小学数学《等差数列》练习题含答案.docx

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小学数学《等差数列》练习题含答案

小学数学《等差数列》练习题（含答案）

许多同学都知道这样一个故事：

大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得这么快呢？

当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们回顾加强有关等差数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.

你还记得吗

【复习1】你能给大家说一说有关等差数列的性质、结论以及相关公式吗？

呵呵！

快快举手，多多赢得小印章！

分析：

以下答案仅供参考！

（1）先介绍一下一些定义和表示方法：

定义：

从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差数列.

譬如：

2、5、8、11、14、17、20、……从第二项起，每一项比前一项大3，递增数列

100、95、90、85、80、……从第二项起，每一项比前一项小5，递减数列

（2）首项：

一个数列的第一项，通常用a1表示；

末项：

一个数列的最后一项，通常用an表示，它也可表示数列的第n项.每个数列都有最后一项吗？

数列分有限数列和无限数列；

项数：

一个数列全部项的个数，通常用n来表示；

公差：

等差数列每两项之间固定不变得差，通常用d来表示；

和：

一个数列的某些项的和，常用Sn来表示.

（3）三个重要的公式：

①通项公式：

末项=首项＋（项数-1）×公差

回忆讲解这个公式的时候我们可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让同学明白末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔的公差个数，或者从找规律的情况入手.同时我们还可延伸出来这样一个有用的公式：

②项数公式：

项数=（末项-首项）÷公差＋1（其实此公式是由①推导出来的，教师也可以帮助同学推导，可以为以后的解方程做好铺垫）

由通项公式可以得到：

（

）；

（

）.

找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的！

譬如：

找找下面数列的项数：

4、7、10、13、……、40、43、46，分析：

配组：

（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组.当然，我们还可以有其他的配组方法.

③求和公式：

和=（首项＋末项）×项数÷2

对于这个公式的得到我们可以从两个方面入手：

（思路1）1＋2＋3＋…＋98+99+100

　＝101×50=5050

（思路2）这道题目，我们还可以这样理解：

即，和=（100＋1）×100÷2＝101×50＝5050

（4）中项定理

对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首相与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.

譬如：

（1）4＋8＋12＋…＋32＋36=（4+36）×9÷2=20×9=180，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于20×9；

（2）65＋63＋61＋…＋5＋3+1=（1+65）×33÷2=33×33=1089，题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于33×33.

如果是一个项数为偶数的等差数列，我们该如何运用这个公式呢？

其实我们可以将其去掉一项，变成奇数项，求和之后再加上去掉的那一项.中项定理也可用在速算与巧算中.

譬如：

计算：

124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68

分析：

这是一列等差数列，项数是奇数，中间数是524.68，所以可以用5×524.68=2623.4.

等差数列是小学奥数的一个重要知识，无论是竞赛还是小升初都是一个考核的重点.一部分题目是直接考数列，但更多的是结合到找规律、周期等问题进行考核.复习题目的重点就是让学生熟练掌握等差数列的求和、末项和项数的求解.不能让学生去单纯的背公式，而应该把原理讲透.

【复习2】

（1）3、5、7、9、11、13、15、……，这个数列有多少项？

它的第102项是多少？

（2）已知等差数列2、5、8、11、14…，问47是其中第几项？

（3）如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.

分析：

（1）它是一个无限数列，所以项数有无限多项.

第n项=首项+公差×（n-1），所以，第102项=3+2×（102-1）=205；

（2）首项=2，公差=3，我们可以这样看：

2、5、8、11、14…、47，

那么这个数列有：

n=（47-2）÷3+1=16，（熟练后，此步可省略），即47是第16项；

（3）要求第8项，必须知道首项和公差.

第6项－第4项=（6－4）×公差，所以，公差=6；

第4项=首项+3×公差，21=首项+3×6，所以，首项=3；

第8项=首项+7×公差=45；

【复习3】某剧院有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位.问：

这个剧一共有多少个座位？

分析：

首项：

70-（25-1）×2=22，座位总数：

（22+70）×25÷2=1150．

【复习4】小明从1月1日开始写大字。

第一天写了4个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，结果全月（总共31天）共写了589个大字，问：

小明每天比前一天多写多少个字?

分析：

数列末项为：

589×2÷31－4=34，所以公差为（34－4）÷30=1，小明每天比前一天多写1个大字．

例题精讲

【例1】巧算:

61+692+6993+69994+699995+6999996

分析:

原式=（70-9）+（700-8）+（7000-7）+（70000-6）+（700000-5）+（7000000-4）

=7777770-（9+8+7+6+5+4）

=7777731

【巩固】计算72+793+7994+79995+799996=.

分析:

原式=（80-8）+（800-7）+（8000-6）+（80000-5）+（800000-4）

=888880-（8+7+6+5+4）

=888850

【例2】计算：

0.1＋0.2＋0.3＋…＋0.9＋0.10＋0.11＋…＋0.98＋0.99

分析：

仔细观察发现这串数并不是一个等差数列，但是我们可以分为0.1至0.9和0.10至0.99两部分，这样就变成等差数列了，然后再求和.

第一部分：

0.1＋0.2＋0.3＋…＋0.9=4.5；

第二部分：

0.10＋0.11＋…＋0.98＋0.99=（0.1＋0.99）×90÷2=49.05；

因此总和等于：

49.05＋4.5=53.55.

【例3】（04陈省身杯数学邀请赛）

计算：

（10-

×1）+（9-

×2）+（8-

×3）+…+（2-

×9）+（1-

×10）=.

分析：

原式=（10+9+8+…+1）-

×（1+2+3+…+10）

=55-

×55=51

【例4】用相同的立方体摆成右图的形式，如果共摆了10层，那么最下面一层有多少个立方体？

分析：

从图可以看出最底层每一列的立方数分别为10，9，8，…，1．

所以最底层立方体数目为：

（10+1）×10÷2=55．要学会正确的读图．

【例5】（05我爱数学夏令营）小于1000的能被3整除但不是5的倍数的所有自然数之和为多少？

分析：

能被3整除的数和为：

3+6+9+…+999=（3+999）×333÷2=166833，

即能被3整除，又能被5整除的数的和：

15+30+45+…+990=（15+990）×66÷2=33165，

小于1000的能被3整除但不是5的倍数的所有自然数之和：

166833-33165=133668．

【前铺】在1～100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？

分析：

我们先计算l～100的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9整除的自然数和了．1+2+…+100=（1+100）×100÷2=5050，9+18+27+…+99=（9+99）×11÷2=594，所有不能被9整除的自然数和：

5050-594=4456．如果直接计算不能被9整除的自然数和，是很麻烦的，所以我们先计算所有1～100的自然数和，再排除掉能被9整除的自然数和，这样计算过程变得简便多了．

【巩固】在1～200这二百个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少?

分析：

先求出能被4整除的自然数和，再求出能被11整除的自然数和，将二者相加，但是此时得到的不是题目需要的和，因为44，88等数在两个数列中都存在，也就是说能被44整除的数列被计算了两次，所以我们还应该减去能被44整除的数列和.

（4+8+12+…+200）+（11+22+33+…+198）-（44+88+132+176）=（4+200）×50÷2+（11+198）×18÷2-（44+176）×4÷2=6541．

【例6】已知有一个数列：

1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4……，试问：

（1）15是这样的数列中的第几个到第几个数？

（2）这个数列中第100个数是几？

（3）这个数列前100个数的和是多少？

分析：

分析可得下表：

数：

1234567…141516……

个数：

2468101214…283032……

（1）2＋4＋6＋…＋28=210，所以15是第211个到240个

（2）在这个数列中前9组的个数是：

2＋4＋6＋…＋18=90个

这个数列前10组的个数是：

2＋4＋6＋…＋20=110

而90〈100〈110，所以第100个数是第10组中数，是10

（3）这个数列中前100个数的和是：

1×2＋2×4＋3×6＋…＋9×18＋10×10=670

【例7】已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、…，问:

这个数列中第2000个数是多少?

第2003个数是多少?

分析:

奇数项的排列规律是：

2、4、6、8，…

偶数项的排列规律是：

3、6、9、12，…

先求出这两个数各自在等差数列中的项数：

第2000个数在偶数项等差数列中是第2000÷2=1000个数，

第2003个数在奇数项等差数列中是第（2003+1）÷2=1002个数，所以第2000个数是3000，第2003个数是2004.

【拓展】求出原题中的前100项和，并判断出100、111、120分别是数列中的第几项。

分析：

前100项的和=（3＋150）×50÷2＋（2+100）×50÷2=255×25=6375，

100是2的倍数，所以是奇数项的第50项，原数列的第99项；

111是3的倍数，所以是偶数项的第37项，原数列的第74项；

同样，120是原数列的第80项和第119项.

【例8】

右图是一个堆放铅笔的V型架，如果V型架上一共放有210只铅笔，那么最上层有多少只铅笔？

分析：

每一层的铅笔数从上到下形成一个等差数列，公差为1；设最上面一层的铅笔数为x，那么共有铅笔x（x+1）÷2=210，x（x+1）=420，比较求解可得x=20.

【例9】学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了78场比赛.问：

有多少人参加了选拔赛？

分析:

我们假设有x个选手，根据题目中“每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场”，第一个选手要比x-1场；第二个选手，由于第一个选手已经和他比赛过了，所以他只需要同剩下的x-2个选手比赛x-2场，依此类推，总比赛场数就是数列1，2，3，…，x-1的和．

设有x个选手，列出方程：

（1+x-1）×（x-1）÷2=78，x（x-1）=156，比较求解得x=13．

【例10】小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从1开始求和，当加到某一个数的时候，和是1997，但他发现计算时少加了一个数，试问：

小明少加了哪个数？

分析：

用X表示小明少加的那个数,1997＋X=（1＋n）×n÷2，（1＋n）×n=3994+2x,两个相邻的自然数的积比3994大一些，因为（1＋n）×n和n2比较接近,可以先找3994附近的平方数,最明显的要数3600=60×60,而后试算两个相邻自然数的乘积61×62=3782,62×63=3906,63×64=4032,所以n=63,正确的和是2016,少加的数为:

2016-1997=19.

【例11】求一个自然数n，使得前n个自然数的和是一个三位数，并且该三位数的个位、十位、百位三个数码都相同。

分析:

设前n个自然数的和等于111a，其中a是不大于9的自然数，则有　

当a＝6时，上式化为n（n＋1）＝36×37，比较知n＝36.

附加题目

【附1】计算：

2000×l999-l999×l998+1998×l997-1997×l996+…+4×3-3×2+2×1．

分析：

原式=1999×（2000-1998）+1997×（1998-1996）+…+3×（4-2）+2×l

=1999×2+1997×2+……+3×2+2×1

=2×（1999+1997+…+3+1）

=2000000．

【附2】计算：

1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70；

分析：

可以把这个数列拆分为两个数列1+4+7+9+13+…+67+70和3+6+9+12+…+66+69，对他们分别求和：

（1+70）×24÷2+（3+69）×23÷2=1680；

【巩固】2+4+8+10+14+16+20+22+…+92+94+98+100；

分析：

拆分为2+8+14+20+…+92+98和4+10+16+22+…+94+100：

（2+98）×17÷2+（4+100）×17÷2=1734.

【附3】盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。

这时盒子里共有多少只乒乓球？

分析：

一只球变成3只球，实际上多了2只球.第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。

因此拿了十次后，多了

　　2×1＋2×2＋…＋2×10

　　＝2×（1＋2＋…＋10）

　　＝2×55＝110（只）

加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）

【附4】李明玩投放石子游戏，从A点出发，走1米放1枚石子；再走4米有放下3枚石子；再走7米，放下5枚石子；再走10米放下7枚石子…….照此规律最后走到B处共放下石子35枚，从A点到B点的路程是多少米？

分析:

N=（35-1）÷2＋1=18，末项=1＋3×（18-1）=52，和=（1＋52）×18÷2=477（米）.

【附5】观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是

，那么，第20行最左边的数是几？

第20行所有数字的和是多少？

分析:

第20行最左边的数等于

＋1=362，该行共有（

－

）个数

（362＋400）×39÷2=14559

【附6】从两位的自然数中，每次取两个不同的数要使这两个数的和是三位自然数，有多少种取法？

分析:

要使和为3位数，假设一个数为n，则另一个数必须大于100-n，同时为了防止取重复（比如已经取了50，51又取51，50），我们只取比n大的数，按照这个原则，可以写出一个数列．

10有90～99,10种取法;11有89～99,11种取法;……;49有51～99,49种取法;50有51～99,49种取法;51有52～99,48种取法;……;98有99,1种取法.

（10+11+12+…+49）+（49+48+47+…+2+1）=（10+49）×40÷2+（1+49）×49÷2=2405，对这个数列求解就可以得到总共有2405种取法．

【附7】有一列数：

l，2，4，7，1l，16，22，29，37，…，问这列数第1001个数是多少?

分析：

从题目中可以看出第二个数与第一个数差1，第三个数与第二个数相差2，第四个数与第三个数相差3，……，依此类推，以后每项数与前一项的差都会依次增加1，因此有以下规律：

第1个数：

1=1，

第2个数：

2=1+1，

第3个数：

4=2+2=1+1+2，

第4个数：

7=3+4=1+1+2+3，

第5个数：

11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4，

第6个数：

16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5，

……

第n个数：

1+1+2+3+4+5+…+（n-1）．

第1001个数为：

1+1+2+3+4+5+…+（1001-1）=1+1+2+3+4+5+…+l000=l+500500=5005001

【附8】（04走进美妙数学花园）黑板上写有从1开始的一些连续奇数：

1，3，5，7，9，…，

擦去其中一个奇数以后，剩下的所有奇数的和是2008，那么擦去的奇数是.

分析：

1，3，5，7，…，（2n-1），这n个奇数之和等于n2，452=2025，擦去的奇数是2025-2008=17．

【附9】（希望杯数学邀请赛）观察下面的序号和等式，填括号.

序号等式

11＋2＋3=6

33＋5＋7=15

55＋8＋11=24

77＋11＋15=33

∶　　∶∶　∶　∶

（）　（）＋（）＋7983=（）

分析：

可以这样想：

（1）表中各竖行排列的规律是什么？

（等差数列）

（2）表中这四个括号，应先填哪一个？

为什么？

这个括号里的数怎么求？

应先填左起第一个，因为它是序号，表示了其他三个括号里的数在各自的等差数列中所在的位置，即各自的项数.

第一个括号：

（7983-3）÷4＋1=1996，1＋（1996-1）×2=3991；第二个括号：

1＋（1996-1）×2=3991；

第三个括号：

根据等差数列通项公式：

2＋（1996-1）×3=5987或3991+1996=5987；第四个括号：

根据等差数列通项公式：

6＋（1996-1）×9=17961或3991+5987+7983=17961.

练习六

1．计算：

0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.1l+0.13+0.15+0.17+…+0.97+0.99．

分析：

原式=（0.1+0.3+0.5+0.7+0.9）+（0.11+0.13+0.15+0.17+…+O.97+0.99）

=（0.1+0.9）×5÷2+（0.11+0.99）×45÷2

=2.5+24.75

=27.25．

2．100到200之间不能被3整除的数之和是多少？

分析:

考虑能被3整除的各数之和102＋１05＋…＋198;

然后（100＋101＋102＋…＋200）—（102＋105＋…＋198）＝10200.

3．将自然数按下面的形式排列

1

234

56789

10111213141516

171819202122232425

……

问：

第10行最左边的数是几？

第10行所有数的和是多少？

分析:

第10行最左边的数是82，最右边的数是100，第10行所有数的和（82＋100）×19÷2=1729.

4．某次宴会结束时总共握手45次，如果参加宴会的每一个人，和其他参加宴会的每一个人都只握一次手。

参加宴会的一共有多少人？

分析:

经试验：

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45，所以一共有10人参加宴会.

5．木木练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是888，但她重复计算了其中一个数字.问：

木木重复计算了哪个数字？

分析:

用X表示小明多加的那个数,888－X=（1＋n）×n÷2，（1＋n）×n=1776-2x,

两个相邻的自然数的积是比1776小一些的一个数，先找1776附近的平方数,1600=40×40=1600,试算:

40×41=1640,41×42=1722,42×43=1806,所以n=41,所以X=（1776－41×42）÷2=27.