高考数学文一轮复习讲练测专题91 直线的方程 讲答案解析.docx

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高考数学文一轮复习讲练测专题91直线的方程讲答案解析

一、【课前小测摸底细】

1.【课本典型习题】经过点

、

的直线的斜率等于1，则

的值为（　　）

A、1　　B、4　　C、1或3　　D、1或4

【答案】A

【解析】由斜率公式得

，故选A.

2.【2016年北京卷】已知A（2,5），B（4,1）.若点P（x,y）在线段AB上，则2x−y的最大值为

（A）−1（B）3（C）7（D）8

【答案】C

【解析】由题意得，线段AB的方程：

，

，

∴

，当

时等号成立，即

的最大值为7，故选C.

3.【【百强校】2016届湖北襄阳四中高三六月全真模拟】直线过点

，且不经过第四象限，那么直线的斜率的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

4.【基础经典试题】已知直线

：

，则

倾斜角的范围是.

【答案】

∪

.

5.【基础经典试题】直线

的倾斜角的大小是．

【答案】

【解析】

试题分析：

由直线方程可知其斜率为

，设其倾斜角为

，则

，因为

，所以

.

6.【基础经典试题】

（1）已知直线过点

，求直线的斜率和倾斜角.；

（2）已知直线过点

，求直线的斜率和倾斜角的范围．

（3）已知

两点，直线

过点

且与线段

相交，直线

的斜率

的取值范围是.

【答案】

（1）

；

（2）

；（3）

.

（3）在坐标系内作出

，

三点（如图所示），

直线

的斜率为

，直线

的斜率为

.由图可知直线

的斜率

的取值范围是：

.

二、【考点深度剖析】

高考对直线方程的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握直线方程的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：

一是考查直线的斜率与倾斜角，二是考查直线方程的几种形式．

三、【经典例题精析】

考点1直线的倾斜角与斜率

【1-1】经过两点A（4,2y＋1），B（2，－3）的直线的倾斜角为

，则y＝（　　）

A.－1B.－3C.0D.2

【答案】

【1-2】【【百强校】2015-2016学年广东仲元中学】直线

的倾斜角为

，则

=．

【答案】

【解析】因为直线

的倾斜角为

，

所以

，

．

【课本回眸】

1．直线的倾斜角

①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l向上的方向之间所成的角

叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

②范围：

倾斜角

的范围为

．

2．直线的斜率

①定义．一条直线的倾斜角

的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即

，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线

与x轴平行或重合时,

.

②过两点的直线的斜率公式．经过两点

的直线的斜率公式为

.

3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．

4.直线的倾斜角

、斜率k之间的大小变化关系：

（1）当

时，

越大，斜率越大；

（2）当

时，

越大，斜率越大.

【方法规律技巧】

1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tanx的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制；

2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y＝tanx的单调性求k的范围．

【新题变式探究】

【变式一】坐标平面内有相异两点

，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是

A．

B．

C．

D．

【答案】

【解析】

，且

.设直线的倾斜角为

，当

时，则

，所以倾斜角

的范围为

.当

时，则

，所以倾斜角

的范围为

.

【变式二】已知

两点，直线

过点

且与线段

相交，直线

的斜率

的取值范围是.

【答案】

【综合点评】

1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用

求倾斜角.

2.求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．

考点2直线的方程

【2-1】三角形的顶点是A（-5，0）、B（3，-3）、C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程．

【答案】

【2-2】已知点A（-3，-1），B（1，5），直线

过线段AB的中点，且在

轴上的截距是它在

轴上的截距的2倍.求直线

的方程．

【答案】

【课本回眸】

1.直线的点斜式方程：

直线

经过点

，且斜率为

，则直线

的方程为：

.这个方程就叫做直线点斜式方程.

特别地，直线

过点

，则直线

的方程为：

.这个方程叫做直线的斜截式方程.

2.直线的两点式方程

直线

过两点

其中

，则直线

的方程为：

.这个方程叫做直线的两点式方程.

当

时，直线与

轴垂直，所以直线方程为：

；当

时，直线与

轴垂直，直线方程为：

.

特别地，若直线

过两点

，则直线

的方程为：

，这个方程叫做直线的截距式方程.

3.直线的一般式方程

关于

的二元一次方程

（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.

由一般式方程可得，B不为0时，斜率

，截距

.

【方法规律技巧】

求直线方程的常用方法有

1.直接法：

根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．

2.待定系数法：

先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程（组）求系数，最后代入求出直线方程．

3.直线在x（y）轴上的截距是直线与x（y）轴交点的横（纵）坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．

【新题变式探究】

【变式一】直线

过点

，若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线

的方程.

【答案】

或

.

【变式二】将直线

绕点

按逆时针方向旋转

，求所得直线的方程.

【答案】

【解析】直线

的倾斜角为

，点

直线

上，绕点

按逆时针方向旋转

，所得直线的倾斜角为

，其斜率为

，所以由点斜式方程得，

.即为所求.

【综合点评】求直线的方程有以下两种常用的方法：

直接法和待定系数法.直接法就是利用方程的形式直接写出直线的方程；待定系数法是用字母表示某些量，把方程设出来，然后再根据题设把这些量求出来，从而得到直线的方程的方法.

四、【易错试题常警惕】

易错典例：

设直线l的方程为

．

（1）若

在两坐标轴上截距相等，求

的方程；

（2）若

不经过第二象限，求实数

的取值范围．

易错分析：

易忽视截距均为

的情况而失解．

正确解析：

（1）当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴

，方程即为

.

当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，

∴

＝

，即

方程即为

.综上，

的方程为

.

温馨提醒：

涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为

的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.

五、【学科素养提升之思想方法篇】

数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想

我国著名数学家华罗庚曾说过:

"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。

我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：

第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.

【典例】【【百强校】2016届湖北省襄阳五中高三5月高考模拟】已知点P在直线

上，点Q在直线

上，线段PQ的中点

，且

，则

的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D