等差数列练习题有答案.docx

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等差数列练习题有答案

数列

A、等差数列知识点及例题

一、数列

由

与

的关系求

由

求

时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为

。

〖例〗根据下列条件，确定数列

的通项公式。

分析：

（1）可用构造等比数列法求解；

（2）可转化后利用累乘法求解；

（3）将无理问题有理化，而后利用

与

的关系求解。

解答：

（1）

（2）

……

累乘可得，

故

（3）

二、等差数列及其前n项和

（一）等差数列的判定

1、等差数列的判定通常有两种方法：

第一种是利用定义，

，第二种是利用等差中项，即

。

2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。

（1）通项法：

若数列{

}的通项公式为n的一次函数，即

=An+B,则{

}是等差数列；

（2）前n项和法：

若数列{

}的前n项和

是

的形式（A，B是常数），则{

}是等差数列。

注：

若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。

〖例〗已知数列{

}的前n项和为

，且满足

（1）求证：

{

}是等差数列；

（2）求

的表达式。

分析：

（1）

与

的关系

结论；

（2）由

的关系式

的关系式

解答：

（1）等式两边同除以

得

-

+2=0，即

-

=2（n≥2）.∴{

}是以

=

=2为首项，以2为公差的等差数列。

（2）由

（1）知

=

+（n-1）d=2+（n-1）×2=2n,∴

=

当n≥2时，

=2

·

=

。

又∵

，不适合上式，故

。

【例】已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1.其前n项和Sn满足2Sn＝2pa

＋an－p（p∈R），则{an}的通项公式为________．

∵a1＝1，∴2a1＝2pa

＋a1－p，

即2＝2p＋1－p，得p＝1.

于是2Sn＝2a

＋an－1.

当n≥2时，有2Sn－1＝2a

＋an－1－1，两式相减，得2an＝2a

－2a

＋an－an－1，整理，得2（an＋an－1）·（an－an－1－

）＝0.

又∵an>0，∴an－an－1＝

，于是{an}是等差数列，故an＝1＋（n－1）·

＝

.

（二）等差数列的基本运算

1、等差数列的通项公式

=

+（n-1）d及前n项和公式

，共涉及五个量

，

，d,n,

“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；

2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而

和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

注：

因为

，故数列{

}是等差数列。

〖例〗已知数列{

}的首项

=3，通项

，且

，

，

成等差数列。

求：

（1）

的值；

（2）数列{

}的前n项和

的公式。

分析：

（1）由

=3与

，

，

成等差数列列出方程组即可求出

；

（2）通过

利用条件分成两个可求和的数列分别求和。

解答：

（1）由

=3得

……………………………………①

又

，得

…………………②

由①②联立得

。

（2）由

（1）得

，

（三）等差数列的性质

1、等差数列的单调性：

等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。

★2、等差数列的简单性质：

已知数列{

}是等差数列，

是其前n项和。

（1）若m+n=p+q,则

特别：

若m+n=2p，则

。

（2）

仍是等差数列，公差为kd;

（3）数列

也是等差数列；

（4）

；

（5）若n为偶数，则

；若n为奇数，则

；

（6）数列

也是等差数列，其中

均为常数，是

等差数列。

典型例题

1．等差数列

中,若

，则

＝_____225___；

2.（厦门）在等差数列

中，

则其前9项的和S9等于（A）

A．18B27C36D9

3、（全国卷Ⅰ理）设等差数列

的前

项和为

，若

则

=24

4、等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（C）

（A）130（B）170（C）210（D）160

5.（湖北卷）已知两个等差数列

和

的前

项和分别为A

和

，且

，则使得

为整数的正整数

的个数是（　D　）

A．2B．3C．4D．5

6、在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3（n≥1），则该数列的通项an＝________.

　由an＋1＝2an＋3，则有an＋1＋3＝2（an＋3），

即

＝2.

所以数列{an＋3}是以a1＋3为首项、公比为2的等比数列，即an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3.

7、已知方程（x2－2x＋m）（x2－2x＋n）＝0的四个根组成一个首项为

的等差数列，则|m－n|的值等于________．

　如图所示，易知抛物线y＝x2－2x＋m与y＝x2－2x＋n有相同的对称轴x＝1，它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D.

因为xA＝

，则xD＝

.

又|AB|＝|BC|＝|CD|，所以xB＝

，xC＝

.

故|m－n|＝|

×

－

×

|＝

.

8、在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________．

设公差为d，则11（－3＋4d）＝5（－3＋7d）－13，

∴d＝

.

∴数列{an}为递增数列．

令an≤0，∴－3＋（n－1）·

≤0，∴n≤

，

∵n∈N*.

∴前6项均为负值，∴Sn的最小值为S6＝－

.

6.若两个等差数列

和

的前

项和分别为

和

，且满足

，则

6.

7．（北京卷）（16）（本小题共13分）

已知

为等差数列，且

，

。

（Ⅰ）求

的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列

满足

，

，求

的前n项和公式

解：

（Ⅰ）设等差数列

的公差

。

因为

所以

解得

所以

（Ⅱ）设等比数列

的公比为

因为

所以

即

=3

所以

的前

项和公式为

★等差数列的最值：

若

是等差数列，求前n项和的最值时，

（1）若a1>0,d>0,且满足

，前n项和

最大；

（2）若a1<0,d>0，且满足

，前n项和

最小；

（3）除上面方法外，还可将

的前n项和的最值问题看作

关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意

。

〖例〗在等差数列

中，

，其前n项和为

。

（1）求

的最小值，并求出

取最小值时n的值；

（2）求

。

分析：

（1）可由已知条件，求出a1,d,利用

求解，亦可用

利用二次函数求最值；

（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。

解答：

（1）设等差数列

的首项为

，公差为

，∵

，令

，∴当n=20或21时，

最小且最小值为-630.

（2）由

（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数。

∴

〖例〗已知数列

是等差数列。

（1）若

（2）若

解答：

设首项为

，公差为

，

（1）由

，

∴

（2）由已知可得

解得

【例】已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，满足关系式2Sn＝3an－3.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}的通项公式是bn＝

，前n项和为Tn，求证：

对于任意的正整数n，总有Tn<1.

（1）解　①当n＝1时，由2Sn＝3an－3得，2a1＝3a1－3，

∴a1＝3.

②当n≥2时，由2Sn＝3an－3得，

2Sn－1＝3an－1－3.

两式相减得：

2（Sn－Sn－1）＝3an－3an－1，即2an＝3an－3an－1，

∴an＝3an－1，又∵a1＝3≠0，∴{an}是等比数列，∴an＝3n.

验证：

当n＝1时，a1＝3也适合an＝3n.

∴{an}的通项公式为an＝3n.

（2）证明　∵bn＝

＝

＝

＝

－

，

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝（1－

）＋（

－

）＋…＋（

－

）

＝1－

<1.

B、等比数列知识点及练习题

等比数列及其前n项和

（一）等比数列的判定

判定方法有：

（1）定义法：

若

，则

是等比数列；

（2）中项公式法：

若数列

中，

，则数列

是等比数列；

（3）通项公式法：

若数列通项公式可写成

，则数列

是等比数列；

（4）前n项和公式法：

若数列

的前n项和

，则数列

是等比数列；

注：

（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；

（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。

〖例〗在数列

中，

。

（1）证明数列

是等比数列；

（2）求数列

的前n项和

；

（3）证明不等式

对任意

皆成立。

解答：

（1）由题设

得

。

又

所以数列

是首项为1，且公比为4的等比数列。

（2）由

（1）可知

，于是数列

的通项公式为

。

所以数列

的前n项和

。

（3）对任意的

，

，所以不等式

对任意

皆成立。

（二）等比数列的的运算

等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题，数列中有五个量

，

，

，

，

，显然，“知三求二”，通常列方程（组）求解问题。

解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。

注：

在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式。

〖例〗设数列

的前n项和为

，且

=2-2

；数列

为等差数列，且

。

（1）求数列

的通项公式；

（2）若

，

为数列

的前n项和，求证：

。

【放缩法】

解答：

（1）由

=2-2

，得

，又

=

，所以

=

，由

=2-2

……………………①

得

……………………………………………………②

②-①得

，∴

，∴

是以

为首项，以

为公比的等比数列，所以

=

·

。

（2）∵

为等差数列，∴

，∴

从而

∴

………………………………③

∴

…………………④

③-④得

=

∴

∴

（三）等比数列性质的应用

★在等比数列中常用的性质主要有：

（1）对于任意的正整数

若

，则

特别地，若

；

（2）对于任意正整数

有

；

（3）若数列

是等比数列，则

也是等比数列，若

是等比数列，则

也是等比数列；

（4）数列

仍成等比数列；

（5）数列

是等比数列（q≠-1）；

★（6）等比数列的单调性

注：

等比数列中所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号也相同。

1.（全国卷2理数）（4）.如果等差数列

中，

，那么

（A）14（B）21（C）28（D）35

【考查点】考查等差数列的基本公式和性质.

【解析】

2.（辽宁理数）（6）设{an}是有正数组成的等比数列，

为其前n项和。

已知a2a4=1,

则

（A）

（B）

（C）

（D）

【考查点】等比数列的通项公式与前n项和公式。

【解析】由a2a4=1可得

，因此

，又因为

，联力两式有

，所以q=

所以

，

3.（辽宁卷）（14）设

为等差数列

的前

项和，