方世昌离散数学第三版教材课件第3章二元关系可编辑.docx

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方世昌离散数学第三版教材课件第3章二元关系可编辑

方世昌离散数学第三版教材课件第3章二元关系

31基本概念32关系的合成33关系上的闭包运算34次序关系35等价关系和划分31基本概念311关系关系的数学概念是建立在日常生活中关系的概念之上的让我们先看两个例子例31-1设Aabcd是某乒乓球队的男队员集合Befg是女队员集合如果A和B元素之间有混双配对关系的是a和gd和e我们可表达为R〈ag〉〈de〉这里R表示具有混双配对关系的序偶集合所有可能具有混双配对关系的序偶集合是A×B〈xy〉x∈A∧y∈B〈ae〉〈af〉〈ag〉〈be〉〈bf〉〈bg〉〈ce〉〈cf〉〈cg〉〈de〉〈df〉〈dg〉例31-2设学生集合A1abcd选修课集合A2日语法语成绩等级集合A3甲乙丙如果四人的选修内容及成绩如下a日乙b法甲c日丙d法乙我们可表达为S〈a日乙〉〈b法甲〉〈c日丙〉〈d法乙〉这里S表示学生和选修课及成绩间的关系而可能出现的全部情况为A1×A2×A3〈xyz〉x∈A1∧y∈A2∧z∈A3〈a日甲〉〈a日乙〉〈a日丙〉〈a法甲〉〈a法乙〉〈a法丙〉〈b日甲〉〈b日乙〉〈b日丙〉〈b法甲〉〈b法乙〉〈b法丙〉〈c日甲〉〈c日乙〉〈c日丙〉〈c法甲〉〈c法乙〉〈c法丙〉〈d日甲〉〈d日乙〉〈d日丙〉〈d法甲〉〈d法乙〉〈d法丙〉定义31―11A×B的子集叫做A到B的一个二元关系2A1×A2××Ann≥1的子集叫做A1×A2××An上的一个n元关系3从定义可看出关系是一个集合所有定义集合的方法都可用来定义关系例31-1和例31-2是列举法的例子　　　一个谓词Px1x2xn可以定义一个n元关系R　　R〈x1x2xn〉Px1x2xn例如实数R上的二元关系＞可定义如下＞〈xy〉x∈R∧y∈R∧x＞y反之一个n元关系也可定义一个谓词当n1时R〈x〉Px称为一元关系它是一重组集合表示论述域上具有性质P的元素集合其意义与RxPx相同仅记法不同而已　　　例如设Px表示x是质数论述域是N则质数集合可表示为〈x〉｜Px或x｜Px　　　关系也可归纳地定义自然数上的小于关系可定义如下1基础〈01〉∈＜2归纳如果〈xy〉∈＜那么i〈xy1〉∈＜ii〈x1y1〉∈＜3极小性对一切xy∈Nx＜y当且仅当〈xy〉是由有限次应用条款1和2构成定义31―2　设R是的子集如果R则称R为空关系如果则称R为全域关系现在定义关系相等的概念在关系相等的概念中不仅需要n重组集合相等还需其叉积扩集也相同定义31―3设R1是上的n元关系R2是上的m元关系那么R1R2当且仅当nm且对一切i1≤i≤nAiBi并且R1和R2是相等的有序n重组集合312二元关系最重要的关系是二元关系本章主要讨论二元关系今后术语关系都指二元关系若非二元关系将用三元或n元一类术语指出二元关系有自己专用的记法和若干新术语设Ax1x2x7By1y2y6R〈x3y1〉〈x3y2〉〈x4y4〉〈x6y2〉A到B的二元关系R可如图31―1那样形象地表示〈x3y1〉∈R也可写成x3Ry1称为中缀记法读做x3和y1有关系R中缀记法常用来表示诸如＜＞等关系例如〈35〉∈＜通常写作3＜5A叫做关系R的前域B叫做关系R的陪域DRx｜y〈xy〉∈R叫做关系R的定义域RRy｜x〈xy〉∈R叫做关系R的值域关系是序偶的集合对它可进行集合运算运算结果定义一个新关系设R和S是给定集合上的两个二元关系则R∪SR∩SR-S等可分别定义如下xR∪SyxRy∨xSyxR∩SyxRy∧xSyxR-SyxRy∧xyx　yxRy例31-3平面上的几何图形是平面R2的子集也是一种关系设参看图31―2R1〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧x2y2≤9R2〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧1≤x≤3∧0≤y≤3R3〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧x2y2≥4则R1∪R2〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧x2y2≤9∨1≤x≤3∧0≤y≤3R1∩R3〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧x2y2≤9∧x2y2≥4R1-R3〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧x2y2≤9∧Lx2y2≥4〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧x2y2≥4313关系矩阵和关系图表达有限集合到有限集合的二元关系时矩阵是一有力工具　　　定义31―4　给定集合Aa1a2am和Bb1b2bn及一个A到B的二元关系R使例31-4　设Aa1a2Bb1b2b3R〈a1b1〉〈a2b1〉〈a1b3〉〈a2b2〉则其关系矩阵为例31-5设A1234A上的二元关系R〈xy〉｜x＞y试求出关系矩阵解R〈41〉〈42〉〈43〉〈31〉〈32〉〈21〉例31-6设A12345R〈12〉〈22〉〈32〉〈34〉〈43〉其图示如图31―3所示图中结点5叫做孤立点　　利用关系R的图示也可写出关系R314关系的特性在研究各种二元关系中关系的某些特性扮演着重要角色我们将定义这些特性并给出它的图示和矩阵的特点定义31―5　设R是A上的二元关系1如果对A中每一xxRx那么R是自反的即A上的关系R是自反的xx∈A→xRxA123R1〈11〉〈22〉〈33〉〈12〉是自反的其关系图和关系矩阵的特点如图31―4所示2如果对A中每一xxRx那么R是反自反的即A上的关系R是反自反的xx∈A→xRx例如A123R2〈21〉〈13〉〈32〉是反自反的其关系图和关系矩阵的特点如图31―5所示　　　有些关系既不是自反的又不是反自反的如图31―6例如R3〈11〉〈12〉〈32〉〈23〉〈33〉3如果对每一xy∈AxRy蕴含着yRx那么R是对称的即　　　　A上的关系R是对称的xyx∈A∧y∈A∧xRy→yRx例如A123R4〈12〉〈21〉〈13〉〈31〉〈11〉是对称的其关系图和关系矩阵的特点如图31―7所示4如果对每一xy∈AxRyyRx蕴含着xy那么R是反对称的即A上的关系R是反对称的xyx∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→xy例如A123R5〈12〉〈23〉是反对称的其关系图和关系矩阵的特点如图31―8所示5如果对每一xyz∈AxRyyRz蕴含着xRz那么R是传递的即A上的关系R是传递的xyzx∈A∧y∈A∧z∈A∧xRy∧yRz→xRz例如A1234R5〈41〉〈43〉〈42〉〈32〉〈31〉〈21〉是传递的其关系图和关系矩阵如图31―10所示例31-71任何集合上的相等关系是自反的对称的反对称的和传递的但不是反自反的2整数集合I上关系≤是自反的反对称的可传递的但不是反自反的和对称的关系＜是反自反的反对称的可传递的但不是自反的和对称的3设ab试考察上的下列关系i关系与有同样长度是自反的对称的可传递的但不是反自反的和反对称的iixRy当且仅当x是y的真词头这里R是反自反的反对称的可传递的但不是自反的和对称的iiixRy当且仅当x的某真词头是y的一个真词尾这里R既不是自反的又不是反自反的因为aaRaa但abRab既不是对称的也不是反对称的并且不是传递的4非空集合上的空关系是反自反的对称的反对称的和传递的但不是自反的空集合上的空关系则是自反的反自反的对称的反对称的和可传递的5基数大于1的集合上的全域关系是自反的对称的和传递的但不是反自反的和反对称的例如图31―11所示的关系321关系的合成　　　前边已经指出关系是序偶的集合因此可以进行集合运算本节介绍一种对关系来说更为重要的运算合成运算假设R1是A到B的关系R2是B到C的关系参看图32-1合成关系R1R2是一个A到C的关系如果在关系图上从a∈A到c∈C有一长度路径中弧的条数为2的路径其第一条弧属于R1其第二条弧属于R2那么〈ac〉∈R1R2合成关系R1R2就是由〈ac〉这样的序偶组成的集合其第一条弧属于R1其第二条弧属于R2那么〈ac〉∈R1R2合成关系R1R2就是由〈ac〉这样的序偶组成的集合定义32―1　设R1是从A到B的关系R2是从B到C的关系从A到C的合成关系记为R1R2定义为R1R2〈ac〉｜a∈A∧c∈C∧b〔b∈B∧〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2〕例32-11如果R1是关系是的兄弟R2是关系是的父亲那么R1R2是关系是的叔伯R2R2是关系是的祖父2给定集合A1234B234C123设R是A到B的关系S是B到C的关系R〈xy〉｜xy6〈24〉〈33〉〈42〉S〈yz〉｜y-z1〈21〉〈32〉〈43〉则R·S〈23〉〈32〉〈41〉如图32―2所示3设A12345R和S都是A上二元关系如果R〈12〉〈34〉〈22〉S〈42〉〈25〉〈31〉〈13〉则R·S〈15〉〈32〉〈25〉S·R〈42〉〈32〉〈14〉R·S·R〈32〉R·S·R〈32〉R·R〈12〉〈22〉S·S〈45〉〈33〉〈11〉4设R是A到B的二元关系IAIB分别是A和B上的相等关系则IA·RR·IBR5如果关系R的值域与关系S的定义域的交集是空集则合成关系R·S是空关系下边介绍合成关系的性质定理32―1设R1是从A到B的关系R2和R3是从B到C的关系R4是从C到D的关系那么1R1R2∪R3R1R2∪R1R32R1R2∩R3R1R2∩R1R33R2∪R3R4R2R4∪R3R44R2∩R3R4R2R4∩R3R4123部分的证明留作练习我们仅证明2部分证先证明公式因为〈ac〉∈R1R2∩R3b〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2∩R3〕b〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2∧〈bc〉∈R3〕b〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2∧〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R3〕b〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2〕∧b〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R3〕〈ac〉∈R1R2∧〈ac〉∈R1R3〈ac〉∈R1R2∩R1R3即〈ac〉∈R1R2∩R3〈ac〉∈R1R2∩R1R3所以R1R2∩R3R1R2∩R1R3再证包含可能是真包含举反例证明如果AaBb1b2b3CcA到B的关系R1〈ab1〉〈ab2〉B到C的关系R2〈b1c〉〈b3c〉B到C的关系R3〈b2c〉〈b3c〉那么R1R2∩R3R1R2∩R1R3〈ac〉此时R1R2∩R3≠R1R2∩R1R3证毕定理32―2设R1R2和R3分别是从A到BB到C和C到D的关系那么R1R2R3R1R2R3　　　证　先证R1R2R3R1R2R3设〈ad〉∈R1R2R3那么对某c∈C〈ac〉∈R1R2和〈cd〉∈R3因为〈ac〉∈R1R2存在b∈B使〈ab〉∈R1和〈bc〉∈R2因为〈bc〉∈R2和〈cd〉∈R3得〈bd〉∈R2R3所以〈ad〉∈R1R2R3这样就证明了R1R2R3R1R2R3　　　R1R2R3R1R2R3的证明是类似的留给读者自证上述证明也可用等价序列表达322关系R的幂当R是A上的一个关系时R可与自身合成任意次而形成A上的一个新关系在这种情况下RR常表示为R2RRR表示为R3等等我们能归纳地定义这一符号如下定义32―2设R是集合A上的二元关系n∈N那么R的n次幂记为Rn定义如下1R0是A上的相等关系R0〈xx〉｜x∈A2Rn1Rn·R定理32―3　设R是A上的二元关系并设m和n是N的元素那么1Rm·RnRmn2RmnRmn可用归纳法证明请读者自证定理32―4设｜A｜nR是集合A上的一个关系那么存在i和j使RiRj而0≤i＜j≤　　　证A上的每一二元关系是A×A的子集因为｜A×A｜n2｜ρA×A｜因此A上有个不同关系所以R的不同的幂不会超过个但序列R0R1有　　项因此R的这些幂中至少有两个是相等的　　　证毕定理32―5　设R是集合A上的一个二元关系若存在i和ji＜j使RiRj记dj-i那么1对所有k≥0RikRjk2对所有km≥0RimdkRik3记SR0R1R2Rj-1那么R的每一次幂是S的元素即对n∈NRn∈S证1和2部分用归纳法证明留作练习3对于c设n∈N如果n＜j那么根据S的定义Rn∈S假设n≥j那么我们能将n表示为imdk这里k＜d根据b部分得RnRik因为ik＜j这证明了Rn∈S定理中的ij在实用时宜取最小的非负整数以保证S中无重复元素例32-2设AabcdR〈ab〉〈cb〉〈bc〉〈cd〉其关系图如图32―3所示则R0〈aa〉〈bb〉〈cc〉〈dd〉R2〈ac〉〈bb〉〈bd〉〈cc〉R3〈ab〉〈ad〉〈bc〉〈cb〉〈cd〉R4〈ac〉〈bb〉〈bd〉〈cc〉它们的关系图如图32―4所示由于R4R2根据定理32―5c对所有n∈NRn∈R0R1R2R3可见不必再算了事实上易证R5R3R6R4R2用归纳法可得R2n1R3和R2nR2这里n≥1323合成关系的矩阵表达定理32―6设Xx1x2xmYy1y2ynZz1z2zpR是X到Y的关系MR〔aij〕是m×n矩阵S是Y到Z的关系MS〔bij〕是n×p矩阵则MR·S〔cij〕MR·MS这里证因为如果存在某k使aik和bki都等于1则cij1但aik和bkj都等于1意味着xiRyk和ykSzj所以xiR·Szj可见如此求得的MR·S确实表达了R·S的关系因此上述等式是正确的如果不仅存在一个k使aik和bki都是1此时cij仍为1只是从xi到zj不止一条长度为2的路径但等式仍然正确上段的论证已隐含了不止一个k的情况本定理说明合成关系矩阵可用关系矩阵布尔矩阵的乘法表达例32-3设X12YabcZαβR〈1a〉〈1b〉〈2c〉S〈aβ〉〈bβ〉则定理32―7关系矩阵的乘法是可结合的证利用关系合成的可结合性证明MR·MS·MTMR·S·MTMR·S·TMR·S·TMR·MS·TMR·MS·MT不仅合成关系可用关系矩阵表达而且关系的集合运算也可用关系矩阵表达设R和S是X到Y上的二元关系MR〔aij〕MS〔bij〕cij是运算后所得新关系之关系矩阵的元素则MR∩SMR∧MScijaij∧bijMR∪SMR∨MScijaij∨bijcijaijMR-SMR∧cijaij∧bij331逆关系在讨论闭包运算时要用到逆关系的概念因此我们先介绍逆关系定义33―1设R是从A到B的二元关系关系R的逆或叫R的逆关系记为是一从B到A的二元关系定义如下例33-11I上的关系2集合族上的关系的逆是关系3空关系的逆是空关系4B×A即A×B的全域关系的逆等于B×A的全域关系定理33―1设R是从A到B的关系而S是从B到C的关系则定理33―2设RR1和R2都是从A到B的二元关系那么下列各式成立332关系的闭包运算关系的闭包运算是关系上的一元运算它把给出的关系R扩充成一新关系R′使R′具有一定的性质且所进行的扩充又是最节约的定义33―2设R是A上的二元关系R的自反对称传递闭包是关系R′使iR′是自反的对称的传递的iiR′Riii对任何自反的对称的传递的关系R〃如果R〃R那么R〃R′R的自反对称和传递闭包分别记为rRsR和tR由定义可以看出R的自反对称传递闭包是含有R并且具有自反对称传递性质的最小关系如果R已经是自反的对称的传递的那么具有该性质并含有R的最小关系就是R自身下一定理说明这一点定理33―4设R是集合A上的二元关系那么aR是自反的当且仅当rRRbR是对称的当且仅当sRRcR是传递的当且仅当tRR证a如果R是自反的那么R具有定义33―2对R′所要求的性质因此rRR反之如果rRR那么根据定义33―2的性质iR是自反的b和c的证明是类似的略构造R的自反对称和传递闭包的方法就是给R补充必要的序偶使它具有所希望的特性下面我们用关系图来说明如何实现这一点定理33―5设R是集合A上的二元关系那么rRR∪E这里E是A上相等关系在本节中均如此证设R′R∪E显然R′是自反的且R′R余下只需证明最小性现假设R〃是A上的自反关系且R〃R因R〃是自反的所以R〃E又R〃R所以R〃R∪ER′这样定义33―2都满足所以R′rR证毕　　　设G是集合A上二元关系R的关系图我们把G的所有弧都画成有来有往即如果有从a到b的弧那么也有从b到a的弧就得到了R的对称闭包的有向图　下一定理体现了这一想法定理33―7设R是集合A上的二元关系那么例33-2a整数集合I上的关系＜的自反闭包是≤对称闭包是关系≠传递闭包是关系＜自身b整数集合I上的关系≤的自反闭包是自身对称闭包是全域关系传递闭包是自身cE的自反闭包对称闭包和传递闭包都是Ed≠的自反闭包是全域关系对称闭包是≠≠的传递闭包是全域关系e空关系的自反闭包是相等关系对称闭包和传递闭包是自身f设R是I上的关系xRy当且仅当yx1那么tR是关系＜定理33―8设R是集合A上的二元关系这里A有n个元素那么证设〈xy〉∈tR于是必存在最小的正整数k使〈xy〉∈Rk现证明k≤n若不然存在A的元素序列xa0a1a2ak-1aky使xRa1a1Ra2ak-1Ry因k＞na0a1ak中必有相同者不妨设aiaj0≤i＜j≤k于是xRa1a1Ra2ai-1RaiajRaj1ak-1Ry成立即〈xy〉∈Rs这里sk-j-i但这与k是最小的假设矛盾于是k≤n又〈xy〉是任意的故定理得证例33-3设AabcdR如图33―1a所示则tRR∪R2∪R3∪R4如图33―1b所示本例即是32-2定理33―91如果R是自反的那么sR和tR都是自反的2如果R是对称的那么rR和tR都是对称的3如果R是传递的那么rR是传递的定理33―10设R是集合A上的二元关系那么1rsRsrR2rtRtrR3tsRstR2注意到ERRER和对一切n∈NEnE可得34次序关系341偏序集合定义34―1如果集合A上的二元关系R是自反的反对称的和传递的那么称R为A上的偏序称序偶〈AR〉为偏序集合如果R是偏序〈AR〉常记为〈A≤〉≤是偏序符号由于≤难以书写通常写作≤读做小于或等于因为小于或等于也是一种偏序故不会产生混乱R是偏序时aRb就记成a≤b如果R是集合A上的偏序则R也是A上的偏序如果用≤表示R可用≥表示R〈A≤〉和〈A≥〉都是偏序集合并互为对偶例34-11〈I≤〉是偏序集合这里≤表示整数中的小于或等于关系2〈ρA〉是偏序集合这里是集合间的包含关系3A2468D代表整除关系M代表整倍数关系则D〈22〉〈44〉〈66〉〈88〉〈24〉〈26〉〈28〉〈48〉M〈22〉〈44〉〈66〉〈88〉〈42〉〈62〉〈82〉〈84〉〈AD〉〈AM〉都是偏序集合且互为对偶例2aP1234〈P≤〉的哈斯图为图34―2bA236122436〈A整除〉的哈斯图为图34―3cA1212〈A整除〉的哈斯图为图34―4定义34―2设〈A≤〉是一偏序集合B是A的子集a元素b∈B是B的最大元素如果对每一元素x∈Bx≤bb元素b∈B是B的最小元素如果对每一元素x∈Bb≤x例3考虑在偏序整除下整数1到6的集合其哈斯图为图34―5a如果B1236那么1是B的最小元素6是B的最大元素b如果B23因为2和3互相不能整除那么B没有最小元素和最大元素c如果B4那么4是B的最大元素也是B的最小元素定理34―1设〈A≤〉是一偏序集合且BA如果B有最大最小元素那么它是唯一的证假设a和b都是B的最大元素那么a≤b和b≤a从≤的反对称性得到ab当a和b都是B的最小元素时证明是类似的定义34―3设〈A≤〉是一偏序集合B是A的子集a如果b∈B且B中不存在元素x使b≠x且b≤x那么元素b∈B叫做B的极大元素b如果b∈B且B中不存在元素x使b≠x且x≤b那么元素b∈B叫做B的极小元素定义34―4设〈A≤〉是一偏序集合B是A的子集a如果对每一b∈Bb≤a那么元素a∈A叫做B的上界如果对每一b∈Ba≤b那么元素a∈A叫做B的下界b如果a是一上界并且对每一B的上界a′有a≤a′那么元素a∈A叫做B的最小上界记为lub如果a是一下界并且对每一B的下界a′有a′≤a那么元素a∈A叫做B的最大下界记为glb例34-4a考虑偏序集合〈〈11〉〈10〉〈01〉〈00〉≤〉这里≤按〈ab〉≤〈cd〉a≤c∧b≤d规定其哈斯图如图34―6如果B〈10〉那么〈10〉是B的最小和最大元素也是B的极大和极小元素B的上界是〈10〉和〈11〉〈10〉是最小上界B的下界是〈00〉和〈10〉〈10〉是最大下界b考虑偏序集合〈I≤〉设B2i｜i∈N那么B既没有最大元素和极大元素也没有上界和最小上界B的最小元素和极小元素是0B的下界集合是i｜i∈I∧i≤00是最大下界c考虑在偏序集合〈256101530整除〉其哈斯图如图34―7设B是全集合256101530那么2和5都是B的极小元素但B没有最小元素集合B没有下界所以没有最大下界元素30是B的最大元素极大元素上界最小上界定理34―2如果〈A≤〉是非空有限的偏序集合则A的极小大元素常存在最大下界和最小上界也可能存在或不存在但如果它们存在则是唯一的定理34―3设〈A≤〉是偏序集合且BA如果B的最小上界最大下界存在那么是唯一的下述定理描述了存在于诸特异元素之间的某些关系定理34―4设〈A≤〉是偏序集合B是A的子集a如果b是B的最大元素那么b是B的极大元素b如果b是B的最大元素那么b是B的lubc如果b是B的一个上界且b∈B那么b是B的最大元素证明可由最大元素极大元素和lub的定义直接得出故略去另外读者不难给出表达最小元素极小元素和glb间关系的定理342拟序集合定义34―5如果集合A上的二元关系R是传递的和反自反的那么R叫做A上的拟序〈AR〉称为拟序集合常借用符号＜表示拟序拟序是反对称的虽然定义中没有明确指出但容易证明这一点因为如果xRy和yRx由R的传递性得xRx但这与R的反自反性矛盾所以xRy∧yRx常假于是xRy∧yRx→xy常真即R是反对称的例34-5a实数集合中的＜是拟序关系b集合族中的真包含是拟序关系拟序集合和偏序集合是紧密相关的唯一区别是相等关系E下述定理将说明这一点定理34―5在集合A上a如果R是一拟序那么rRR∪E是偏序b如果R是一偏序那么R-E是一拟序343线序集合和良序集合如果≤是一偏序或a≤b或b≤a我们说a和b是可比较的偏序集合中的元素不一定都可比较所以叫偏序下面介绍的都是可比较的情况定义34―6在偏序集合〈A≤〉中如果每一ab∈A或者a≤b或者b≤a那么≤叫做A上的线序或全序这时的序偶〈A≤〉叫做线序集合或链例34-6aPa