AC=10,CD=4，求AD的长。
例2、如图所示，A、B、C三点在OO上，CE是OO的直径，CD丄AB于点D。
（1）求证：
/ACD=/BCE;
（2）延长CD交OO于点F，连接AE、BF，求证：
AE=BF
B
例2、现需测量一井盖（圆形）的直径，但只有一把角尺（尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖半径）•请配合图形、文字说明测量方案，写出测量的步骤.（要求写出两种测量方案）
解法一：
如图
（1）,把角尺顶点A放在井盖边缘，记角尺一边与井盖边缘交于点B,另一边交于点C（若角尺另
一边无法达到井盖的边上，把角尺当直尺用，延长另一边与井盖边缘交于点C）,度量BC长即为直径；
DE长度即为直径;
解法二：
如图
（2）,把角尺当直尺用，量出AB的长度，取AB中点C,然后把角尺顶点与C点重合，有一边与CB重合，让另一边与井盖边缘交于D点，延长DC交井盖边于E,度量
巩固练习
四个结论：
①
8、如图，O0
ZEBC=22.5。
：
②BD=DC:
③AE是DE的2倍；④AE=BC。
其中正确结论的序号是
的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为-2cm,1cm，则弦AC、BD所夹的锐角为
9、如图，AB,AC是OO的两条弦，且AB=AC.延长CA到点D.使AD=AC,连结DB并延长，交OO于点E.求证：
CE是OO的直径.
10、如图，在OO中AB是直径，CD是弦，AB1CD.
⑴p是Cad上一点（不与c,d重合）.求证：
/cpd=/cob
（2）点P'在劣弧CD上（不与C,D重合）时，/CPD与/COD有什么数量关系？
请证明你的结论.
11、
（1）如图
（1）已知，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的OO交ABAC于DE.求证：
△ODE是等边三角形；
（2）如图
（2）若/A=60°,AB^AC贝9
（1）的结论是否成立？
如果成立，请给出证明，
13、如图，AB为OO的直径，弦DA、BC的延长线相交于点P,且BC=PC，求证:
（1）ab=ap
（2）BeCd
【课本相关知识点】
1、弧长公式：
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长I的计算公式为1=
2、在弧长公式中，有3个变量：
，已知其中的任意两个，都可以求出第3个变量。
我们只
需要记住一个公式即可。
（有些老师要求它的另外两个变形公式都要记住，其实完全没有必要）
。
这里面涉及3个变量:
3、扇形面积公式1:
半径为R，圆心角为n°的扇形面积为
，已知其中任意两个，都可以求出第3个变量。
我们中需要记住一个公式即可。
4、扇形面积公式2:
半径为R，弧长为I的扇形面积为
5、求阴影部分面积一般遵循“四步曲”，即：
一套，二分，三补，四换
一套：
直接套用基本几何图形面积公式计算；二分：
将其分割成规则图形面积的和或差；三补：
用补形法拼凑成规则图形计算；四换：
将图形等积变换后计算。
【典型例题】
【题型一】静止图形的弧长计算与运动图形的弧长计算
【例1】、如图所示，在△ABC中，/ACB=90°，/B=15°，以C为圆心，CA的长为半径的圆交AB于点D。
若AC=6，求AD的长
【例2】、如图，菱形ABCD中，AB=2，/C=60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚,顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为
【题型二】求阴影部分的面积问题
【例1】、如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，以B为圆心，以BA为半径作圆弧，交CB的延长线于点E,连接DE。
求图中阴影部分的面积。
O
【例2】、如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位
【例3】、如上图，Rt△ABC中，/ACB=90°，/CAB=30°,BC=2,0、H分别为边AB、AC的中点，将△
ABC绕点B顺时针旋转120°到厶A1B1C1的位置，则整个旋转过程中线段0H所扫过部分的面积（即阴影部分
面积）为（）
D.4n.'3
A.7n7亦
38
【例4】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.3cm,求截面上有水部分的面积。
【题型三】用弧长及扇形面积公式解决实际问题
【例1】当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的
雨刷器。
如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固
定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD扫过的面积是多少呢？
小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得CD=80cm/DBA=20，端点CD与点
A的距离分别为115cm35cm.他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果。
也请你算一算雨刷CD扫过的面积为
cm2（n取3.14）
【例2】如图是一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm,当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕
轴心O按逆时针方向旋转的角度约为度.（假设绳索与滑轮之间没有滑动，n取3.14，结果精确到1°
巩固练习
1
1、如果一条弧长等于nr，它的半径是r，那么这条弧所对的圆心角度数为
4
2、如果一条弧长为I，它的半径为R，这条弧所对的圆心角增加1°,则它的弧长增加
3、扇形的弧长为20cm,半径为5cm,则其面积为cm2
4、一个扇形的弧长是20ncm，面积是240ncm，那么扇形的圆心角是
5、图中4个正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的图形个数是（）
A.0B.2C.3D.4
6、如图所示，扇形AOB的圆心角为90°，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴
影部分的面积，那么P和Q的大小关系是
7、如图，AB=12,CD是以AB为直径的半圆上的三等分点，则图中阴影部分面积为
8、如图，在Rt△ABC中，/C=90°,AC=4,BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积
为（结果保留n）（到了初中阶段，其实即使不说，结果也要保留n,这是一个基本常识）
求圆中阴影部分的面积。
13、如图，在△ABC中，已知AB=4cm，/B=30°，/C=45°，若以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点E,交BC于点F。
（1）求CE的长
（2）求CF的长
【课本相关知识点】
1、圆锥可以看做是直角三角形绕旋转一周所成的图形。
旋转而成的曲面叫做圆锥的
侧面。
另一条直角边旋转而成的面叫做。
圆锥的和的和叫做圆锥的全面积（或
表面积）。
2、沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平，可得圆锥的侧面展开图是一个，圆锥的侧面积等于这个扇形的面积，
其半径等于圆锥的，弧长等于圆锥的
4、圆锥的母线长I，高h，底面圆半径r满足关系式
5、已知圆锥的底面圆半径r和母线长I，那么圆锥的侧面展开图的圆心角为
6、圆锥的侧面展开图的圆心角x的取值范围为
【典型例题】
【题型一】与圆锥有关的计算（主要是算面积）
nabC.3na2+nabD.na（2a+b）
有一圆心角为120。
，半径长为6cm的扇形，若将0A、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的
【例1】如图所示，在厶ABC中，/BAC=30°，AC=2a，BC=b，以AB所在直线为轴旋转一周得到一个几何体,则这个几何体的全面积是（）
A.2naB.
【例2】如图,高是（）
【题型三】与圆锥有关的最短距离问题
【例1】如图，圆锥底面半径为r,母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径。
巩固练习
1、一个圆锥形零件的底面半径为4，母线长为12，那么这个零件侧面展开图的圆心角为
2、一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角等于
3、如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm,则这个圆锥的底面半径为
4、如图所示是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，那么围成这个灯罩的铁皮的面积为
5、如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm,母线OE（OF）长为10cm.在母线
OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm—只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行
的最短距离cm.
6、如图所示，有一直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个圆心角为90。
的最大扇形ABC
（1）求被剪后阴影部分的面积
（2）用所得的扇形铁皮围成一个小圆锥，则该圆锥的底面半径是多少？
7、卷一个底面半径为2，高为2J35的圆锥侧面，有以下4个扇形纸片可供选择。
如果要使材料浪费最少，你认为选哪一个最合理？
请说明理由。
r=8r=12r=12r=13
8、在一次科学探究实验中，小明将半径为5cm的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形。
（1）取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线0B长为6cm,开口圆的直径为6cm。
当滤纸片重
1
叠部分为三层，且每层为丄圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处）
4
请你用所学的数学知识说明；
（2）假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为6cm,开口圆的直径为7.2cm，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为
三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁•问重叠部分每层的面积为多少？
第三章《圆的基本性质》的知识点及典型例题
知识框图
圆、圆心、半径、直径
三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三
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