高中数学直线多边形圆 13 柱坐标系和球坐标系学案 北师大版选修41.docx

高中数学直线多边形圆 13 柱坐标系和球坐标系学案 北师大版选修41.docx

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高中数学直线多边形圆13柱坐标系和球坐标系学案北师大版选修41

§3　柱坐标系和球坐标系

1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法.（重点）

2.理解柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.（重点）

3.体会空间直角坐标、柱坐标、球坐标刻画点的位置的方法的区别.（易错易混点）

[基础·初探]

教材整理1　柱坐标系和球坐标系

1.柱坐标系

如图131，建立空间直角坐标系Oxyz.设M（x，y，z）为空间一点，并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为（r，θ），则这样的三个数r，θ，z构成的有序数组（r，θ，z）就叫作点M的柱坐标，这里规定r，θ，z的变化范围为0≤r＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z＜＋∞.

图131

特别地，

r＝常数，表示的是以z轴为轴的圆柱面；

θ＝常数，表示的是过z轴的半平面；

z＝常数，表示的是与xOy平面平行的平面.

2.球坐标系

设M（x，y，z）为空间一点，点M可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O到点M间的距离，φ为有向线段与z轴正方向所夹的角，θ为从z轴正半轴看，x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段的角，这里P为点M在xOy平面上的投影（如图132）.这样的三个数r，φ，θ构成的有序数组（r，φ，θ）叫作点M的球坐标，这里r，φ，θ的变化范围为0≤r<＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.

图132

特别地，

r＝常数，表示的是以原点为球心的球面；

φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面；

θ＝常数，表示的是过z轴的半平面.

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同.（　　）

（2）在柱坐标系M（r，θ，z）中，θ表示OM与y轴所成的角.（　　）

（3）球坐标中，r表示OM的长度.（　　）

【解析】　

（1）√　柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同.

（2）×　θ表示OM与x轴所成的角.

（3）√　球坐标中r表示OM的长度.

【答案】　

（1）√　

（2）×　（3）√

教材整理2　空间中点的坐标之间的变换公式

设空间一点M的直角坐标为（x，y，z），柱坐标为（r，θ，z），球坐标为（r，φ，θ），则

空间直角坐标

柱坐标系

球坐标系

（x，y，z）

填空：

（1）柱坐标的直角坐标是________.

（2）球坐标的直角坐标是________.

【解析】　

（1）x＝2cos＝1，y＝2sin＝，z＝1.

所以的直角坐标是（1，，1）.

（2）x＝4×sin×cos＝，

y＝4×sin×sin＝，

z＝4cos＝2.

∴的直角坐标是（，，2）.

【答案】　

（1）（1,，1）　

（2）（，，2）

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

把点的柱坐标化为直角坐标

　根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标.

（1）；

（2）.

【精彩点拨】　

【自主解答】　设点的直角坐标为（x，y，z）.

（1）∵（r，θ，z）＝，

∴

∴（－，1,3）为所求.

（2）∵（r，θ，z）＝，

∴

∴（1,1,5）为所求.

点（r，θ，z）是三维空间坐标系中的点的坐标，在平面xOy内实际为极坐标系，且r≥0,0≤θ＜2π，在竖直方向上，z为任意实数.化点的柱坐标（r，θ，z）为直角坐标（x，y，z），需要运用公式转化为三角函数的求值与运算即得.

[再练一题]

1.将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标.

（1）；

（2）（1，π，0）.

【解】　设点的直角坐标为（x，y，z），

（1）∵（r，θ，z）＝，

∴

∴（，1,1）为所求.

（2）∵（r，θ，z）＝（1，π，0），

∴

∴（－1,0,0）为所求.

把点的球坐标化为直角坐标

　把下列各点的球坐标化为直角坐标.

（1）；

（2）.

【精彩点拨】　

【自主解答】　设点的直角坐标为（x，y，z），

（1）∵（r，φ，θ）＝，

∴

∴（－1，－1，－）为所求.

（2）∵（r，φ，θ）＝，

∴

∴为所求.

首先要明确点的球坐标（r，φ，θ）中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ＜2π.

化点的球坐标（r，φ，θ）为直角坐标（x，y，z），需要运用公式转化为三角函数的求值与运算.

[再练一题]

2.将下列各点的球坐标分别化为直角坐标.

（1）；

（2）（3，π，π）.

【解】　设点的直角坐标为（x，y，z）.

（1）∵（r，φ，θ）＝，

∴

∴为所求.

（2）∵（r，φ，θ）＝（3，π，π），

∴

∴（0,0，－3）为所求.

[探究共研型]

化点的坐标为柱坐标或球坐标

探究1　空间中点的坐标有三种形式：

直角坐标、柱坐标和球坐标，它们各有何特点？

【提示】　设空间中点M的直角坐标为（x，y，z），柱坐标为（r，θ，z），球坐标为（r，φ，θ），它们都是有序数组，但意义不同.直角坐标为三个实数；柱坐标分别表示距离、角、实数；球坐标分别表示距离、角、角.

探究2　在空间的柱坐标系中，方程r＝r0（r0为不等于0的常数），θ＝θ0，z＝z0分别表示什么图形？

【提示】　在空间的柱坐标系中，方程r＝r0表示中心轴为z轴，底半径为r0的圆柱面，它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的.方程θ＝θ0表示与zOx坐标面成θ0角的半平面.方程z＝z0表示平行于xOy坐标面的平面，如图所示.

常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面.

　已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，如图133，建立空间直角坐标系Axyz，以Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标.

图133

【精彩点拨】　先求C1的直角坐标，再根据柱坐标、球坐标与直角坐标的关系，求得其柱坐标、球坐标.

【自主解答】　点C1的直角坐标为（1,1,1）.

设点C1的柱坐标为（r，θ，z），球坐标为（r，φ，θ），其中r≥0，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.

由公式及

得及

得及

结合图形，得θ＝，

由cosφ＝得tanφ＝.

所以点C1的直角坐标为（1,1,1），柱坐标为，球坐标为，

其中tanφ＝，0≤φ≤π.

化点M的直角坐标（x，y，z）为柱坐标（r，θ，z）或球坐标（r，φ，θ），需要对公式以及进行逆向变换，

得到以及

提醒：

在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值.

[再练一题]

3.已知点M的柱坐标为，求M关于原点O对称的点的柱坐标.

【解】　M的直角坐标为

∴M关于原点O的对称点的直角坐标为（－1，－1，－1）.（－1，－1，－1）的柱坐标为：

ρ2＝（－1）2＋（－1）2＝2，

∴ρ＝.

tanθ＝＝1，又x<0，y<0，

∴θ＝，

∴其柱坐标为，

∴M关于原点O对称点的柱坐标为.

[构建·体系]

1.要刻画绕地球运转的某气象卫星的位置，应适合运用（　　）

A.极坐标系　　B.空间直角坐标系

C.柱坐标系D.球坐标系

【解析】　由题意知D正确.

【答案】　D

2.已知点A的柱坐标为（1,0,1），则点A的直角坐标为（　　）

A.（1,1,0）B.（1,0,1）

C.（0,1,1）D.（1,1,1）

【解析】　由点A的柱坐标为（1,0,1）知，r＝1，θ＝0，z＝1，

故x＝rcosθ＝1，y＝rsinθ＝0，z＝1，所以直角坐标为（1,0,1）.

【答案】　B

3.已知点A的球坐标为，则点A的直角坐标为________.

【导学号：

12990015】

【解析】　∵x＝3×sin×cos＝0，y＝3×sin×sin＝3，z＝2×cos＝0，

∴直角坐标为（0,3,0）.

【答案】　（0,3,0）

4.设点M的直角坐标为（1，－，4），则它的柱坐标是________.

【解析】　r＝＝2，tanθ＝－，∵x>0，y<0，∴θ＝，∴柱坐标为.

【答案】　

5.已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，求这两个点的直角坐标.

【解】　设点P的直角坐标为（x，y，z），

则x＝cos＝×＝1，

y＝sin＝1，z＝5.

设点B的直角坐标为（x，y，z），

则x＝sincos＝××＝，

y＝sinsin＝××＝，

z＝cos＝×＝.

所以点P的直角坐标为（1,1,5），点B的直角坐标为.

我还有这些不足：

（1）　

（2）　

我的课下提升方案：

（1）　

（2）