运动平台相对于固定平台的位姿可以用坐标系｛O'｝与坐标系｛0｝之间的旋转变换R以及两坐标系之间的q二而5来表示，当给定运动平台的位置和姿态后，各个连杆向量可以表示为
（1-4）
li=AiBi=RPi+g—ch,i=1,2...6
各杆长用乙（1=1.2...6）表示，则有
Li=RR+q—ai・i=12...6（1-5）
但是杆的长度变化是有限的，这里用厶mm和厶来表示第i杆的最小和最大值,则杆长的约束可以用下式表示：
Lmin5li5Lmax（1~6）
当某一杆长达到其极限时，运动平台的给定的参考点也就达到了工作空间的边界。
1.2运动副转角的限制
运动副转角的大小反映了机器人人工智能的伸展性。
并联机器人的上下平台与各分支杆相连的关节是球面副，而下平台与各分支杆相连的关节是万向绞，球面副和万向绞的转角围实际上是有限制的，球面副的转角0是与球面副的基座固结的坐标系的Z轴和表示与球面副连接的向量u来决定的，可以想到，球面副与万向绞的最大转角Omax与运动副的具体结构有关。
若第i个球面副的基座在坐标系｛O'｝中的姿态用向量加来表示，则球面副的转角约束条件可用下式表示:
同样，万向绞的转角可以用下式表示:
（1-8）
式中：
R表示万向绞相对于固定坐标系｛0｝的姿态；和仇"分别是球钱和万向绞的最大转角。
若各关节相对于平台的姿态向量为山，这里hi是当杆长为0.5（Lnun+Lmax）,且上下平台的坐标互相平行时第i杆的向量，据有关结果表明，这种安装方法能有效扩大关节的转动围，这时上下平台上各关节的转角分别是⑴：
hRIni
MP11
1.3连杆的干涉
连杆之间的干涉反映了人工智能机器人容错率的大小。
因为连接上下平台的连杆是有一定的尺寸大小的，因此，各杆之间有可能发生干涉。
为了讨论方便,这里假设各杆都是圆形的，直径为D,若D（1=1.2...6）为两相邻杆中心线之间的最短距离，那么两杆不发生干涉的条件为⑴：
Di>D（1-11）
若用川表示相邻两杆厶与厶+1之间的公法线向量，
（1-12）
并且用、•表示两向量厶和厶I之间的最短距离，如图1・2所示,
（1-13）
这里需要强调的是，连杆之间的最短距离D不一定等于两杆向量之间的最短距离、，这两者之间的关系取决于连杆向量与他们的公法线之间的交点G和C+i的位置，其点G的坐标◎可以用下式计算：
式中，Ag,表示8在坐标系｛0｝中的坐标，m则可以由下式定义,
（1-15）
同理可计算ci,根据交点G和G+i的位置可以有下列3种不同情况:
第一种情况，两交点都在连杆上，如图1.2（a）所示。
这时候有'若
D4则发生连杆干涉。
第二种情况，其中的一个交点不在连杆上，如图1.2（b）和（c）所示。
这时。
可以根据交点的位置来计算，若交点G超过关节8,但C+i是在连杆i+1上，如图1.2（b）所示，则D为必，到连杆i+1的距离。
（b）
Ai+1
Ai+1
（c）
Ai
图1.2连杆干涉的3种情况
若交点C+超过8•十
|,但G是在第i连杆上，如图1.2（c）所示，则D为3,
到连杆i的距离，
厂必
（1-17）
第三种情况，两个交点都不在连杆上，如图1.2（d-f）所示。
则这时的D取决于M和M+i的位置，必是厶和通过8+1且垂直于厶的直线的交点，而M+i是厶•+】和通过必且垂直于厶+i的直线的交点，这时有下列三种可能性：
1若M+i在连杆8+iA+i上，且必是在连杆之外，如图1.2（e）所示,则D可以由式（1-16）确定。
2若M在3⑷上，且M+i是在连杆B+4+i之外，如图1.2（f）所示，则D可以由式（1-17）确定。
3若M和M+i都在连杆的外边，如图1.2（f）所示，则D为5和8+1之间的距离。
1.4工作空间的确定方法
人工智能技术是一种信息技术，能够极快地传递。
我们必须保持髙度警惕，防止人工智能技术被用于反对人类和危害社会的犯罪，这里，可以通过控制工作空间的大小来控制它们的威胁。
前文提到，机器人的工作空间是操作器上某一点给定参考点所有可以达到的点的集合，这里参考点选择上平台的中心点，即坐标系｛O'｝的原点。
当给定上平台的位姿后，各连杆的长度乙、关节的转角弘和弘
以及相邻两杆之间的距离。
都可以用上面提到的方法计算，然后将这些计算结果分别与相应的允许值厶max、Lnun.@max、6U和和D比较，若其中任意一个值超出了允许值，则此时的位姿是不可能的，即参考点在工作空间之外。
若其中某一值等于允许值，则此时操作器的参考点位于工作空间的边界上。
若所有参数值都小于允许值，则位于工作空问。
工作空间常用体积V的数值来表示。
具体的工作空间边界的确定和体积的计算可以按照下列方法：
1将操作器有可能达到的某一空间定为搜索空间，将该空间用平行于XY面的平面分割成厚度为AZ的微分子空间，并假设这个子空间是以高度为AZ的圆柱，如图1.3所示。
2
对于每一个微小子空间，按照上面给出的约束条件，搜索其对应于给定姿态的边界，这一步骤应从Z=Z开始，若Zmin是对应于约束条件的工作空间在Z轴方向的最低点，则Z0应该要比Zmin要小，如图1.3所示。
在完成某一子空间的搜索后，再分析Z方向增量为AZ的子空间，直到Z=Zmax为止，这里的Zn疵是指约束条件允许的工作空问的最高点。
工作空间的截面可能是单域的，如图1.3中的虛线1表示的与XY平面平行的平面与工作空间的截面；也可能是多域的，如图中的虚线2表示的与XY平面平行的平面与工作平面的截面。
3在进行子空间边界的确定时，可采用快速极坐标搜索法，如图1.3所示，采用极坐标表示工作空间的点。
起始时极角为加，给定极径。
进行边界搜索。
当关节的最大转角和相邻杆的最短距离等参数满足式（1-18）的约束条件之一时,
（1-18）
这时的坐标点就是工作空间的第一个边界点A,如图1・4所示。
然后给极角了一
个增量厶了后，在得到极坐标为（p）,/+A/）的点A2。
如果T点在工作空间的外边,如图1.4所示门点，则可以递减极径直至满足（1-18）的条件之一，即可得到工作空间的边界点如。
重复上述的步骤，直至找到所有空间的边界点，这样该微分工作空间的体积可用下式计算⑴：
匕=丄工"△处Z（1-19）
2j
4
图1.4多域工作空间截而
如要求的工作空间的截面是多域的，如图1.5所示，这时对于工作空间的每一条边界都要采用上一个步骤的搜索方法，搜索的最大极径Qnwc要足够大。
这时工作空间的体积可采用下列公式：
图1.5工作空间的边界搜索方法
W=占工（Q<+p/22-p）32上沁
2j
（1-20）
工作空间的体积V就是上述各微分空间的体积的总和，v=
第2章圆弧相交法的求解
2.1圆弧相交法简介
所谓圆弧相交法，就是通过几何方法得到6自由度并联机器人的工作空间的一部分。
但是整个工作空间镶嵌在一个六维的空间⑵，很难清楚地被表达出来。
这里工作空间的确定是通过定位的方法，三维笛卡尔空间的区域可以通过机器人所给定的上平台的位姿得到。
六维空间里的三维空间的机器人的工作空间部分都可以通过下面所介绍的方法得到。
首先，我们先通过机器人的运动学反解方法来得到组成工作空间的交截面，然后再通过几何算法算出这些交截面的面积，最后通过积分的方法来求出整个工作空间的体积。
2.2圆弧相交法的过程
2.2.1运动学反解
运动学反解的目的是定义以下过程所要用到的记号。
同样，固定坐标系记为
（0）,运动坐标系记为{O'},0'是上平台的中心。
向量c（i二1.2...6）为定平台各点相对于0点的位置向量，而伤为动平台各点相对于0'点的位置向量。
Q为0,相对于（）的旋转矩阵，将向量00'记为［几=［心尹,zj,则有⑵
［麻=［几+。
［切宀=12..6（2-1）
将上式左右减去G则可得到：
［bi—ai］^=［凡+创凡‘-［%i=1.2...6（2-2）
两边求数可得：
P=10-応II=II［凡+-KLlI，i=12.6（2-3）
上式将坐标带入可得：
pi=（xr—lli+（）»-V/）'+（zr-,/=1.2...6（2—4）
其中：
th=Xai—q\\Xbi—q\iybi—q\3Zbi.i=1.2...6（2一5）
w=ym_quxbi_quybi_qua）=1.2...6（2~6）
Wj=Zai—q3\Xbi—Q32yhi—Q33ZW」=1・2・・6（2一7）
2.2.2工作空间的几何描述
解决逆运动学问题可以大概描述机器人的工作空间，这里忽略了杆间干涉问
题，每一个执行器的极限位置构成了工作空间的边界。
假如各杆件的极限长度为
Qnwc和Qmin,则有:
（2-8）
pminV°VQmax,/=1・2・・6
在边界处有:
写成球的形式即为:
（A>—F+（yr—V/）+（7—Wf）=p-min（/?
"max）（2一10）
对于一个给定的变换矩阵Q,山、山、拠均为定值，则式（2-10）表示两个同心
球，这表示对于给定的圆心Cr（W/；Vr.Wi）可表示为：
（2-11）
pm%]7=[g]r—Q[bi]R^i=12・・6
由（2-10）所描述的工作空间考虑到了动平台的几何问题，换言之，同心球描述
了0’的运动轨迹，这里A•不变，在最大杆长与最小杆长之间于定平台上转动。
所以，即为杆长向量也即球
心位置，如图2.1所示。
因此，对于一个给定动平台位姿的机器人，在三维笛卡尔坐标下的工作空间可以通过六对同心球的交叉的公共区域来表示。
各个球球心的的位置取决于机器人的运动参数以及给定动平台的位置。
工作空间的每个部分都是由每个
到一个交叉平面。
例如用一个平行于xoy面的平面去截，定义z=za,则式（2-10）可以写为：
{xr—U^y+（y「—W）=），其中:
（2-12）
min（QmuxHD—汗min（QmaxH”—Wi>0
0,其他
同心圆的半径分别由和Rmin.iRmax,/给定。
相似的，对于平行于XOZ或yOZ
面也有相似的结论。
2.2.3工作空间的计算算法
这六个同心圆区域可通过几何方法得到，下面分三步得到每一段圆弧与原点相连得到的区域的面积。
第一步是找到这12个圆的所有交点，每个圆与其他圆的交点数为0、1或2；第二步是由上一步得到若干条圆弧；第三步是去掉那些
不在12个圆的公共区域的圆弧。
圆弧与原点相连得到的区域的面积由下式给出:
A=-[s^nddQ⑶（2-13）
2血
其中，A为平面区域的面积
6G为平面区域的边界
s是平面区域任意一点的位置向量
n区域的点指向有效区域的矢量
下表2.1给岀了该机器人的几何参数：
表2.1机器人的几何参数（価）
■
1
1
2
3
4
5
6
Xai
92.58
132.58
40.00
-40.00
-132.58
-92.58
yai
99.64
30.36
-130.00
-130.00
30.36
99.64
Zai
23.10
23.10
23.10
23.10
23.10
23.10
Xbi
30.00
78.22
4&22
-48.22
-7&22
-30.00
矜
73.00
-10.52
-62.48
-62.48
-10.52
73.00
Zhi
-37.10
-37.10
-37.10
-37.10
-37.10
-37.10
Simin
454.5
454.5
454.5
454.5
454.5
454.5
Simax
504.5
504.5
504.5
504.5
504.5
504.5
图2.2给岀了圆弧的几何位置关系图⑷。
得到所有的有效圆弧之后，即可由式（2-13）算出相应的各部分面积，再通过
进一步积分（切片法）⑸可得到工作空间的体积。
图2.2圆弧位置关系图
比较及结论
人工智能的发展极推动了机器人学的进步，特别是一些前沿的算法对机器人工作空间的求解越来越高效。
此文比较了两种算法在求解机器人工作空间的运用。
使用元素限制法求解工作空间计算过程显得相对繁琐，但是得到的工作空间更加精确。
圆弧相交法计算过程简单，但是容易理解，由于忽略了杆间干涉所以得到的工作空间不及元素限制法精确，但是得到的结果更加直观。
参考文献
[1]黄真，铁石.高等空间结构学.：
高等教育,2014.
[2]C・Gosselin.DeterminationoftheWorkspaceof6-DOFParallelmanipulators・
[3]Masory0,WangJ.Ontheaccuracyofastewartplatform-partHkinematiccalibrationandcompensation.Proc・IEEEConf,onRob・1993,Aut・,725一731.
[4]MacCallion,H.,andPham,D.T.,1979,"TheAnalysisofaSixDegreeofFreedomWorkStationforMechanisedAssembly,°Proceedingsofthe5thWorldCongressonTheoryofMachinesandMechanisms,July,Montrea1.
[5]黄田，汪劲松，WhitchouseDJ等.并联机器人位置空间分析.中国科学（E辑），
1998,28
（2）:
136-145.
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