系泊系统的设计和探究.docx

1、系泊系统的设计和探究2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模 竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模 竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式 （包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的 成果或资料（包括网上资料），必须按照规定的参考文献的表述方式列出，并在 正文引用处予以标注。在网上交流和下载他人的论文是严重违规违纪行为。我们以中国大学生名誉和诚信郑重承

2、诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则， 以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受 到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会， 可将我们的论文以任何形式进行 公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表 等）。我们参赛选择的题号（从 A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的报名参赛队号（12位数字全国统一编号）： 参赛学校（完整的学校全称，不含院系名）： 参赛队员（打印并签名）：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 （打印并签名）：（指导教师签名意味着对参赛队的行为和论文的真实性负责）日期： 年月日（请勿改动此页内容和格式。此承诺书

3、打印签名后作为纸质论文的封面，注意 电子版论文中不得出现此页。以上内容请仔细核对，如填写错误，论文可能被 取消评奖资格。）2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人nn备注n送全国评阅统一编号（赛区组委会填写）：全国评阅随机编号（全国组委会填写）：（请勿改动此页内容和格式。此编号专用页仅供赛区和全国评阅使用，参赛队打印后装订到纸质论文的第二页上。注意电子版论文中不得出现此页。）系泊系统的设计和探究摘要本文利用牛顿力学定律，力矩平衡原理、非线性规划、循环遍历法等方法对 系泊系统进行了设计与探究。通过对系泊系统各组件和浮标运用牛顿经典力学体 系进行

4、分析，得到了各个情况下的钢桶倾斜角度、 锚链状态、浮标吃水深度和游动区域。第一问是求解在风速为12m/s和24m/s时，浮标的吃水深度和游动区域、 钢桶以及钢管的倾斜角度和锚链形态。 对于此，首先，我们对浮标、钢管、钢桶、链环进行了基于静力平衡的力学分析， 并得到了一系列的方程组；接着，由于钢管、钢桶、链环还满足力矩平衡状态，故得到系泊系统平衡时的刚体力学方程组； 然后，根据系泊系统各组成部件的倾斜角度可以得出其在竖直方向的投影， 且它们的投影之和与海水深度存在几何约束。 最后，以这个几何约束条件为前提，运用MATLAB中的循环遍历法对该复杂的非线性方程组进行求解，得到在风速为 12m/s时，

5、1至4号钢管的倾斜角度依次为1.1459，1.1516，1.1573 ,1.1688， 钢桶的倾斜角度为1.1860，浮标的吃水深度为0.6870m,浮标的游动区域以锚为 圆心，12.5362m为半径的范围圆。锚链形状为拖地状态，拖地长度 6.7m。当风速为24m/s时，从上至下各钢管的倾斜角度为 4.408，4.437，4.465，1.1688， 钢桶的倾斜角度为4.566，浮标的吃水深度为0.6974m,游动范围为以锚在海平 面度的投影为圆心，半径为17.8592m的圆。对于第二问，求解当海面风速为36m/s时，浮标的吃水深度和游动区域、 钢桶以及钢管的倾斜角度和锚链形态。利用第一问中的力

6、学方程和程序，求得钢 桶的倾角为19.5951和四节钢管的倾斜角度依次为19.756、19.755、19.916、 20.076。浮标的游动区域为以锚在海面上的投影为圆心，半径为18.8828m的圆。 由于部分数据与问题二中钢桶的倾斜角度不超过 5 ，锚链在锚点与海床的夹角不超过16的要求不符，所以通过调节重物球的质量使钢桶的倾斜角度和锚链在 锚点与海床的夹角处在要求的范围之内。借助 MATLA程序中的循环遍历法，可以求得重物球的质量3770kg。对于问题三，在设计系泊系统时，必须要使其能在最恶劣的情况下也能使用， 故这里只讨论风速为36m/s，海水速度为1.5m/s时的系泊系统各构件的状态。

7、 假设在问题二的情况下，重物球质量为 3770kg，海水深度分别为16m和20m的情况下，浮标的吃水深度和游动区域、钢桶以及钢管的倾斜角度和锚链形态。 以钢桶倾斜角度和浮标游动范围为评价指标，运用 TOPSIS的方法得出在海水深度为16m，在风速为36m/s，水流速度为1.5m/s时，五种锚链的钢桶倾斜角都为 3.8291 ，比较浮标浮动范围得到， V号锚链浮动半径最小为18.9175m。在海水深度为20m,其他条件不变时，得出钢桶倾斜角度和浮标游动范围数据不易直接比较， 故在此采用 TOPSIS方法进行比较，得到 五种锚链与最有方案的接近程度大小关系： IV III II I V ，因此可以

8、得出在海水深度为 20m时IV号锚链最为合适。关键词：牛顿第二定律力矩平衡原理非线性规划循环遍历法、问题重述近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图 一所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为低面直径 2m高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖 移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，常用型号及其参数已在 附表中列出。钢管共4节，每节长度1m直径为50mm每节钢管的质量为10kg 水声通讯系统安装在一个长1m外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总 质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链

9、第1节。现由题可知，如果 要使该系统正常工作，那么就要使锚链末端和锚链接处的切线方向与海床的夹角 不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位；若钢桶的倾斜角度（钢桶与竖 直线的夹角）超过5度，则设备的工作效果较差。因此为了控制钢桶的倾斜角度， 可在钢桶与电焊锚链连接处悬挂重物球。图1传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例）系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标 的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。附表 锚链型号和参数表型号长度（mm）单位长度的质量（kg/m）I783.2II1057III12012.5IV15019.5V18028.12表注：

10、长度是指每节链环的长度。问题1某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m,选用的重物球的质量为1200kg。现将该节点布放在水深为18m海水密度为1.025 103kg/m3的海床平坦 的海域。请计算当海面风速分别为12m/s和24m/s且海水静止时，钢桶和各节钢 管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。问题2请在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的 倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。并试调节重物球的质量，使得钢桶的倾 斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过 16度。问题3而由于潮汐等因素的影响，布放海域的水深实际介于16m20r之间。 布放点的海水速

11、度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、 水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、 锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。二、 问题分析本题是以系泊系统设计为背景的力学分析问题。2.1问题一分析首先，建立以锚为原点，其余各部件都在第一象限的平面直角坐标系。然后，根据牛顿经典力学理论，对浮标、钢管和钢桶分别进行受力分析，可 得出三个方程组。接着，由于钢桶与钢管之间存在着力矩平衡， 因此可以得出钢桶、钢管之间的关系方程；对于锚链，可对其每一个小段进行受力分析，得出其 有关方程式；因为系泊系统各组成部分在竖直方向上的投影之和为海平面与海床 之间

12、的距离，即18米，为有效限定条件，所以可列出浮标、钢管、钢桶、锚链 在竖直方向上投影之和与18米之间的关系方程式。最后，使用迭代算法在 MATLAB件上对所有方程进行求解；分别求出风速 在12m/s和24m/s时时钢桶和各节钢管的倾斜角度、 锚链形状、浮标的吃水深度 和游动区域。2.2问题二分析根据问题一中的求解思路，将风速值36m/s代入，求解出数值，再与题目中 的条件钢桶的倾斜角小于等于 5度，锚在锚点与海床的夹角小于等于 16度进行 对比，判断其是否合理。如不合理，运用循环遍历法，逐渐增加重物球的质量， 直至得到一个合理的质量。2.3问题三分析由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于

13、16m20n之间。布放点的 海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力 和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形 状、浮标的吃水深度和游动区域。三、 模型假设1、 海平面与海底平面水平。2、 浮标始终海平面保持垂直状态。3、 在一定时间内，风速和风向恒定。4、 风向为水平风向。5、 该地区重力加速度为9.8 m/s2。&假设重力球、锚链、钢管为同一种材料，均为密度为7.9 103kg/m3的钢。7、锚所受浮力忽略不计。四、符号说明符号单位符号意义F风N浮标所受风力F浮标N浮标所受浮力G标N浮标的重力hm浮标吃水深度F管N钢管所

14、受浮力G管N钢管的重力T管iN钢管所受拉力(i=1，2, 3, 4，5)度钢管拉力与竖直线夹角(i=1，2，3，4，5)片度钢管倾斜角度(j=1,2,3,4 )Lgm钢管长度FtN钢桶所受浮力GtN钢桶的重力TtN钢桶所受拉力e度钢桶倾斜角度Ltm钢桶长度F链N链环所受浮力连N链环的重力T链iN链环所受拉力(i=1,2,3.211 )半i度链环拉力与竖直线夹角Vi度链环倾斜角度(i=1,2,3.210)G锚N锚的重力T锚N锚所受拉力FfN锚所受摩擦力FnN锚的支持力GqN重物球的重力Rm浮标的游动半径五、模型的建立与求解5.1问题一的模型建立与求解5.1.1模型一的建立已知重力球的质量1200

15、kg,海水深度18米，海水密度1.025 xi03kg/m3。求 当海面风速分别为12m/s和24m/s且海水静止时，钢桶和各节钢管的倾斜角度、 锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。我们可以在系统处于风力恒定的平衡状 态下，对系泊系统进行局部受力分析。（1）对浮标进行受力分析化简得:(6)(2)对钢管进行受力分析F管为钢管所受浮力，G管为钢管自身重力，T管i表示第i-1个钢管对第i 个钢管的拉力，冷表示第i-1个钢管对第i个钢管的拉力与其浮力所成的夹角。 其中，i表示第i个钢管，i= 1，2，3, 4，5。图3表示的为第一个钢管的受力分析图，由题知，四个钢管材质大小都相同， 因此，所受浮力和自

16、身重力也相同。其中，当i=1时，T管i表示浮标对第一个钢 管的拉力，T管2表示第一个钢管对第二个钢管的拉力， 表示浮标对第一个钢管的拉力与其浮力所成的夹角，：2表示第一个钢管对第二个钢管的拉力与其浮 力所成的夹角。由图可知，第一根钢管在竖直方向上受到竖直向上的浮力和竖直向下的重力，浮标对其有一个斜向上的拉力，第二根钢管对其有一个斜向下的拉力。根据受力分析平衡列出力学方程组。竖直方向：F管 +T 管 i si n_： 二G 管 T 管 i+1 cos：i+1(7)水平方向：丁管cos： i =丁管问 sin : i+1(8)化简得：Si+1 二 arctanT管i sin :打：T管i cos：

17、、 F管G管(9)T管j+1二T管i sin : sin ：、+1(10)(3)对钢管倾斜角度进行分析因为钢管存在固定的转轴，所以由力矩平衡可画出下列图 4的受力分析图。其中-j表示第j个钢管的倾斜角度，j= 1，2, 3, 4。图4钢管倾斜角度示意图图4为钢管倾斜角度示意图，（j=1,2,3,4 ）表示第j个钢管的倾斜角 度，根据力矩平衡原理列出力学方程组。1 L T管i d sin（: “一） L（G管-F管）si（ 11）21L T管i sin（ : j T.-j） L 2管F管） sin 1 j （ 12）化简得：(13)etan2 T孔心卫2 T| cos ： i（4）钢桶进行受力分

18、析Ft为钢桶所受浮力，T管5为第四根钢管对钢桶的拉力，T链1为第一根锚链对钢桶的拉力，Gt为钢桶自身重力，Gq为重物球的重力。：-5为T管5与Ft所成夹角，5为T链1与Gt所成夹角。图5钢桶受力分析图通过图5对钢桶进行受力分析得：T管5 cos： 5 Ft =丁链 1 cos 冷 Gt (14)T管5 sin 二5 =丁链 1 sin (15)化简得：1 = arctanMT管5 sin 二5：T管5 cos二5 Ft-Gt-Gq 门 (16)T链 1=Tt5 sin ： sin 1 (17)(5)对钢桶倾斜角度进行分析因为钢桶存也在固定的转轴，所以由力矩平衡可画出下列图 6的受力分析图。其中

19、二表示钢桶的倾斜角度。图6钢桶力矩平衡分析示意图由于钢桶还符合刚体的力矩平衡，可以列出以下方程：1Lt T管5 sin(花：5)= Lt (Gt-Ft) sint G连图6链环受力分析图图6为链环受力分析图，通过对链环进行受力分析得：(22)T链i cos卩链=T链i+1 cos i+i G链 (21)T链i sin :i 二 T链i+i sin 帚化简得(24)i+i = arctan T链i sin “ T链i cos F链G链 (23)(7)对链环倾斜角度进行分析由于链环符合刚体的力矩平衡,可以列出以下方程,其中i 表示第个钢管的倾斜角度，i= 1，2, 3,:-12-.210.Li T

20、链i sin( 1 -Li (G链- F链)cos i(25)T链i 1 sin( i - 1+1)=1 Li (G链i - F链i)cos i(26)T链i+i 二T链i sin ; i sin 帚化简得:图7链环力矩平衡分析5.1.2模型一的求解1.风速为12m/s（1）计算各节钢管和钢管的倾斜角度。用牛顿经典力学理论对整个系统进行力学分析，可以得到海底平面对锚 的摩擦力Ff，浮标所受浮力F浮（F浮 =gV,V二二R2h ）和浮标吃水深度h的值（浮标所受浮力F浮和浮标吃水深度h的值上面已求出）。将锚链、锚和重物球 看做一个整体用牛顿经典力学理论对其进行力学分析，可得钢桶所受锚链拉力， 根据

21、力矩平衡可得钢桶与水平线夹角 ：5 ；同理，根据牛顿经典力学理论，依次 对钢管1,2,3,4进行力学分析，可求出：j， ：2，3， ： 4。1）以H为几何约束条件，运用MATLAB的循环遍历法对以钢管的受力分析的方程组（9）（ 10）以及力矩平衡方程（13）进行求解，得到在风速为 12m/s时，钢管的倾斜角度见表2。表2第一个钢管的倾斜角度1.1459第二个钢管的倾斜角度1.1516第三个钢管的倾斜角度1.1573第四个钢管的倾斜角度1.1688（2）计算钢桶的倾斜角度运用MATLAB的循环遍历法对以钢管的受力分析的方程组（9）（ 10） 进行求解得：T管5 =11607N：5 =84.3将数

22、据代入力矩平衡方程（13）进行化简得钢桶的倾斜角度为:2 T -sin ： 5 -(G5-F5)2 汎 cos%（3）求解水深度h由于系泊系统各组成部分在竖直方向上的投影之和等于面与海床之间的距 离，即18米，以此为限定条件，列出浮标、钢管、钢桶、锚链在竖直方向上投 影之和与18米之间的关系方程式，再根据浮标体积进而求出浮标的吃水深度。设H为所有部件在竖直方向上的投影之和，即H=h+LG + LT Lh其中，h为浮标吃水深度，Lg为钢管在竖直方向的投影之和，Lt钢桶竖直 方向的投影，Lh为锚链在竖直方向的投影之和。4 210因为 Lg = v Lg COS： ，Lt 二Lt -5，Lh=v L

23、h cos ；所以i =0 i =04 210H=h+、Lg cos:“ Lt 5 7 Lh cos i -0 i -0由题可知，H 18，所以利用迭代法可推出当为风速 12m/s时，吃水深度h=0.6870mo(3)锚链的形状根据210个链环之间的角度和已知的链环的长度，运用叠加求和的方法用 MATLAB画出其图形。由图可得当风速为 12m/s时，有部分锚链平躺在海床上， 其长度为6.7m。图6风速为12m/s时锚链形状(4)浮标游动区域的半径可由系泊系统中各个物件在水平方向上的投影求得。n 虫 n =210R 二、1 sin( ) 1 sin J 0.105 sin( i)i =1 i=1

24、将钢管、钢桶和锚链的倾斜角度带入R得到浮标的游动半径为12.5362m,如图 7所示2.风速 24m/s当风速为24m/s时，钢桶的倾斜角度、钢管的倾斜角度、浮标吃水深度、游动 区域半径如表3所示表3各项值数据钢桶的倾斜角度4.566第一个钢管的倾斜角度4.408s第二个钢管的倾斜角度4.437r第三个钢管的倾斜角度4.465s第四个钢管的倾斜角度4.494浮标吃水深度0.6974游动区域半径17.8592锚链的形状如下图图8风速为24m/s时锚链形状5.2问题二的模型建立与求解5.2.1问题二的分析与求解。首先，根据第二问中提供已知信息，可以以问题一中的思路为基础，借 助程序求得v=36m/

25、s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区 域。求得结果如下表：表4风速为36m/s时各物体状态钢桶的倾斜角度19.5951第一个钢管的倾斜角度19.756s第二个钢管的倾斜角度19.755第三个钢管的倾斜角度19.916。第四个钢管的倾斜角度20.076s浮标吃水深度0.0244m游动区域18.8828锚链在锚点与海床的夹角45.373由表中结果可得，在风速为 36m/s时钢桶的倾斜角度=19.5951 ,锚链在锚 点与海床的夹角=45.373，很显然问题二中 钢桶的倾斜角度不超过 5度，锚链在 锚点与海床的夹角不超过16度的要求不符。这时就需要改变重物的质量，以调节钢桶的倾斜角度

26、和锚链在锚点与海床的夹角，使两个角度在合理的区间。这一 想法的实现可以通过利用 MATLAB中循环遍历法计算出重物球 mq的取值为3770kg。当重物球的质量区3770kg时，运用模型一中程序求得系泊系统中各个 物体的状态，据此得到表5：表5钢桶的倾斜角度1.6787第一个钢管的倾斜角度1.6615第二个钢管的倾斜角度1.6615第三个钢管的倾斜角度1.6673第四个钢管的倾斜角度1.6730浮标吃水深度1.3910m游动区域P 18.0082m锚链在锚点与海床的夹角2.7557 由表5可得当重物球质量为3770kg，风速为36m/s时钢桶的倾斜角度为1.6787小于5，锚链在锚点与海床的夹角

27、为2.7557小于16。符合条件要求。5.3问题三的模型建立与求解5.3.1冋题三分析。由实际情况可知，在设计系泊系统时，必须要使其能在最恶劣的情况下也能 使用，故这里只讨论风速为36m/s，海水速度为1.5m/s，且风向和水流方向同向 时系泊系统各构件所处的状态。1.海水深度为固定16m时，分析各锚链的形状。使用问题一建立的模型，当风速为 36m/s，海水深为16m重物球质量为3770kg，在存在水流力的前提下对系泊系统各部分进行受力分析， 用MATLAB图10锚链型号2运算不同型号的锚链在此时的状态。10 _9 . .8 . ,7 . .6 5 L J4 . .3 . j2 . .1 .

28、.0 I I I I I I I I 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20图9锚链型号11098765432100图13锚链型号5五种不同型号锚链在相同条件下的钢桶倾斜角、锚链在锚点与海床的夹角见 表6。表6锚链型号I锚链型号II锚链型号III锚链型号IV锚链型号V钢桶倾斜角3.8291 3.8291 3.8291 3.8291 3.8291 第1根钢管倾斜角5.2098 5.1493 5.0652 4.9522 4.8179第2根钢管倾斜角5.2865 5.2250 5.13955.0245 4.8880 第3根钢管倾斜角5.3645 5.3019 5.21505.0981

29、 4.9593 第4根钢管倾斜角5.4439 5.3802 5.29185.17295.0317浮标吃水深度1.47001.48401.50401.53201.5670浮标游动区域20.363720.233220.072719.606218.9175锚链在锚点与海床的20.9205 16.00668.5582 0.0811 0口夹角由于五种型号的锚链钢桶倾斜角完全相同，所以只需比较浮标游动区域即 可，由图表中数据可得应用型号V的锚链时浮 标的游动区 域最小 为 18.9175m。2.海水深度为固定20m时，分析各锚链的形状。使用问题一建立的模型，当风速为 36m/s，海水深为20m重物球质量为3770kg,在存在水流力的前提下对系泊系统各部分进行受力分析， 用