系泊系统的设计和探究.docx

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系泊系统的设计和探究

2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

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2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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系泊系统的设计和探究

摘要

本文利用牛顿力学定律，力矩平衡原理、非线性规划、循环遍历法等方法对系泊系统进行了设计与探究。

通过对系泊系统各组件和浮标运用牛顿经典力学体系进行分析，得到了各个情况下的钢桶倾斜角度、锚链状态、浮标吃水深度和游

动区域。

第一问是求解在风速为12m/s和24m/s时，浮标的吃水深度和游动区域、钢桶以及钢管的倾斜角度和锚链形态。

对于此，首先，我们对浮标、钢管、钢桶、

链环进行了基于静力平衡的力学分析，并得到了一系列的方程组；接着，由于钢

管、钢桶、链环还满足力矩平衡状态，故得到系泊系统平衡时的刚体力学方程组；然后，根据系泊系统各组成部件的倾斜角度可以得出其在竖直方向的投影，且它

们的投影之和与海水深度存在几何约束。

最后，以这个几何约束条件为前提，运

用MATLAB中的循环遍历法对该复杂的非线性方程组进行求解，得到在风速为12m/s时，1至4号钢管的倾斜角度依次为1.1459，1.1516，1.1573,1.1688，钢桶的倾斜角度为1.1860，浮标的吃水深度为0.6870m,浮标的游动区域以锚为圆心，12.5362m为半径的范围圆。

锚链形状为拖地状态，拖地长度6.7m。

当风

速为24m/s时，从上至下各钢管的倾斜角度为4.408，4.437，4.465，1.1688，钢桶的倾斜角度为4.566，浮标的吃水深度为0.6974m,游动范围为以锚在海平面度的投影为圆心，半径为17.8592m的圆。

对于第二问，求解当海面风速为36m/s时，浮标的吃水深度和游动区域、钢桶以及钢管的倾斜角度和锚链形态。

利用第一问中的力学方程和程序，求得钢桶的倾角为19.5951和四节钢管的倾斜角度依次为19.756、19.755、19.916、20.076。

浮标的游动区域为以锚在海面上的投影为圆心，半径为18.8828m的圆。

由于部分数据与问题二中钢桶的倾斜角度不超过5，锚链在锚点与海床的夹角

不超过16的要求不符，所以通过调节重物球的质量使钢桶的倾斜角度和锚链在锚点与海床的夹角处在要求的范围之内。

借助MATLA程序中的循环遍历法，可

以求得重物球的质量3770kg。

对于问题三，在设计系泊系统时，必须要使其能在最恶劣的情况下也能使用，故这里只讨论风速为36m/s，海水速度为1.5m/s时的系泊系统各构件的状态。

假设在问题二的情况下，重物球质量为3770kg，海水深度分别为16m和20m的

情况下，浮标的吃水深度和游动区域、钢桶以及钢管的倾斜角度和锚链形态。

以

钢桶倾斜角度和浮标游动范围为评价指标，运用TOPSIS的方法得出在海水深度

为16m，在风速为36m/s，水流速度为1.5m/s时，五种锚链的钢桶倾斜角都为3.8291，比较浮标浮动范围得到，V号锚链浮动半径最小为18.9175m。

在海水深度

为20m,其他条件不变时，得出钢桶倾斜角度和浮标游动范围数据不易直接比较，故在此采用TOPSIS方法进行比较，得到五种锚链与最有方案的接近程度大小关系：

IV>III>II>I>V，因此可以得出在海水深度为20m时IV号锚链最为合适。

关键词：

牛顿第二定律力矩平衡原理非线性规划循环遍历法

—、问题重述

近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图一所示）。

某型传输节点的浮标系统可简化为低面直径2m高2m的圆柱体，浮

标的质量为1000kg。

系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。

锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，常用型号及其参数已在附表中列出。

钢管共4节，每节长度1m直径为50mm每节钢管的质量为10kg<水声通讯系统安装在一个长1m外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。

钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链第1节。

现由题可知，如果要使该系统正常工作，那么就要使锚链末端和锚链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位；若钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度，则设备的工作效果较差。

因此为了控制钢桶的倾斜角度，可在钢桶与电焊锚链连接处悬挂重物球。

图1传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例）

系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。

附表锚链型号和参数表

型号

长度（mm）

单位长度的质量

（kg/m）

I

78

3.2

II

105

7

III

120

12.5

IV

150

19.5

V

180

28.12

表注：

长度是指每节链环的长度。

问题1某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m,选用的重物球的质量为

1200kg。

现将该节点布放在水深为18m海水密度为1.025103kg/m3的海床平坦的海域。

请计算当海面风速分别为12m/s和24m/s且海水静止时，钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

问题2请在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。

并试调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。

问题3而由于潮汐等因素的影响，布放海域的水深实际介于16m~20r之间。

布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。

请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

二、问题分析

本题是以系泊系统设计为背景的力学分析问题。

2.1问题一分析

首先，建立以锚为原点，其余各部件都在第一象限的平面直角坐标系。

然后，根据牛顿经典力学理论，对浮标、钢管和钢桶分别进行受力分析，可得出三个方程组。

接着，由于钢桶与钢管之间存在着力矩平衡，因此可以得出钢

桶、钢管之间的关系方程；对于锚链，可对其每一个小段进行受力分析，得出其有关方程式；因为系泊系统各组成部分在竖直方向上的投影之和为海平面与海床之间的距离，即18米，为有效限定条件，所以可列出浮标、钢管、钢桶、锚链在竖直方向上投影之和与18米之间的关系方程式。

最后，使用迭代算法在MATLAB^件上对所有方程进行求解；分别求出风速在12m/s和24m/s时时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

2.2问题二分析

根据问题一中的求解思路，将风速值36m/s代入，求解出数值，再与题目中的条件钢桶的倾斜角小于等于5度，锚在锚点与海床的夹角小于等于16度进行对比，判断其是否合理。

如不合理，运用循环遍历法，逐渐增加重物球的质量，直至得到一个合理的质量。

2.3问题三分析

由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20n之间。

布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。

请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

三、模型假设

1、海平面与海底平面水平。

2、浮标始终海平面保持垂直状态。

3、在一定时间内，风速和风向恒定。

4、风向为水平风向。

5、该地区重力加速度为9.8m/s2。

&假设重力球、锚链、钢管为同一种材料，均为密度为7.9103kg/m3的钢。

7、锚所受浮力忽略不计。

四、符号说明

符号

单位

符号意义

F风

N

浮标所受风力

F浮标

N

浮标所受浮力

G标

N

浮标的重力

h

m

浮标吃水深度

F管

N

钢管所受浮力

G管

N

钢管的重力

T管i

N

钢管所受拉力（i=1，2,3,4，5）

度

钢管拉力与竖直线夹角（i=1，2，3，4，5）

片

度

钢管倾斜角度（j=1,2,3,4）

L

g

m

钢管长度

Ft

N

钢桶所受浮力

Gt

N

钢桶的重力

Tt

N

钢桶所受拉力

e

度

钢桶倾斜角度

Lt

m

钢桶长度

F链

N

链环所受浮力

⑨连

N

链环的重力

T链i

N

链环所受拉力（i=1,2,3…….211）

半

i

度

链环拉力与竖直线夹角

V

i

度

链环倾斜角度（i=1,2,3…….210）

G锚

N

锚的重力

T锚

N

锚所受拉力

Ff

N

锚所受摩擦力

Fn

N

锚的支持力

Gq

N

重物球的重力

R

m

浮标的游动半径

五、模型的建立与求解

5.1问题一的模型建立与求解

5.1.1模型一的建立

已知重力球的质量1200kg,海水深度18米，海水密度1.025xi03kg/m3。

求当海面风速分别为12m/s和24m/s且海水静止时，钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

我们可以在系统处于风力恒定的平衡状态下，对系泊系统进行局部受力分析。

（1）对浮标进行受力分析

化简得:

（6）

（2）对钢管进行受力分析

F管为钢管所受浮力，G管为钢管自身重力，T管i表示第i-1个钢管对第i个钢管的拉力，冷表示第i-1个钢管对第i个钢管的拉力与其浮力所成的夹角。

其中，i表示第i个钢管，i=1，2，3,4，5。

图3表示的为第一个钢管的受力分析图，由题知，四个钢管材质大小都相同，因此，所受浮力和自身重力也相同。

其中，当i=1时，T管i表示浮标对第一个钢管的拉力，T管2表示第一个钢管对第二个钢管的拉力，表示浮标对第一个钢

管的拉力与其浮力所成的夹角，：

2表示第一个钢管对第二个钢管的拉力与其浮力所成的夹角。

由图可知，第一根钢管在竖直方向上受到竖直向上的浮力和竖直向下的重

力，浮标对其有一个斜向上的拉力，第二根钢管对其有一个斜向下的拉力。

根据

受力分析平衡列出力学方程组。

竖直方向：

F管+T管isin_：

»二G管T管i+1cos：

i+1

（7）

水平方向：

丁管］cos：

i=丁管问sin:

i+1

（8）

化简得：

Si+1二arctan〔〔T管isin:

打］：

〔T管icos：

、F管—G管

（9）

T管j+1二T管isin:

sin：

、+1

（10）

（3）对钢管倾斜角度进行分析

因为钢管存在固定的转轴，所以由力矩平衡可画出下列图4的受力分析

图。

其中-j表示第j个钢管的倾斜角度，j=1，2,3,4。

图4钢管倾斜角度示意图

图4为钢管倾斜角度示意图，［（j=1,2,3,4）表示第j个钢管的倾斜角度，根据力矩平衡原理列出力学方程组。

1LT管idsin（:

“一^）L（G管-F管）si（11）

2

1

LT管isin（:

jT.-j）L2管「F管）sin1j（12）

化简得：

（13）

["「etan2T孔心卫

2T|cos：

i

（4）钢桶进行受力分析

Ft为钢桶所受浮力，T管5为第四根钢管对钢桶的拉力，T链1为第一根锚链对

钢桶的拉力，Gt为钢桶自身重力，Gq为重物球的重力。

：

-5为T管5与Ft所成夹

角，5为T链1与Gt所成夹角。

图5钢桶受力分析图

通过图5对钢桶进行受力分析得：

T管5cos：

5Ft=丁链1cos冷Gt（14）

T管5sin二5=丁链1sin\（15）

化简得：

1=arctanMT管5sin二5〕：

〔T管5cos二5Ft-Gt-Gq门（16）

T链1=Tt5sin：

<■sin1（17）

（5）对钢桶倾斜角度进行分析

因为钢桶存也在固定的转轴，所以由力矩平衡可画出下列图6的受力分

析图。

其中二表示钢桶的倾斜角度。

图6钢桶力矩平衡分析示意图

由于钢桶还符合刚体的力矩平衡，可以列出以下方程：

1

LtT管5sin（花：

5）=Lt（Gt-Ft）sin^

tG连

图6链环受力分析图

图6为链环受力分析图，通过对链环进行受力分析得：

（22）

T链icos「■卩链=T链i+1cos'i+iG链（21）

T链isin:

i二T链i+isin帚

化简得

（24）

i+i=arctanT链isin[“T链icos

（7）对链环倾斜角度进行分析

由于链环符合刚体的力矩平衡,

可以列出以下方程,

其中

i表示第

个钢管的倾斜角度，i=1，2,3,

:

-1

2

-..210.

LiT链isin（1-

Li（G链-F链）

cosi

（25）

T链i1sin（i-1+1）=

1L

i（G链i-F链i）

cosi

（26）

T链i+i二T链isin;isin帚

化简得:

图7链环力矩平衡分析

5.1.2模型一的求解

1.风速为12m/s

（1）计算各节钢管和钢管的倾斜角度。

用牛顿经典力学理论对整个系统进行力学分析，可以得到海底平面对锚的摩擦力Ff，浮标所受浮力F浮（F浮=「gV,V二二R2h）和浮标吃水深度h的值

（浮标所受浮力F浮和浮标吃水深度h的值上面已求出）。

将锚链、锚和重物球看做一个整体用牛顿经典力学理论对其进行力学分析，可得钢桶所受锚链拉力，根据力矩平衡可得钢桶与水平线夹角：

'5；同理，根据牛顿经典力学理论，依次对钢管1,2,3,4进行力学分析，可求出：

j，：

'2，〉3，：

'4。

1）以H为几何约束条件，运用MATLAB^的循环遍历法对以钢管的受力分析

的方程组（9）（10）以及力矩平衡方程（13）进行求解，得到在风速为12m/s

时，钢管的倾斜角度见表2。

表2

第一个钢管的倾斜角度

1.1459°

第二个钢管的倾斜角度

1.1516°

第三个钢管的倾斜角度

1.1573°

第四个钢管的倾斜角度

1.1688°

（2）计算钢桶的倾斜角度

运用MATLAB^的循环遍历法对以钢管的受力分析的方程组（9）（10）进行求解得：

T管5=11607N

：

5=84.3

将数据代入力矩平衡方程（13）进行化简得钢桶的倾斜角度为:

2T-sin：

5-（G5-F5）

2汎cos%

（3）求解水深度h

由于系泊系统各组成部分在竖直方向上的投影之和等于面与海床之间的距离，即18米，以此为限定条件，列出浮标、钢管、钢桶、锚链在竖直方向上投影之和与18米之间的关系方程式，再根据浮标体积进而求出浮标的吃水深度。

设H为所有部件在竖直方向上的投影之和，即

H=h+LG+LTLh

其中，h为浮标吃水深度，Lg为钢管在竖直方向的投影之和，Lt钢桶竖直方向的投影，Lh为锚链在竖直方向的投影之和。

4210

因为Lg=vLgCOS：

]，Lt二Lt'-5，Lh=vLhcos<；所以

i=0i=0

4210

H=h+、Lgcos:

“Lt57Lhcos\

i-0i-0

由题可知，H<18，所以利用迭代法可推出当为风速12m/s时，吃水深度

h=0.6870mo

（3）锚链的形状

根据210个链环之间的角度和已知的链环的长度，运用叠加求和的方法用MATLAB画出其图形。

由图可得当风速为12m/s时，有部分锚链平躺在海床上，其长度为6.7m。

图6风速为12m/s时锚链形状

（4）浮标游动区域的半径可由系泊系统中各个物件在水平方向上的投影求得。

n虫n=210

R二、1sin（[）1sinJ0.105sin（i）

i=1i=1

将钢管、钢桶和锚链的倾斜角度带入R得到浮标的游动半径为12.5362m,如图7所示

2.风速24m/s

当风速为24m/s时，钢桶的倾斜角度、钢管的倾斜角度、浮标吃水深度、游动区域半径如表3所示

表3各项值数据

钢桶的倾斜角度

4.566°

第一个钢管的倾斜角度

4.408s

第二个钢管的倾斜角度

4.437°

r第三个钢管的倾斜角度

4.465s

第四个钢管的倾斜角度

4.494°

浮标吃水深度

0.6974

游动区域半径

17.8592

锚链的形状如下图

图8风速为24m/s时锚链形状

5.2问题二的模型建立与求解

5.2.1问题二的分析与求解。

首先，根据第二问中提供已知信息，可以以问题一中的思路为基础，借助程序求得v=36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。

求得结果如下表：

表4风速为36m/s时各物体状态

钢桶的倾斜角度

19.5951°

第一个钢管的倾斜角度

19.756s

第二个钢管的倾斜角度

19.755°

第三个钢管的倾斜角度

19.916。

第四个钢管的倾斜角度

20.076s

浮标吃水深度

0.0244m

游动区域

18.8828

锚链在锚点与海床的夹角

45.373°

由表中结果可得，在风速为36m/s时钢桶的倾斜角度=19.5951,锚链在锚点与海床的夹角=45.373，很显然问题二中钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度的要求不符。

这时就需要改变重物的质量，以调

节钢桶的倾斜角度和锚链在锚点与海床的夹角，使两个角度在合理的区间。

这一想法的实现可以通过利用MATLAB中循环遍历法计算出重物球mq的取值为

3770kg。

当重物球的质量区3770kg时，运用模型一中程序求得系泊系统中各个物体的状态，据此得到表5：

表5

钢桶的倾斜角度

1.6787°

第一个钢管的倾斜角度

1.6615°

第二个钢管的倾斜角度

1.6615°

第三个钢管的倾斜角度

1.6673°

第四个钢管的倾斜角度

1.6730°

浮标吃水深度

1.3910m

游动区域

P18.0082m

锚链在锚点与海床的夹角

2.7557°

由表5可得当重物球质量为3770kg，风速为36m/s时钢桶的倾斜角度为

1.6787小于5，锚链在锚点与海床的夹角为2.7557小于16。

符合条件要求。

5.3问题三的模型建立与求解

5.3.1冋题三分析。

由实际情况可知，在设计系泊系统时，必须要使其能在最恶劣的情况下也能使用，故这里只讨论风速为36m/s，海水速度为1.5m/s，且风向和水流方向同向时系泊系统各构件所处的状态。

1.海水深度为固定16m时，分析各锚链的形状。

使用问题一建立的模型，当风速为36m/s，海水深为16m重物球质量为

3770kg，在存在水流力的前提下对系泊系统各部分进行受力分析，用MATLAB

图10锚链型号2

运算不同型号的锚链在此时的状态。

10_

9..

8.,

7..

6・・

5LJ

4..

3.j

2..

1..

0IIIIIIII■

02468101214161820

图9锚链型号1

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0

图13锚链型号5

五种不同型号锚链在相同条件下的钢桶倾斜角、锚链在锚点与海床的夹角见表6。

表6

锚链型号

I

锚链型号

II

锚链型号

III

锚链型号

IV

锚链型号V

钢桶倾斜角

3.8291°

3.8291°

3.8291°

3.8291°

3.8291°

第1根钢管倾斜角

5.2098°

5.1493°

5.0652°

4.9522°

4.8179°

第2根钢管倾斜角

5.2865°

5.2250°

5.1395°

5.0245°

4.8880°

第3根钢管倾斜角

5.3645°

5.3019°

5.2150°

5.0981°

4.9593°

第4根钢管倾斜角

5.4439°

5.3802°

5.2918°

5.1729°

5.0317°

浮标吃水深度

1.4700

1.4840

1.5040

1.5320

1.5670

浮标游动区域

20.3637

20.2332

20.0727

19.6062

18.9175

锚链在锚点与海床的

20.9205°

16.0066°

8.5582°

0.0811°

0口

夹角

由于五种型号的锚链钢桶倾斜角完全相同，所以只需比较浮标游动区域即可，由图表中数据可得应用型号V的锚链时浮标的游动区域最小为18.9175m。

2.海水深度为固定20m时，分析各锚链的形状。

使用问题一建立的模型，当风速为36m/s，海水深为20m重物球质量为

3770kg,在存在水流力的前提下对系泊系统各部分进行受力分析，用