数列知识点总结和题型归纳总结.docx
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数列知识点总结和题型归纳总结
高三总复习
数列
一、数列的概念
（1）数列定义：
按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位
置的叫第2项，⋯⋯，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作an；数列的一般形式：
a1，a2，a3，⋯⋯，an，⋯⋯，简记作an。
例：
判断下列各组元素能否构成数列
（1）a,-3,-1,1,b,5,7,9;
（2）2010年各省参加高考的考生人数。
（2）通项公式的定义：
如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如：
①：
1，2，3，4，5，⋯
1111
②：
1，，，，⋯
2345
数列①的通项公式是an=
n（n
7，nN），
数列②的通项公式是an=
1（n
n
N）。
说明：
①an表示数列，an表示数列中的第n项，an=fn表示数列的通项公式；
1,n2k1
②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，an=
（1）n=（kZ）；
1,n2k
③不是每个数列都有通项公式。
例如，1，，，，⋯⋯
（3）数列的函数特征与图象表示：
序号：
123456
项：
456789
上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数f（n）当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值f
（1）,f
（2）,f（3）,⋯⋯，f（n），⋯⋯．通常用an来代替fn，其图象是一群孤立点。
例：
画出数列an2n1的图像.
（4）数列分类：
①按数列项数是有限还是无限分：
有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：
单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
例：
下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列
（1）1，2，3，4，5，6，⋯
（2）10,9,8,7,6,5,⋯
S1（n1）
SnSn1（n≥2）
（3）1,0,1,0,1,0,⋯（4）a,a,a,a,a,⋯5）数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：
an
例：
已知数列{an}的前n项和sn2n23，求数列{an}的通项公式
练习：
1．根据数列前4项，写出它的通项公式：
（1）1，3，5，7⋯⋯；
221
，32
1，421，
521
2）
2
3
4
5
3）
1
1
，1
1
，，
。
1*2
2*3
3*4
4*5
4）
9，99，
999，
9999⋯
（6）8,88,888,8888⋯
2．数列an中，已知an
n2n
1（n
N）
1）写出a1,，a2，a3，
an1，an2；
5）7，77，777，7777，
2
2）792是否是数列中的项若是，是第几项
3
3．（2003京春理14，文15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内。
4、由前几项猜想通项：
根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式
1）（4）（7）
5.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，
10条直线相交，交点的个数最多是（
），其通项公式
2条直线相交，最多有1个交点、等差数列
3条直线相交，最多有3个交点
个交点
题型一、等差数列定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这
个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
用递推公式表示为anan1d（n2）或an1and（n1）。
ab
2
a，A，b成等差数列Aab即：
2an1anan2
2
例：
1．（14全国I）设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a3
A．120B．105C．90
2an
anmanm）
15，a1a2a3
D．75
80，则a11a12
a13
2.设数列{an}是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为
48，则它的首项是（
A．1
.2C
题型四、等差数列的性质：
1）
在等差数列
an
中，
在等差数列
an
中，
在等差数列
an
中，
在等差数列
an
中，
2）
3）
4）
对任意m，nN，an
若m，n，p，q
从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
相隔等距离的项组成的数列是等差数列；
am（nm）d，
anam（mn）；nm
题型五、等差数列的前n和的求和公式：
Sn
N且
q，则am
anap
aq；
（SnAn2Bn（A,B为常数）
an
递推公式：
Sn（a1an）n
2
（am
例：
1.如果等差数列中，a3
a4a5
A）14
B）
21
2.
2015湖南卷文）设是等差数列的前
A．
13
B．35
3.
n（a1
2
an）
na1
n（n1）d
12
n
2
a1d）
2
n。
是等差数列
an（m1））n
2
12，那么
a1
a2
a7
C）
28
D）
35
2015全国卷Ⅰ理）设等差数列的前
n项和，已知
C．49
n项和为，若
a2
3，
a6
11，
D．
则等于
63
S9
72,则a2a4a9=
例：
等差数列an2n1，anan1
说明：
等差数列（通常可称为
AP数列）的单调性：
d
0为递增数列，
d
0为常数列，
d
0为递减数列。
例：
1.已知等差数列
an
中，a7
a916，a4
1，
则a12等于（
）
A．15B．
30
C．31
D．64
2.{an}是首项a1
1，
公差d
3的等差数列，
如果an2005，
则序号
n等于
（A）667
（B）
668
（C）669
（D）670
3.等差数列an
2n
1,bn
2n1，则an
为
b
n为
（填
“递增数列”或
“递减数列”）
题型三、等差中项的概念
：
题型二、等差数列的通项公式：
ana1（n1）d；
定义：
如果a，A，b成等差数列，那么
A叫做a与b的等差中项。
其中A
4.（2015重庆文）
（2）在等差数列中，a1a910，则的值为（）
A）5
B）6
C）8
D）10
5.若一个等差数列前项
3项的和为34，最后3项的和为
项项
146，且所有项的和为
项
390，则这个数列有（
6.已知等差数列
an的前n项和为Sn，若S12
21，则a2a5a8a11
7.（2014全国卷Ⅱ理）设等差数列的前n项和为，若a55a3则9
S5
8．（2014全国）已知数列｛bn｝是等差数列，b1=1，b1+b2+⋯+b10=100.（Ⅰ）求数列｛bn｝的通项bn；
9.已知an数列是等差数列，a1010，其前10项的和S1070，则其公差d等于（）
2112
A．B．C.D.
3333
10.（2015陕西卷文）设等差数列的前n项和为,若a6s312,则
11．（2013全国）设｛an｝为等差数列，
Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛Sn｝
n
的前n项和，求Tn。
12.等差数列an的前n项和记为Sn，已知a1030，a2050
①求通项an；②若Sn=242，求n
13.在等差数列｛an｝中，
（1）已知S8
48,S12168,求a1和d；
（2）已知a610,S55,求a8和S8；（3）已知a3a1540,求S17
题型六.对于一个等差数列：
（1）若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶S奇nd；②S奇an；
S偶an1
S奇n
（2）若项数为奇数，设共有2n1项，则①S奇S偶ana中；②奇S偶n1
题型七.对与一个等差数列，Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等差数列。
例：
1.等差数列｛an｝的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）B.170
2.一个等差数列前
n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为
3．已知等差数列
an的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为
4.设Sn为等差数列an的前n项和，S414，S10S7
30，则S9=
5．（2015全国II）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若3S6
13，则
S6
311
A．B．C．
1038
题型八．判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
D．
an1and（常数）（nN）
an是等差数列
②中项法：
2an1anan2（nN）
a是等差数列
an是等差数列
③通项公式法：
anknb（k,b为常数）
a是等差数列
an是等差数列
④前n项和公式法：
SnAn2Bn（A,B为常数）
an是等差数列
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列也不是等比数列
D.无法判断
2.已知数列{an
}的通项为an2n5，则数列{an}为（）
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列也不是等比数列
D.无法判断
3.已知一个数列
{an}的前n项和
2
sn2n24，则数列{an}为（
）
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列也不是等比数列
D.无法判断
4.已知一个数列
{an}的前n项和
2
sn2n2，则数列{an}为（）
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列也不是等比数列
D.无法判断
5.已知一个数列
{an}满足an2
2an1an0，则数列{an}为（
）
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列也不是等比数列
D.无法判断
例：
1.已知数列{an}满足anan12，则数列{an}为（）
6.数列an满足a1=8，a4
an
且an22an1
0（n
N）
2，
①求数列an的通项公式；
7．（14天津理，2）设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（）
A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列
C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列
题型九.数列最值
（1）a10，d0时，Sn有最大值；a10，d0时，Sn有最小值；
2
（2）Sn最值的求法：
①若已知Sn，的最值可求二次函数Snanbn的最值；
an0或an0
an10an10
项的和最大。
可用二次函数最值的求法（nN）；②或者求出中的正、负分界项，即：
若已知an，则Sn最值时n的值（nN）可如下确定
例：
1．等差数列an中，a10，S9S12，则前
2．设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，S120，S130①求出公差d的范围，
②指出S1，S2，，S12中哪一个值最大，并说明理由。
3．（12上海）设{an}（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则下列结论错误．的是（）
<0＝0C.S9>S5与S7均为Sn的最大值
4．已知数列
an
的通项
n98
n99
N），则数列an的前30项中最大项和最小项分别是
5.已知{an}是等差数列，其中a131，公差d8。
1）数列{an}从哪一项开始小于0
2）求数列{an}前n项和的最大值，并求出对应n的值．
6.已知{an}是各项不为零的等差数列，其中a10，公差d0，若S100,求数列{an}前n项和的最大值．
7.在等差数列{an}中，a125，S17S9，求Sn的最大值．
题型十.利用anS1（n1）求通项．
nSnSn1（n2）
2
1.数列{an}的前n项和Sn
3）你能写出数列
n21．
（1）试写出数列的前5项；
（2）数列{an}是等差数列吗（
{an}的通项公式吗
2．已知数列an的前n项和Sn
n24n1，则
3.设数列{an}的前n项和为Sn=2n2，求数列{an}的通项公式；
1
4.已知数列an中，a13，前n和Sn（n1）（an1）1
2
①求证：
数列an是等差数列
②求数列an的通项公式
2
5.（2015安徽文）设数列的前n项和Snn2，则的值为（）
（A）15（B）16（C）49（D）64
等比数列
等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二．项．起．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：
an1：
anq（q0）。
、递推关系与通项公式递推关系：
an1anq通项公式：
ana1qn1推广：
anamqnm
1．在等比数列an中,a1
2．在等比数列an中,a7
3.（2014重庆文）在等比数列
（A）2（B）3
4,q2，则an
12,q32,则a19.
{an}中，a2＝8，a1＝64，，则公比q为（）
（C）4（D）8
4.在等比数列an中，a2
2，a554，则a8=
5.在各项都为正数的等比数列
{an}中，首项a13，前三项和为21，则a3a4a5（）
A33B72
84
D189
二、等比中项：
若三个数a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为b
ac，注：
b2ac是成等
比数列的必要而不充分条件
例：
1.23和23的等比中项为
（A）1
（B）1
（C）1
（D）2
2.（2013重庆卷文）
设是公差不为
0的等差数列，a1
2且a1,a3,a6成等比数列，则的前n项和=（）
n27n
A．
44
2nB．
3
5n
3
2
n23nC．
24
2
D．nn
三、等比数列的基本性质，
1.
（1）若mnp
q，则am
an
ap
aq（其中m,n,p,qN）
2）
nmqnm
，ananmanm（nN）am
3）
an
为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列
4）
an
既是等差数列又是等比数列
an是各项不为零的常数列
例：
1．
在等比数列
2
an中,a1和a10是方程2x
5x10的两个根,则a4a7
log2a1
（A）52
（B）22
（C）
1
（D）12
2.在等比数列
3.在等比数列
①求an
②若Tn
4.等比数列
A．12
an，已知
an中，a1
lga1lga2
a1
a6
5，a9a10
33，a3a4
lgan,求Tn
100，则a18=
32，anan1
{an}的各项为正数，且a5a6a4a718,则log3a1log3a2L
B．10C．8D．2+log35
5.（2014广东卷理）已知等比数列满足
log2a3L
log2a2n1
an
0,n1,2,L，且a5a2n
log3a10（）
2（n3），则当时，
A.n（2n
1）
B.（n1）2
C.
D.
（n1）2
2.前n项和公式
na1
Sna1（1qn）
1q
（q1）a1anq
1q
例：
1.已知等比数列
{an}的首相
a1
2.已知等比数列
{an}的首相
a1
（q
1）
5，公比q
5，公比q
2，
1
，当项数n趋近与无穷大时，其前n项
2
则其前n项和Sn
和Sn
3.设等比数列{an}的前n项和为
Sn，已a2
6,6a1a330，求an和Sn
4．（2015年北京卷）设f（n）22427210L23n10（nN），则f（n）等于（）
A．2（8n1）B．2（8n11）C．2（8n31）D．2（8n41）
7777
5．（2014全国文，21）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；
6．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为.
3.若数列an是等比数列，
Sn是其前n项的和，kN
，那么Sk，S2kSk，S3k
S2k成等比数列.
例：
1.（2014辽宁卷理）
设等比数列
{}的前n项和为，
S6S9
S3=3，则S6
A.2
B.
C.
2.一个等比数列前
A．83
B．
n项的和为48，前2n项的和为
108C．
60，
则前3n项的和为（
75
D．63
3.已知数列an
是等比数列，且
Sm10，S2m
30，
则S3m
4.等比数列的判定法
1）
定义法：
an1
an
q（常数）
an为等比数列；
2
2）中项法：
an1anan2（an0）an为等比数列；
3）通项公式法：
ankqn（k,q为常数）an为等比数列；
4）前n项和法：
Snk（1qn）（k,q为常数）an为等比数列。
Sn
kkqn（k,q为常数）an为等比数列。
例：
1.已知数列{an
}的通项为an2
n，则数列{an}为（）
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列也不是等比数列
D.无法判断
2.已知数列{an
2
}满足an1an
an2（an0），则数列{an}为（
）
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列也不是等比数列
D.无法判断
3.已知一个数列
{an}的前n项和
sn22n1，则数列{an}为（）
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列也不是等比数列
D.无法判断
5.利用anS1（n1）求通项．
nSnSn1（n2）
1
例：
1.（2015北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an1Sn，n=1，2，3，⋯⋯，求a2，a3，a4
3
的值及数列{an}的通项公式．
2.（2015山东卷）已知数列an的首项a15,前n项和为Sn，且Sn1Snn5（nN*），证明数列an1是等比数列．
四、求数列通项公式方法
（1）．公式法（定义法）
根据等差数列、等比数列的定义求通项
例：
1已知等差数列{an}满足：
a37,a5a726，求an；
2.已知数列{an}满足a12,anan11（n1），求数列{an}的通项公式；
3.数列an满足a1=8，a42，且an22an1an0（nN），求数列an的通项公式；
2，求数列an的通项公式；
an
4.已知数列{an}满足a12,
an1
5.设数列{an}满足a1
1an1
1，求{an}的通项公式
1an
6.已知数列{an}满足an1
n,a11，求数列{an}的通项公式。
an21
2
7.等比数列{an}的各项均为正数，且2a13a21，a329a2a6，求数列{an}的通项公式
8.已知数列{an}满足a1
2,an3an1（n1），求数列{an}的通项公式；
nN），求数列an的通项公式；
10.已知数列{an}满足a1
2，且an15n12（an5n）（n
N），求数列an的通项公式；
11.已知数列{an}满足a1
n1
2，且an152n12
3（an52n2）（n
N），求数列an的通项公式；
12.数列已知数列an满足a1
2,an
4an11（n
1）.则数列an的通项公式=
9.已知数列{an}满足a12，a24且an2anan1
2）累加法
1、累加法适用于：
an1anf（n）
a2
a1
f
（1）
若an1anf（n）（n
a3
a2
f
（2）
2），则3
L
an1
an
f（n）
两边分别相
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