等差数列综合练习题.docx
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等差数列综合练习题
一、等差数列选择题
1．已知等差数列满足，，则（）
A．10B．9C．8D．7
2．在等差数列中，，，则（）
A．B．C．D．
3．设等差数列的前项和为，且，则（）
A．45B．50C．60D．80
4．设数列的前项和.则的值为（）．
A．B．C．D．
5．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了米，最后三天共跑了米，则这15天小李同学总共跑的路程为（）
A．米B．米C．米D．米
6．等差数列的前项和分别为，若，则的值为（）
A．B．C．D．
7．已知等差数列的前项和为，且，，下列四个命题：
①公差的最大值为；②；③记的最大值为，则的最大值为30；④.其真命题的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
8．等差数列的前项和为，若，，则（）
A．11B．12C．23D．24
9．等差数列中，，公差，则=（）
A．200B．100C．90D．80
10．已知等差数列中，前项和，则使有最小值的是（）
A．7B．8C．7或8D．9
11．等差数列中，若，，则（）
A．B．C．2D．9
12．设等差数列的前项和为，若，则（）
A．60B．120C．160D．240
13．在数列中，，，则（）
A．10B．145
C．300D．320
14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：
将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（）
A．103B．107C．109D．105
15．设等差数列的公差d≠0，前n项和为，若，则（）
A．9B．5C．1D．
16．在等差数列的中，若，则等于（）
A．25B．11C．10D．9
17．设等差数列的前和为，若，则必有（）
A．且B．且
C．且D．且
18．在等差数列中，，则的前项和（）
A．B．C．D．
19．已知数列的前项和，则的通项公式为（）
A．B．C．D．
20．设，，数列的前项和，，则存在数列和使得（）
A．，其中和都为等比数列
B．，其中为等差数列，为等比数列
C．，其中和都为等比数列
D．，其中为等差数列，为等比数列
二、多选题
21．已知数列的前n项和为，且满足，，则下列说法错误的是（）
A．数列的前n项和为B．数列的通项公式为
C．数列为递增数列D．数列为递增数列
22．（多选）在数列中，若为常数，则称为“等方差数列”下列对“等方差数列”的判断正确的是（）
A．若是等差数列，则是等方差数列
B．是等方差数列
C．是等方差数列.
D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
23．等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是（）
A．B．C．当或时，取得最大值D．
24．已知递减的等差数列的前项和为，，则（）
A．B．最大
C．D．
25．记为等差数列前项和，若且，则下列关于数列的描述正确的是（）
A．B．数列中最大值的项是
C．公差D．数列也是等差数列
26．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：
….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列说法正确的是（）
A．B．是偶数C．D．…
27．已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（）
A．在数列中，最大
B．在数列中，或最大
C．
D．当时，
28．等差数列的首项，设其前项和为，且，则（）
A．B．C．D．的最大值是或者
29．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（ ）
A．a6＞0
B．
C．Sn＜0时，n的最小值为13
D．数列中最小项为第7项
30．已知为等差数列，其前项和为，且，则以下结论正确的是（）.
A．B．最小C．D．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、等差数列选择题
1．A
【分析】
利用等差数列的性质结合已知解得，进一步求得．
【详解】
在等差数列中，设公差为，由，.
故选：
A
2．A
【分析】
利用等差数列的通项公式求解，代入即可得出结论.
【详解】
由，，
又为等差数列，
得，
，
解得，
则；
故选：
A.
3．C
【分析】
利用等差数列性质当时及前项和公式得解
【详解】
是等差数列，，，
故选：
C
【点睛】
本题考查等差数列性质及前项和公式，属于基础题
4．C
【分析】
利用得出数列的通项公差，然后求解.
【详解】
由得，，，
所以，
所以，故.
故选：
C.
【点睛】
本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用求解即可.
5．B
【分析】
利用等差数列性质得到，，再利用等差数列求和公式得到答案.
【详解】
根据题意：
小李同学每天跑步距离为等差数列，设为，
则，故，，故，
则.
故选：
B.
6．C
【分析】
利用等差数列的求和公式，化简求解即可
【详解】
＝＝＝＝＝.
故选C
7．B
【分析】
设公差为，利用等差数列的前项和公式，，得，由前项和公式，得，同时可得的最大值，，或时取得，结合递减数列判断D．
【详解】
设公差为，由已知，，得，所以，A正确；
所以，B错误；
，解得，，解得，
所以，当时，，
当时，有最大值，此时，
当时，有最大值，此时，C正确．
又该数列为递减数列，所以，D正确．
故选：
B．
【点睛】
关键点点睛：
本题考查等差数列的前项和，掌握等差数列的前和公式与性质是解题关键．等差数列前项和的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由求得．
8．C
【分析】
由题设求得等差数列的公差，即可求得结果.
【详解】
，，
，公差，
，
故选：
C.
9．C
【分析】
先求得，然后求得.
【详解】
依题意，所以.
故选：
C
10．C
【分析】
看作关于的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．
【详解】
，
∴数列的图象是分布在抛物线上的横坐标为正整数的离散的点．
又抛物线开口向上，以为对称轴，且|，
所以当时，有最小值．
故选：
C
11．A
【分析】
由和求出公差，再根据可求得结果.
【详解】
设公差为，则，
所以.
故选：
A
12．B
【分析】
根据等差数列的性质可知，结合题意，可得出，最后根据等差数列的前项和公式和等差数列的性质，得出，从而可得出结果.
【详解】
解：
由题可知，，
由等差数列的性质可知，则，
故.
故选：
B.
13．C
【分析】
由等差数列的性质可得，结合分组求和法即可得解。
【详解】
因为，，
所以数列是以为首项，公差为3的等差数列，
所以，
所以当时，；当时，；
所以
.
故选：
C.
14．B
【分析】
根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案.
【详解】
根据题意可知正整数能被21整除余2，
，
.
故选：
B.
15．B
【分析】
由已知条件，结合等差数列通项公式得，即可求.
【详解】
，即有，得，
∴，，且，
∴.
故选：
B
16．D
【分析】
利用等差数列的性质直接求解．
【详解】
因为，，
故选：
D．
17．D
【分析】
由等差数列前n项和公式即可得解.
【详解】
由题意，，
所以，.
故选：
D.
18．A
【分析】
根据等差数列的性质，由题中条件，得出，再由等差数列前项和公式，即可得出结果.
【详解】
因为为等差数列，，
所以，即，
所以.
故选：
A.
【点睛】
熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前项和的基本量运算是解题关键.
19．B
【分析】
利用求出时的表达式，然后验证的值是否适合，最后写出的式子即可.
【详解】
，当时，，
当时，，上式也成立，
，
故选：
B.
【点睛】
易错点睛：
本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即，算出之后一定要判断时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题.
20．D
【分析】
由题设求出数列的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项.
【详解】
解：
，
当时，有；
当时，有，
又当时，也适合上式，
，
令，，则数列为等差数列，为等比数列，
故，其中数列为等差数列，为等比数列；故C错，D正确；
因为，，所以即不是等差数列，也不是等比数列，故AB错.
故选：
D.
【点睛】
方法点睛：
由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，考查学生的计算能力.
二、多选题
21．ABC
【分析】
数列的前项和为，且满足，，可得：
，化为：
，利用等差数列的通项公式可得，，时，，进而求出．
【详解】
数列的前项和为，且满足，，
∴，化为：
，
∴数列是等差数列，公差为4，
∴，可得，
∴时，，
，
对选项逐一进行分析可得，A，B，C三个选项错误，D选项正确.
故选：
ABC.
【点睛】
本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题
22．BD
【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.
【详解】
对于A，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A错误；
对于B，数列中，是常数，是等方差数列，故B正确；
对于C，数列中，不是常数，不是等方差数列，故C错误；
对于D，是等差数列，，则设，是等方差数列，是常数，故，故，所以，是常数，故D正确.
故选：
BD.
【点睛】
关键点睛：
本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.
23．ABD
【分析】
由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论．
【详解】
∵等差数列的前项和为，，
∴，解得，
故，故A正确；
∵，，故有，故B正确；
该数列的前项和，它的最值，还跟的值有关，故C错误；
由于，，故，故D正确，
故选：
ABD.
【点睛】
思路点睛：
利用等差数列的通项公式以及前项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.
24．ABD
【分析】
转化条件为，进而可得，，再结合等差数列的性质及前n项和公式逐项判断即可得解.
【详解】
因为，所以，即，
因为数列递减，所以，则，，故A正确；
所以最大，故B正确；
所以，故C错误；
所以，故D正确.
故选：
ABD.
25．AB
【分析】
根据已知条件求得的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.
【详解】
依题意，等差数列中，即，
.
对于A选项，，所以A选项正确.
对于C选项，，，所以，所以C选项错误.
对于B选项，，令得，由于是正整数，所以，所以数列中最大值的项是，所以B选项正确.
对于D选项，由上述分析可知，时，，当时，，且.所以数列的前项递减，第项后面递增，不是等差数列，所以D选项错误.
故选：
AB
【
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