届河北省中考数学系统复习第15讲等腰三角形8年真题训练含答案.docx

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届河北省中考数学系统复习第15讲等腰三角形8年真题训练含答案

第15讲　等腰三角形

命题点1　等腰三角形的性质与判定

1．（2018·河北T8·3分）已知，如图，点P在线段AB外，且PA＝PB，求证：

点P在线段AB的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（B）

A．作∠APB的平分线PC交AB于点C

B．过点P作PC⊥AB于点C且AC＝BC

C．取AB中点C，连接PC

D．过点P作PC⊥AB，垂足为C

2．（2017·河北T10·3分）如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（D）

A．北偏东55°　　　　　　　　B．北偏西55°

C．北偏东35°　　　　　　　　D．北偏西35°

3．（2013·河北T8·3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（D）

A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里

命题点2　等边三角形的性质与判定

4．（2016·河北T16·2分）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（D）

A．1个B．2个C．3个D．3个以上

5．（2011·河北T17·3分）如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为2.

图1　　　　　图2

重难点1　等腰三角形的性质与判定

　在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是线段AB上一动点（D不与A，B重合）．

（1）如图1，当点D为AB的中点，过点B作BF∥AC交CD的延长线于点F，求证：

AC＝BF；

（2）连接CD.作∠CDE＝30°，DE交AC于点E.若DE∥BC时，如图2.

①∠CDB＝120°；

②求证：

△ADE为等腰三角形；

③在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？

若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．

【自主解答】　解：

（1）证明：

∵CA＝CB，CD是△ABC的中线，∴AD＝BD.

∵BF∥AC，∴∠A＝∠FBD.

∵∠ADC＝∠BDF，∴△ACD≌△BFD.∴AC＝BF.

（2）②证明：

∵AC＝BC，∴∠A＝∠B.

∵DE∥BC，∴∠EDA＝∠B.

∴∠A＝∠EDA，∴△ADE为等腰三角形．

③△ECD可以是等腰三角形．理由如下：

Ⅰ.当∠CDE＝∠ECD时，EC＝DE，∴∠ECD＝∠CDE＝30°.

∵∠AED＝∠ECD＋∠CDE，

∴∠AED＝60°.

Ⅱ.当∠ECD＝∠CED时，CD＝DE，∵∠ECD＋∠CED＋∠CDE＝180°，

∴∠CED＝

＝75°.∴∠AED＝180°－∠CED＝105°.

Ⅲ.当∠CED＝∠CDE时，EC＝CD，∠ACD＝180°－∠CED－∠CDE＝180°－30°－30°＝120°，

∵∠ACB＝120°，

∴此时，点D与点B重合，不合题意．

综上，△ECD可以是等腰三角形，此时∠AED的度数为60°或105°.

【变式训练1】（2018·湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（B）

A．20°B．35°C．40°D．70°

【变式训练2】　（2018·河北大联考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上的一点，且BA＝BD，DA＝DC，则∠C的度数为（B）

A．30°　　　B．36°　　　　C．40°　　　D．45°

1．在同一个三角形中证明边相等或角相等的方法主要是等边对等角或等角对等边，在两个不同三角形中，证明两条边相等或角相等的方法是利用全等三角形．

2．几何常见图形“8”字图，其基本构成过程是：

（1）把三角形的中线加倍，即CD是△ABC的中线，延长CD至F，使DF＝CD；

（2）D是AB的中点，BF∥AC；

（3）没有明确腰或底边的等腰三角形或没有明确顶角或底角的等腰三角形问题，解决时常常需要分类讨论．Ｋ,　　

　在△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝8，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB.

（1）如图1，过点P作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，则△AEF的周长为10；

（2）如图2，过点P作PM∥AB交BC于点M，PN∥AC交BC于点N，则△PMN的周长为8；

【变式1】如图3，若点P为△ABC的内心，将∠BAC平移使其顶点与P重合，则图中阴影部分的周长为8．

【变式2】如图4，若△ABC的内角平分线BQ与外角平分线CQ相交于点Q，过点Q作QH∥BC交AB于点H，交AC于点R.若BH＝5，HR＝2，求CR的长．

【思路点拨】　

（1）由角平分线及两直线平行，内错角相等，可得到△BEP，△CFP均是等腰三角形，从而有EF＝EB＋FC，所以△AEF的周长为AB＋AC；对于

（2）同理可得，PM＝BM，PN＝CN，所以△PMN的周长BM＋MN＋CN＝BC＝8，对于变式2连接PB，PC，根据

（2）中结论可得阴影部分的周长；对于变式2可证得△BHQ，△CRQ是等腰三角形．

【自主解答】　解：

∵HQ∥BC，∴∠HQB＝∠QBC.

又∵BQ平分∠ABC，∴∠HBQ＝∠CBQ.

∴∠HQB＝∠HBQ.∴HB＝HQ.同理可得CR＝RQ.

∴CR＝RQ＝HQ－HR＝BH－HR＝5－2＝3.

【变式训练3】　已知：

如图，点D在△ABC外，BD，CD分别平分△ABC的外角∠GBC和∠HCB，过点D作DE∥BC，分别交BG，CH于E，F两点，则EF与BE，CF之间存在怎样的关系？

写出你的结论，并加以证明．

解：

结论：

BE＋CF＝EF.

证明：

∵BD平分∠EBC，CD平分∠FCB，

∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD.

∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD.

∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD.

∴BE＝DE，CF＝DF.

∴BE＋CF＝DE＋DF＝EF.∴BE＋CF＝EF.

1．角平分线＋平行线可以得出等腰三角形．

模型如下：

如图，OA∥BC，OC平分∠AOB，则△BOC为等腰三角形．

2．利用等腰三角形的腰相等，可以实现化曲为直，实现线段求解或周长求解．

变式点：

1．内心可以看作三角形三条角平分线的交点．

2．平移可以看作平行线．

3．等腰三角形可以作一条线段绕其中一个端点旋转一个角度，交于另一个端点连接得到的图形．

4．外心可以看作三角形三边垂直平分线的交点．

重难点2　等边三角形的性质与判定

　（2018·廊坊安次区模拟）如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC.若△ABC的周长为12，则PD＋PE＋PF＝（C）

A．12

B．8

C．4

D．3

【思路点拨】延长DP交AC于点M，由等边三角形的性质及两直线平行，同位角相等，易得∠MDC＝∠C＝60°，从而△MDC是等边三角形，△MPE也是等边三角形，有MD＝CM＝MP＋PD＝PE＋PD，又可得四边形AMPF是平行四边形，所以PF＝AM.所以AC＝PD＋PE＋PF＝4.

【变式训练4】（2017·河池）已知等边△ABC的边长为12，点D是AB上的动点，过点D作DE⊥AC于点E，过点E作EF⊥BC于点F，过点F作FG⊥AB于点G.当点G与点D重合时，AD的长是（C）

A．3B．4C．8D．9

【变式训练5】如图，六边形ABCDEF中，每一个内角都是120°，AB＝12，BC＝30，CD＝8，DE＝28.则这个六边形的周长为（C）

A．125

B．126

C．116

D．108

这里依据两个角为60°的三角形是等边三角形，利用等边三角形的性质以及平行四边形的性质，化曲为直，平移线段，将三条线段的和转化成一条线段．体现了整体求值的数学思想．

注：

本题的结论与“过等边三角形内一点向三边作垂线段，三条垂线段”之和等于等边三角形的高类似．

1．（2018·宿迁）若实数m，n满足等式|m－2|＋

＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（B）

A．12B．10　　C．8　　D．6

2．（2018·德州改编）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为（A）

A．3B．4　　C．5　　D．6

3．（2018·黄冈）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（B）

A．50°B．70°　C．75°D．80°

4．（2018·福建）如图，等边△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（A）

A．15°　　B．30°　　C．45°　　　D．60°

5．（2018·昆明）在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为（B）

A．90°B．95°C．100°D．120°

6．如图是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能得到两个等腰三角形纸片的是（B）

　　　A　　　　　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　　　D

7．（2017·枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于

MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（B）

A．15B．30C．45D．60

8．（2018·玉林）如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（A）

A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直

9．（2018·南充）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝24°．

10．（2018·吉林）我们规定：

等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k.若k＝

，则该等腰三角形的顶角为36度．

11．（2018·嘉兴）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：

△ABC是等边三角形．

证明：

∵DE⊥AB，DF⊥BC，

∴∠AED＝∠CFD＝90°.

∵D为AC的中点，∴AD＝DC.

在Rt△ADE和Rt△CDF中，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．

∴∠A＝∠C.∴BA＝BC.

∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC.

∴△ABC是等边三角形．

12．（2018·绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题：

例1　等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：

35°）

例2　等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：

40°或70°或100°）