学年高中数学第一章直线多边形圆24切割线定理25相交弦定理学案北师大版选修41.docx
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学年高中数学第一章直线多边形圆24切割线定理25相交弦定理学案北师大版选修41
2．4&2.5 切割线定理 相交弦定理
[对应学生用书P23]
1．切割线定理
（1）文字语言：
过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项．
（2）符号语言：
从⊙O外一点P引圆的切线PT和割线PAB，T是切点，则PT2＝PA·PB.
（3）图形语言：
如图所示．
推论：
过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积（割线定理）．
2．相交弦定理
（1）文字语言：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
（2）符号语言：
⊙O的两条弦AB和CD相交于圆内的一点P，则PA·PB＝PC·PD.
（3）图形语言：
如图所示．
1．由相交弦定理知，垂直于弦的直径平分弦．那么，直径被弦分成的两条线段与弦有何关系？
提示：
弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．
2．如图，圆外一点P引圆的两条割线能否有PA·AB＝PC·CD?
提示：
只有PA＝PC时才有PA·PB＝PC·CD成立．
[对应学生用书P23]
切割线定理的应用
[例1] 如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P.PB分别与⊙O1，⊙O2交于C，D两点．求证：
（1）PA·PD＝PE·PC；
（2）AD＝AE.
[思路点拨] 本题主要考查切割线定理的应用．解题时由割线定理得PA·PE＝PD·PB，再由切割线定理知PA2＝PC·PB可得结论，然后由
（1）进一步可证AD＝AE.
[精解详析]
（1）∵PAE，PDB分别是⊙O2的割线，
∴PA·PE＝PD·PB.①
又∵PA，PCB分别是⊙O1的切线和割线，
∴PA2＝PC·PB.②
由①②得PA·PD＝PE·PC.
（2）连接AD，AC，ED，
∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB＝90°.
∴AC是⊙O2的切线．
又由
（1）知
＝
，
∴AC∥ED.∴AB⊥ED.
又∵AB是⊙O2的直径，∴
＝
，
∴AD＝AE.
讨论与圆有关的线段间的相互关系，常常可以借助于切割线定理和相似成比例的知识去解决，通常用分析法揭示解题的思考过程，而用综合法来表示解题的形式．
1．（湖北高考）如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝.
解析：
由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝PA＝2QA＝4.
答案：
4
相交弦定理的应用
[例2] 如图，已知在⊙O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线分别交⊙O于C，D两点，垂足是点E.
求证：
PC·PD＝AE·AO.
[思路点拨] 由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，所以PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可．
[精解详析] 连接OP，
∵P为AB的中点，
∴OP⊥AB，AP＝PB.
∵PE⊥OA，
∴AP2＝AE·AO.
∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，
∴PD·PC＝AE·AO.
相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，经常与射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论．
2．（湖南高考）如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝
，BC＝2
，则⊙O的半径等于．
解析：
设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD＝
＝1，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即（
）2＝2r－1，解得r＝
.
答案：
相交弦定理与切割线定理的综合应用
[例3] 如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.
（1）求证：
∠P＝∠EDF；
（2）求证：
CE·EB＝EF·EP.
（3）若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．
[思路点拨] 本题主要考查相交弦定理与切割线定理的综合应用．解题时先证△CED∽△DEF，同时利用平行关系可证
（1）；然后证明△DEF∽△PEA，结合相交弦定理可证
（2）；最后由切割线定理可求PA.
[精解详析]
（1）证明：
∵DE2＝EF·EC，
∴DE∶EC＝EF∶ED.
∵∠DEF是公共角，∴△CED∽△DEF.
∴∠EDF＝∠C.
∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.
∴∠P＝∠EDF.
（2）证明：
∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，
∴△DEF∽△PEA.
∴DE∶PE＝EF∶EA，
即EF·EP＝DE·EA.
∵弦AD，BC相交于点E，
∴DE·EA＝CE·EB.
∴CE·EB＝EF·EP.
（3）∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，
∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.
∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.
解得EP＝
.
∴PB＝PE－BE＝
，PC＝PE＋EC＝
.
由切割线定理得PA2＝PB·PC.
∴PA2＝
×
.∴PA＝
.
解决与圆有关的线段问题多综合应用相交弦定理及切割线定理，同时注意相似三角形及平行过渡传递等量关系的应用．
3．如图，E是⊙O内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于点F，FC与圆交于点G.求证：
（1）△DFE∽△EFA；
（2）△EFG∽△CFE.
证明：
（1）∵EF∥CB，
∴∠DEF＝∠DCB.
∵∠DCB和∠DAB都是
上的圆周角，
∴∠DAB＝∠DCB＝∠DEF.
∵∠DFE＝∠EFA，∴△DFE∽△EFA.
（2）由
（1）知：
△DFE∽△EFA，∴
＝
.
即EF2＝FA·FD.
由割线定理得FA·FD＝FG·FC.
∴EF2＝FG·FC，
即
＝
.
又∵∠EFG＝∠CFE，∴△EFG∽△CFE.
本课时主要考查相交弦定理、切割线定理的应用．难度中档，是高考命题的热点内容．
[考题印证]
（新课标全国卷Ⅱ）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：
（1）BE＝EC；
（2）AD·DE＝2PB2.
[命题立意] 本题主要考查切割线定理、相交弦定理以及三角形的外切定理、弦切角定理、同弧所对的圆心角相等定理．
[自主尝试]
（1）连接AB，AC.
由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.
因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，
∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，
所以∠DAC＝∠BAD，从而
＝
.
因此BE＝EC.
（2）由切割线定理得PA2＝PB·PC.
因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.
由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，
所以AD·DE＝2PB2.
[对应学生用书P25]
一、选择题
1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为（ ）
A．4 B．5
C．8D．10
解析：
选B 设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x（x＋3）＝2×2，x＝1或x＝－4（不合题意，应舍去）．
则CD＝3＋1＋1＝5.
2.如图，点P是⊙O外一点，PAB为⊙O的一条割线，且PA＝AB，PO交⊙O于点C，若OC＝3，OP＝5，则AB的长为（ ）
A．
B．2
C．
D．
解析：
选B
设PA＝AB＝x，延长PO交圆于点D.
因为PA·PB＝PC·PD，OC＝3，OP＝5，所以PC＝2，PD＝8.
所以x·2x＝16，所以x＝2
.
3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则（ ）
A．CE·CB＝AD·DBB．CE·CB＝AD·AB
C．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2
解析：
选A 在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.
4．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是（ ）
A．AB>CE>CDB．AB＝CE>CD
C．AB>CD>CED．AB＝CD＝CE
解析：
选A 因为∠1＝60°，∠2＝65°，
所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°，
所以∠2>∠1>∠ABC，
所以AB>BC>AC，
因为CA，CD分别切圆O1于A，D两点，
CB，CE分别切圆O2于B，E两点，
所以AC＝CD，BC＝CE，
所以AB>CE>CD.
故选A.
二、填空题
5．如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝2
，AB＝3，则BD的长为．
解析：
由切割线定理得：
DB·DA＝DC2，即DB（DB＋BA）＝DC2，∴DB2＋3DB－28＝0，∴DB＝4.
答案：
4
6．如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知PA＝2
，PC＝4，圆心O到BC的距离为
，则圆O的半径为．
解析：
记圆O的半径为R.依题意得PA2＝PB·PC，PB＝
＝2，BC＝PC－PB＝2，
所以R＝
＝2.
答案：
2
7．如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A，若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝；CE＝.
解析：
由切割线定理得AB·AC＝AD·AE，即4×6＝3×（3＋DE），解得DE＝5；
易知
＝
＝
，
又∠A＝∠A，故△ABD∽△AEC，故∠BCE＝∠BDA＝90°，
＝
.
在直角三角形ABD中，BD＝
＝
，
∴CE＝
＝
＝2
.
答案：
5 2
8.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝
，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为．
解析：
设BE＝x，则FB＝2x，AF＝4x，由相交弦定理得DF·FC＝AF·FB，即2＝8x2，解得x＝
，AE＝
，再由切割线定理得CE2＝EB·EA＝
×
＝
，所以CE＝
.
答案：
三、解答题
9．如图，P为圆O外一点，PA，PB是圆O的两条切线，A，B为切点，OP与AB相交于点M，且点C是
上一点．
求证：
∠OPC＝∠OCM.
证明：
连接OB，由切线长定理，得PA＝PB，PM⊥AB，
PO平分∠APB.
又PB⊥OB，在Rt△OPB中，OB2＝OP·OM，
∵OB＝OC，∴OC2＝OP·OM，
即
＝
，∴△OCP∽△OMC，∴∠OPC＝∠OCM.
10.如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F.AD，BE相交于点G，连接BD.
（1）求BD的长．
（2）求∠ABE＋2∠D的度数．
（3）求
的值．
解：
（1）连接OC，
因为AB是小圆的切线，C是切点，所以OC⊥AB，
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