圆各节知识点及典型例题.docx

1、圆各节知识点及典型例题圆的基本性质五.弧长及扇形的面积 六.侧面积及全面积7、圆周角定理&圆周角定理的推论9、圆锥的侧面积与全面积一.圆 二.圆的轴对称性 三.圆心角 四.圆周角 六大知识点：1、 圆的概念及点与圆的位置关系2、 三角形的外接圆3、 垂径定理4、 垂径定理的逆定理及其应用5、 圆心角的概念及其性质6、 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【课本相关知识点】1、 圆的定义：在同一平面内，线段 0P绕它固定的一个端点 0 ，另一端点P所经过的 叫做圆，定点 0叫做 ，线段0P叫做圆的 ，以点0为圆心的圆记作 ，读作圆0。2、 弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是

2、圆中最长的弦。3、 弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上就可表示出来。4、 等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、 点与圆的三种位置关系：若点P到圆心0的距离为d, O 0的半径为R,则：点P在O 0外 ；点P在O 0上 ；点P在O 0内 。6、 线段垂直平分线上的点 距离相等；至U线段两端点距离相等的点在 上7、 过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。&

3、过 的三点确定一个圆。9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。三角形的外心是三角形三条边的 【典型例题】【题型一】证明多点共圆例1、已知矩形 ABCD，如图所示，试说明：矩形 ABCD的四个顶点 A、B、C、D在同一个圆上【题型二】相关概念说法的正误判断例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题： 直径是弦； 经过三个点一定可以作圆； 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等； 半径相等的两个半圆是等弧。其中正确的有（ ）A.4个 B.3个 C.3个 D.2个例2、下列说法中，错误的是（A.直径是弦 B.半圆是弧 C.圆内最长的弦是直径 D.弧小

4、于半圆例3、下列命题中，正确的是（A 三角形的三个顶点在同一个圆上 B 过圆心的线段叫做圆的直径C 大于劣弧的弧叫优弧 D 圆内任一点到圆上任一点的距离都小于半径例4、下列四个命题： 经过任意三点可以作一个圆； 三角形的外心在三角形的内部； 等腰三角形的外心必在底边的中线上； 菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。其中真命题的个数（ ）A.4个 B.3个 C.3个 D.2个【题型三】点和圆的位置关系的判断例1、O O的半径为5，圆心0在坐标原点上，点 P的坐标为（4, 2）,则点P与O O的位置关系是（ ）A .点P在O 0内 B .点P在O 0上 C .点P在O 0夕卜例2、已知矩形 ABC

5、D的边AB=3cm , AD=4cm，若以A点为圆心作O A，使B、C、D三点中至少有一个点在 圆内且至少有一个点在圆外，则O A的半径r的取值范围是 【题型四】“不在同一条直线上的三点确定一个圆”的应用如“把破圆复原成完整的圆”；如“找一点，使它到三点的距离相等” ：方法就是找垂直平分线的交点例1、平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为 CD为O 0的弦，AB、CD的延长线交于点 E,已知 AB=2DE，/ E=18 ，求/ A0C【题型五】圆中角的求解 如图，AB为O 0的直径, 的度数温馨提醒：（1 ）在同圆或等圆中，直径为半径的 2倍；（2）圆中常用半径相等来构造等腰三角形，这些看似十

6、分 简单的性质和方法，却最容易被遗忘。巩固练习1、如图，一根5m长的绳子，一端拴在柱子上，另一端拴着一只羊（羊只能在草地上活动） ，请画出羊的活动区域。2、如果O0所在平面内一点P到O 0上的点的最大距离为 7,最小距离为1，那么此圆的半径为 4、 已知O 0的半径为1，点P与圆心0的距离为d，且方程x2-2x+d=0有实数根，则点 P在O 0的 5、 如图，MN所在的直线垂直平分线段 AB，利用这样的工具，最少使用 次就可以找到圆形工件的圆心6、 若线段AB=6，则经过A、B两点的圆的半径r的取值范围是 7、 在Rt ABC中，/ C=90,两直角边 a、b是方程x2-7x+12=0的两根，

7、则 ABC的外接圆面积为 8、 如图，平面直角坐标系中一第圆弧经过网格点 A、B、C,其中B点坐标为（4, 4），那么该圆弧所在圆的圆 心坐标为ALLBKCO 4x9、已知圆上有3个点，以其中两个点为端点的弧共有 条【课本相关知识点】1、 轴对称图形：如果一个图形沿着某一条直线直线 ，直线两旁的部分能够 ，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。2、 圆是轴对称图形， 都是它的对称轴3、 垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分 4、 分一条弧成 的点，叫做这条弧的中点。5、 的距离叫做弦心距。6、 垂径定理的逆定理 1:平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分 垂径定理的逆定理 2:平分弧

8、的直径 【典型例题】【题型一】应用垂径定理计算与证明例1、如图所示，直径 CE垂直于弦AB，CD=1，且AB+CD=CE，求圆的半径。例2、如图所示，已知线段 AB交O O于C、D两点，OA、OB分别交O O于E、F两点，且 OA=OB，求证:AC=BDOE温馨提醒：在垂径定理中，“垂直于弦的 直径”可以是直径，可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。【题型二】垂径定理的实际应用例1、某居民区内一处圆形下水道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图所示，污水的水面宽为 60cm，水面至管道顶部距离为 10cm,问：修理人员应准备内径多大的管道？ | 60c I0cm温馨提醒：要学会自己多画图，这

9、样有助于书写解题过程。例2、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径， 假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm，如图所示，则这个小孔的直径 AB是【题型三】垂径定理与逆定理的实际应用例1如图，已知M是AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C,设O O的半径为(1)求圆心0到弦MN的距离(2)求/ ACM的度数NB【题型四】应用垂径定理把弧2等份,4等份等巩固练习1、 下列说法正确的是(A.每一条直径都是圆的对称轴C.圆的对称轴一定经过圆心B.圆的对称轴是唯一的D.圆的对称轴与对称中心重合2、 下列命题： 垂直于弦的直径平分这条弦； 平分弦的直径垂直于弦；垂直且平分弦的直线必

10、定经过圆心。其中正确的有( )A.0个 B.1个3、 如图，O O 则满足条件的点A.2 B.34、 半径为5cm的直径为P有(C.4C.2个 D.3个10cm，弦AB为8cm, P是弦AB上一点，若 OP的长是整数, )个D.5的圆内有两条互相平行的弦,长度分别为6cm和8cm，则这两弦之间的距离为2 3 cm，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于5、圆的半径等于2 3 cm，圆内一条弦长如果 AM=2 , DE=1 ,第9题EF=8，那么 MN如图,AB是O O的直径,CD是弦。若8、如图,半径为 5的O P与y轴交于点 M将半径为 2cm的圆形纸片折叠后,CD=6cm，那么A、B两点到直

11、线 CD的距离之和为k(0, -4)、N (0, -10),函数 y= (x2CD B. ABCD , OM丄AB , ON丄CD , M、N为垂足，那么 OM、ON的关系是（ ）A. OMON B. OM=ON C. OMON D.无法确定9、 如图所示，已知 AB为O O的弦，从圆上任一点引弦 CD丄AB，作/ OCD的平分线交O O于点P,连续PA、PB。求证：PA=PB10、如图所示， M、N为AB、CD的中点，且 AB=CD。求证：/ AMN =Z CNMMO丄NO,过MN的中点A作AB / ON，交负于点B,试求少的度数【课本相关知识点】1、 顶点在 上，且两边 的角叫圆周角。2、

12、 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的3、 圆周角定理推论1:半圆(或直径)所对的圆周角是 ； 90的圆周角所对的弦是 4、 拓展一下：圆内接四边形的对角 5、 圆周角定理推论2:在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等；相等的圆周角所对 的也相等【典型例题】【题型一】圆周角定理的应用例、 ABC为O O的内接三角形，/ BOC=100 ，求/ BAC的度数。【题型二】圆周角定理推论的应用例1、如图所示，点 A、B、C、D在圆上，AB=8 , BC=6 , AC=10 , CD=4，求AD的长。例2、如图所示，A、B、C三点在O O上，CE是O O的直径，CD丄AB于点D。(1 )求证：/ A

13、CD= / BCE; (2)延长 CD 交O O 于点 F，连接 AE、BF，求证：AE=BFB例2、现需测量一井盖（圆形）的直径，但只有一把角尺（尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于 井盖半径）请配合图形、文字说明测量方案，写出测量的步骤. （要求写出两种测量方案）解法一：如图（1）,把角尺顶点A放在井盖边缘，记角尺一边与井盖边缘交于点 B,另一边交于点 C （若角尺另一边无法达到井盖的边上，把角尺当直尺用，延长另一边与井盖边缘交于点 C）,度量BC长即为直径；DE长度即为直径;解法二：如图（2）,把角尺当直尺用，量出 AB的长度，取AB中点C,然后把角尺顶点与 C点重合，有一边与

14、 CB 重合，让另一边与井盖边缘交于 D点，延长DC交井盖边于E,度量巩固练习四个结论：8、如图，O 0Z EBC=22.5。：BD=DC :AE是DE的 2倍；AE=BC。其中正确结论的序号是的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为-2cm, 1cm，则弦AC、BD所夹的锐角为9、如图，AB, AC 是O O的两条弦，且AB=AC .延长CA到点D.使AD=AC ,连结DB并延长，交O O于点E.求 证：CE是O O的直径.10、如图，在O O中AB是直径， CD是弦，AB1 CD.p是Cad上一点（不与 c, d重合）.求证：/ cpd=/ cob（2）点P在劣弧CD上（不与C , D重合

15、）时，/ CPD与/ COD有什么数量关系？请证明你的结论.11、（1）如图（1）已知，已知 ABC是等边三角形，以 BC为直径的O O交AB AC于D E.求证： ODE是等边 三角形；（2）如图（2）若/ A=60 , ABAC贝9（ 1）的结论是否成立？如果成立，请给出证明，13、如图，AB为O O的直径，弦 DA、BC的延长线相交于点 P,且BC=PC，求证:（1） ab=ap （ 2） Be Cd【课本相关知识点】1、 弧长公式：在半径为 R的圆中，n的圆心角所对的弧长I的计算公式为1= 2、 在弧长公式中，有 3个变量： ，已知其中的任意两个，都可以求出第 3个变量。我们只需要记住

16、一个公式即可。（有些老师要求它的另外两个变形公式都要记住，其实完全没有必要）。这里面涉及3个变量:3、扇形面积公式1:半径为R，圆心角为n的扇形面积为 ，已知其中任意两个，都可以求出第 3个变量。我们中需要记住一个公式即可。4、 扇形面积公式 2:半径为R，弧长为I的扇形面积为 5、 求阴影部分面积一般遵循“四步曲” ，即：一套，二分，三补，四换一套：直接套用基本几何图形面积公式计算；二分：将其分割成规则图形面积的和或差；三补：用补形法拼凑成 规则图形计算；四换：将图形等积变换后计算。【典型例题】【题型一】静止图形的弧长计算与运动图形的弧长计算【例1】、如图所示，在 ABC中，/ ACB=90

17、 ，/ B=15 ，以C为圆心，CA的长为半径的圆 交AB于点D。若AC=6，求AD的长【例2】、如图，菱形 ABCD中，AB=2，/ C=60 ，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚, 顶点旋转60叫一次操作，则经过 36次这样的操作菱形中心 O所经过的路径总长为 【题型二】求阴影部分的面积问题【例1】、如图，在矩形 ABCD中，AD=2AB=2，以B为圆心，以BA为半径作圆弧，交 CB的延长线于点 E, 连接DE。求图中阴影部分的面积。O【例2】、如图所示，分别以 n边形的顶点为圆心，以单位【例3】、如上图，Rt ABC中，/ ACB=90 ，/ CAB=30 , BC=2 , 0、H

18、分别为边 AB、AC的中点，将ABC绕点B顺时针旋转120到厶A1B1C1的位置，则整个旋转过程中线段 0H所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）D . 4 n .3A . 7 n 7亦3 8【例4】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6cm ,其中水面高0.3cm,求截面上有水部分的面积。【题型三】用弧长及扇形面积公式解决实际问题【例1】当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆 AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90时，雨刷CD扫过的面积是多少呢？ 小明仔细观察了雨刷器的转动情况

19、，量得 CD=80cm / DBA=20，端点 C D与点A的距离分别为115cm 35cm.他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了 结果。也请你算一算雨刷 CD扫过的面积为cm 2 （n 取 3.14 ）【例2】如图是一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是 10cm,当重物上升10cm时，滑轮的一条半径 OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为 度.（假设绳索与滑轮之间没有滑动， n取3.14，结果精确到1巩固练习11、如果一条弧长等于 nr，它的半径是r，那么这条弧所对的圆心角度数为 42、 如果一条弧长为I，它的半径为 R，这条弧所对的圆心角增加 1,则它的弧长增加 3、 扇形的弧长

20、为 20cm,半径为5cm,则其面积为 cm 24、 一个扇形的弧长是 20 ncm，面积是240 ncm，那么扇形的圆心角是 5、 图中4个正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的图形个数是（ ）A.0 B.2 C.3 D.46、如图所示，扇形 AOB的圆心角为90 ，分别以 OA、OB为直径在扇形内作半圆， P和Q分别表示两个阴影部分的面积，那么 P和Q的大小关系是7、 如图，AB=12, C D是以AB为直径的半圆上的三等分点，则图中阴影部分面积为 8、 如图，在 Rt ABC中，/ C=90 , AC=4 , BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留

21、n）（到了初中阶段，其实即使不说，结果也要保留 n,这是一个基本常识）求圆中阴影部分的面积。13、如图，在 ABC中，已知 AB=4cm，/ B=30 ，/ C=45 ，若以 A为圆心，AC长为半径作弧，交 AB于 点E,交BC于点F。（1 ）求CE的长 （2）求CF的长【课本相关知识点】1、 圆锥可以看做是直角三角形绕 旋转一周所成的图形。 旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。另一条直角边旋转而成的面叫做 。圆锥的 和 的和叫做圆锥的全面积 （或表面积）。2、 沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平， 可得圆锥的侧面展开图是一个 ，圆锥的侧面积等于这个扇形的面积，其半径等于圆锥的 ，弧长等于圆锥的 4、 圆

22、锥的母线长I，高h，底面圆半径r满足关系式 5、 已知圆锥的底面圆半径 r和母线长I，那么圆锥的侧面展开图的圆心角为6、 圆锥的侧面展开图的圆心角 x的取值范围为 【典型例题】【题型一】与圆锥有关的计算（主要是算面积）nab C. 3 na2+ nab D. na （2a+b）有一圆心角为 120。，半径长为6cm的扇形，若将0A、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的【例1】如图所示，在厶ABC中，/ BAC=30 ，AC=2a，BC=b，以AB所在直线为轴旋转一周得到一个几何体, 则这个几何体的全面积是（ ）A. 2 na B.【例2】如图, 高是（ ）【题型三】与圆锥有关的最短距离问题【例

23、1】如图，圆锥底面半径为r,母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于 A点，它从A点出发沿圆锥面爬行一周 后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径。巩固练习1、 一个圆锥形零件的底面半径为 4，母线长为12，那么这个零件侧面展开图的圆心角为2、 一个圆锥的侧面积是底面积的 2倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角等于3、 如图，扇形 OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为 1cm,则这个圆锥的底面半径为4、 如图所示是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，那么围成这个灯罩的铁皮的面积为5、 如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径 EF长为10cm,

24、母线OE(OF)长为10cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且 FA=2cm 只蚂蚁从杯口的点 E处沿圆锥表面爬行到 A点，则此蚂蚁爬行的最短距离 cm .6、 如图所示，有一直径为 1m的圆形铁皮，要从中剪出一个圆心角为 90。的最大扇形 ABC(1)求被剪后阴影部分的面积(2)用所得的扇形铁皮围成一个小圆锥，则该圆锥的底面半径是多少？7、卷一个底面半径为 2，高为2J35的圆锥侧面，有以下 4个扇形纸片可供选择。如果要使材料浪费最少，你 认为选哪一个最合理？请说明理由。r=8 r=12 r=12 r=138、在一次科学探究实验中，小明将半径为 5cm的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形。（1 ）取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线 0B长为6cm,开口圆的直径为 6cm。当滤纸片重1叠部分为三层，且每层为丄圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中， 能否紧贴此漏斗的内壁 （忽略漏斗管口处）4请你用所学的数学知识说明；（2）假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为 6cm,开口圆的直径为7.2cm，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁问重叠部分每层的面积为多少？第三章 圆的基本性质的知识点及典型例题知识框图圆、圆心、半径、直径三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三