高中数学第1章直线多边形圆111图形变化的不变性112平移旋转反射113相似与位似学案北师大版选修.docx

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高中数学第1章直线多边形圆111图形变化的不变性112平移旋转反射113相似与位似学案北师大版选修

1.1　图形变化的不变性

1.2　平移、旋转、反射

1.3　相似与位似

1.了解图形变化过程中的不变性.

2.理解平移、旋转、反射变换的概念，并会简单应用.

3.会综合应用相似与位似解决相关问题.

[基础·初探]

教材整理1　图形变化的不变性

图形在变化过程中，有些性质改变了，但有些性质仍然保持不变，这就是图形变化的不变性.

1.如图111

（1）所示的标志，有人把这个标志从上往下均匀压缩后变为如图111

（2）所示的标志，则压缩前后该标志没有发生变化的是（　　）

图

（1）　　　　　　　　　　图

（2）

图111

A.形状B.大小

C.位置D.三条线段相交

【解析】　把标志压缩后，形状、大小、位置明显改变了，三条线段相交没有发生变化.

【答案】　D

教材整理2　平移、旋转、反射

名称

定义

图形示例

平移变换

图形的平移过程称为平移变换

旋转变换

图形的旋转过程称为旋转变换

反射变换

一个图形F绕一条直线l翻转180°得到另一个图形F′，则F与F′关于l对称，这种图形的变化过程称为反射变换，直线l称为反射轴

一个图形通过平移变换、旋转变换、反射变换变为另外一个图形，其对应线段的长度不变，对应角的大小不变，因此，变换前后两个图形是全等的，但图形的位置可能发生改变.

2.在平移变换、旋转变换、反射变换中，可能发生改变的是图形的（　　）

A.形状B.对应线段的长度

C.对应角的大小D.位置

【解析】　根据平移、旋转、反射的特点可知图形的形状、对应线段的长度、对应角的大小不变，发生改变的是位置.

【答案】　D

3.如图112形中，是由图仅通过平移得到的是（　　）

【解析】　由平移的规律知，仅通过平移可得到C.

【答案】　C

教材整理3　相似与位似

（1）相似变换：

把一个图形按一定比例放大或缩小，这种图形的变化过程称为相似变换.

一个图形通过相似变换变为另外一个图形，其对应角的大小不变，但对应线段的长度和图形的位置发生了改变.

（2）位似变换：

把一个图形变为它的位似图形，这种图形的变化过程称为位似变换.

一个图形通过位似变换变为另外一个图形，其形状不变，对应角的大小不变，但图形的位置发生了改变.

位似变换是一种特殊的相似变换.

4.相似变换中图形的（　　）

A.对应角的大小不变

B.对应线段长度不变

C.形状不同

D.对应点的连线（或延长线）相交于一点

【解析】　根据相似的特点，对应角的大小不变，对应线段长度会发生改变.图形的形状不变，因图形的位置发生改变，对应点的连线（或延长线）平行或相交于一点.

【答案】　A

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

[小组合作型]

平移

　如图113是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，在图中作出将五角星ABCDE向东北方向平移3

个单位的图形.

【导学号：

96990000】

图113

【精彩点拨】　小正方形对角线的长是

，3

就是3×3的正方形对角线的长.先作出A，B，C，D，E平移后的对应点，按原图形的方式连接即可.

【自主解答】　将A，B，C，D，E五点向东北方向分别平移3

（上移3格，右移3格）得A′，B′，C′，D′，E′五点，连接五点即得所求图形.如图所示.

1.解答本题时应注意平移的方向与平移的距离.

2.平移作图的一般步骤：

（1）在原图中找出关键点；

（2）确定平移的方向和平移的距离；

（3）根据平移的性质作出关键点的对应点；

（4）按原图的连接顺序连接作出的点，并标上相应字母.

3.平移作图必须确定准方向和距离，两者缺一不可.

[再练一题]

1.如图114所示，将图①中的图形N平移后的位置如图②所示，那么下面平移中正确的是（　　）

图114

A.先向下移动1个单位，再向左移动1个单位

B.先向下移动1个单位，再向左移动2个单位

C.先向下移动2个单位，再向左移动1个单位

D.先向下移动2个单位，再向左移动2个单位

【解析】　由平移的规律知选C.

【答案】　C

相似与位似变换的应用

　已知一个三角形的三边长分别为3cm，4cm,5cm，和它相似的另一个三角形的最长边为12cm，求另一个三角形内切圆和外接圆的面积.

【精彩点拨】　确定三角形的相似比及圆的半径即可求圆的面积.

【自主解答】　设边长为3cm,4cm,5cm的三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，因为该三角形为直角三角形，

故

（3＋4＋5）r＝

×3×4，

∴r＝1，R＝

，

∴S内切圆＝π，S外接圆＝π·

2＝

π.

又∵两三角形的相似比为

，

∴S′内切圆＝

2S内切圆＝

π，

S′外接圆＝

2S外接圆＝36π.

1.解答本题时，用到直角三角形内切圆和外接圆半径的求法.求内切圆半径，可利用

（a＋b＋c）r内＝

ab，得r内＝

，R外＝

，（其中a，b，c是直角三角形三边长，c是斜边长）

2.位似图形与相似图形的关系：

位似图形是特殊的相似图形；两个图形是位似图形，那么这两个图形也必定是相似图形；两个相似图形却不一定是位似图形.

3.性质：

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.

[再练一题]

2.某同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图115所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5m，幻灯片上小树的高度是10cm，则屏幕上小树的高度是（　　）

图115

A.50cmB.500cm

C.60cmD.600cm

【解析】　设屏幕上小树的高度为xcm，则

＝

，解得x＝60（cm）.

【答案】　C

旋转与反射

　将一副三角板按如图116图①位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合.已知AB＝AC＝8cm，将△MED绕点A（M）逆时针旋转60°后（如图116②，此时MD与BC相交），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是________cm2.（结果精确到0.1，

≈1.73）

图116

【精彩点拨】　旋转后阴影部分中AC＝8cm，∠DAC＝60°，只需求出AN，则阴影面积可求.

【自主解答】　设AD交BC于N点，在△ACN中，

∵∠DAC＝60°，∠ACN＝45°，

∠ANC＝75°，

由正弦定理得

＝

，

∴AN＝

·AC＝

＝8（

－1），

∴S△NAC＝

×AC×AN×sin60°

＝

×8×8（

－1）×

≈20.3（cm2）.

答：

阴影部分面积约为20.3cm2.

解答旋转问题时应注意以下几点：

（1）旋转的性质：

①图形中每一点都绕旋转中心沿相同的方向旋转了相同的角度，即所有的旋转角都相等；②对应点到旋转中心的距离相等；③对应线段相等，对应角相等.

（2）图形的旋转不改变图形的大小和形状，旋转是由旋转中心、旋转角和旋转方向共同决定的，旋转中心可在图形上，也可不在图形上.

（3）图形的旋转可能改变图形的位置，也可能不改变图形的位置（当图形旋转360°时，图形的位置没有改变）

[再练一题]

3.如图117所示是某设计师在方格纸中设计的图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：

图117

（1）作出关于直线AB的轴对称图形；

（2）将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转90°.

【导学号：

96990001】

【解】　由对称变换和旋转变换可得如下图所示图形.

[探究共研型]

平移、旋转、反射的特征

探究1　平移、旋转、反射有什么区别和联系？

【提示】　

（1）平移、旋转、反射的不同点：

①平移、旋转、反射的含义不同：

平移是将一个图形沿某个方向移动一定的距离；旋转是将一个图形绕一个点沿某个方向转动一定的角度；反射是将某个图形沿某一条直线翻转180°；②平移、旋转、反射的性质不同：

平移的对应线段平行（或在一条直线上）且相等；旋转的对应线段一般只是相等；对应点与旋转中心连线所形成的旋转角相等，反射的对应线段相等，对应点的连线被反射轴垂直平分.

（2）平移、旋转、反射的相同点：

平移、旋转、反射都不改变图形的形状和大小，对应线段相等，对应角相等.

利用位似变换作图

探究2　如何用位似变换作图？

【提示】　

（1）图形放大或缩小的依据是位似图形的性质.放大或缩小的倍数是对应的位似比.

（2）将一个图形放大或缩小的步骤：

①确定位似中心，位似中心的位置可任意选择；②确定原图形的关键点；③确定位似比，即原图形与所作新图形的相似比；④利用位似图形的性质分别作出原图形中各关键点的对应点；⑤按原图连接顺序连接作出的新关键点.（3）符合要求的图形不唯一，其原因：

一是与位似中心选择的位置有关，二是同一个位似中心两侧各有一个符合要求的图形.

　已知△ABC，在△ABC内，求作一正方形GDEF，使DE在BC上，G，F分别在AB，AC上.

【精彩点拨】　假设所求作正方形GDEF，两顶点D、E在△ABC的边BC上，G、F分别在AB、AC上.先放弃F在AC上的要求，而保留其他要求，则可得到以B为位似中心的正方形GDEF的位似图形G′D′E′F′，并且FF′过点B.由此可得作图方法.

【自主解答】　

（1）作正方形G′D′E′F′，使G′在BA上，D′，E′在BC上；

（2）连接BF′并延长交AC于F；

（3）作EF⊥BC于E，

作FG∥CB交AB于G；

（4）作GD⊥BC于D.

∴正方形GDEF即为所求作正方形.

[再练一题]

4.如图118，已知∠AOB，E为∠AOB内一定点.求作：

⊙C，使⊙C经过E点，且与∠AOB两边都相切.

图118

【解】　

（1）作∠AOB的平分线OD；

（2）在OD上任取一点C′，作⊙C′使之与两边OA、OB相切；

（3）连接OE，交⊙C′于点E′；

（4）连接E′C′；

（5）过E作EC∥E′C′交OD于C；

（6）作⊙C（以CE为半径）.

∴⊙C就是所求作的圆.

[构建·体系]

1.方程y＝x2和y＝－x2表示的图形的反射轴是（　　）

A.x轴B.y轴

C.直线y＝xD.直线y＝－x

【解析】　画出抛物线y＝x2及y＝－x2知，两个图形关于x轴对称.

【答案】　A

2.下列说法正确的是（　　）

A.平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小

B.平移和旋转的共同点是改变图形的位置

C.图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离

D.在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行

【解析】　由平移和旋转的规律知选B.

【答案】　B

3.如图119所示，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是（　　）

图119

A.2DE＝3MN

B.3DE＝2MN

C.3∠A＝2∠F

D.2∠A＝3∠F

【解析】　由位似变换的规律知，3DE＝2MN.

【答案】　B

4.如图1110所示，把三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠BAC的度数是________.

图1110

【解析】　由题意知，∠A′CD＝35°，则∠DA′C＝90°－35°＝55°，

∴∠BAC＝∠DA′C＝55°.

【答案】　55°

5.如图1111所示，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，现将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求

（1）点P与P′之间的距离；

（2）∠APB的度数.

图1111

【解】　

（1）由题意知AC与AB重合，则旋转角为60°，又∵AP＝AP′，

∴△APP′是正三角形，∴PP′＝AP＝6.

（2）在△BPP′中，P′P＝6，PB＝8，P′B＝PC＝10，

∴P′P2＋PB2＝P′B2，

∴∠P′PB＝90°，

∴∠APB＝∠APP′＋∠P′PB

＝60°＋90°＝150°.

我还有这些不足：

（1）

（2）

我的课下提升方案：

（1）

（2）