数列知识点总结和题型归纳总结.docx

1、数列知识点总结和题型归纳总结高三总复习数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 an ，在数列第一个位置的项叫第 1 项（或首项），在第二个位置的叫第 2 项，序号为 n 的项叫第 n 项（也叫通项）记作 an； 数列的一般形式： a1， a2， a3 ， an ，简记作 an 。例：判断下列各组元素能否构成数列（1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;（2）2010 年各省参加高考的考生人数。（2）通项公式的定义：如果数列 an 的第 n项与 n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 叫这个数列的通项公式。例

2、如： ： 1 ，2 ，3 ， 4， 5 ，1111 ：1， ， 2345数列 的通项公式是 an =n(n7， n N ），数列 的通项公式是 an =1(nnN ）。说明： an 表示数列， an 表示数列中的第 n 项， an = f n 表示数列的通项公式；1,n 2k 1 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如， an = （ 1）n= （k Z） ；1,n 2k不是每个数列都有通项公式。例如， 1，（3）数列的函数特征与图象表示：序号： 1 2 3 4 5 6项 ： 4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。 从函数观点看， 数

3、列 实质上是定义域为正整数集 N （或它的有限子集）的函数 f （n）当自变量 n 从 1 开始依次取值时对应的一系列 函数值 f （1）, f （2）, f （3）, ， f （n） ，通常用 an 来代替 f n ，其图象是一群孤立点。例：画出数列 an 2n 1的图像 .（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关 系分：单调数列（递增数列、递减数列） 、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列（1）1，2，3，4，5，6， （2）10, 9, 8, 7, 6, 5, S1 (n 1)Sn Sn 1(n 2)

4、（3） 1, 0, 1, 0, 1, 0, （4）a, a, a, a, a, 5）数列 an的前 n项和 Sn与通项 an的关系： an例：已知数列 an的前 n项和sn 2n2 3，求数列 an的通项公式练习：1根据数列前 4 项，写出它的通项公式： （1）1，3，5，7；22 1， 321， 42 1，52 12）23453）11，11，。1*22*33*44*54）9，99，999，9999(6)8, 88, 888, 8888 2数列 an 中，已知 ann2 n1(nN)1）写出 a1, ，a2， a3，an 1 ， an2 ；5）7，77，777，7777，22 ） 79 2 是

5、否是数列中的项若是，是第几项33（ 2003 京春理 14，文 15）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内。4、由前几项猜想通项：根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式1） （ 4） （ 7）5.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10 条直线相交，交点的个数最多是（），其通项公式2 条 直 线 相 交，最多有 1 个交点 、等差数列3 条 直 线相 交，最多有 3 个交点个交点题型一 、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于

6、同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。用递推公式表示为 an an 1 d（n 2） 或 an 1 an d（n 1）。ab2a ， A， b成等差数列 A a b 即： 2an 1 an an 22例：1（ 14 全国 I）设 an 是公差为正数的等差数列， 若 a1 a2 a3A120 B105 C 902anan m an m )15 ，a1a2a3D 7580 ，则 a11 a12a132.设数列 an 是单调递增的等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为48，则它的首项是（A1.2 C题型四 、等差数列的性质：1）在等差数列an

7、中，在等差数列an中，在等差数列an中，在等差数列an中，2）3）4）对任意 m ， n N ， an若 m，n， p，q从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列；am (n m)d ，an am (m n) ； nm题型五 、等差数列的前 n 和的求和公式：SnN且q ，则 aman apaq；(Sn An2 Bn (A,B为常数 )an递推公式： Sn (a1 an )n2(am例： 1.如果等差数列中， a3a4 a5A)14B）212.2015 湖南卷文）设是等差数列的前A13B353.n(a12an)na1n(n 1) d12n2a1 d )2

8、n。是等差数列an (m 1) )n212，那么a1a2a7C）28D）352015 全国卷理） 设等差数列的前n 项和，已知C49n 项和为，若a23，a611，D则等于63S972,则 a2 a4 a9 =例：等差数列 an 2n 1，an an 1说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d0为递增数列，d0 为常数列，d0 为递减数列。例： 1.已知等差数列an中， a7a9 16， a41，则 a12 等于（）A15 B30C31D 642.an 是首项 a11，公差 d3的等差数列，如果 an 2005 ，则序号n 等于(A) 667（B）668（C）669(D) 6703

9、.等差数列 an2n1,bn2n 1 ，则 an为bn为（填“递增数列”或“递减数列” ）题型三 、等差中项的概念：题型二 、等差数列的通项公式： an a1 （n 1）d ；定义：如果 a ， A，b 成等差数列，那么A 叫做 a 与 b 的等差中项。其中 A4.（2015 重庆文）（2）在等差数列中， a1 a9 10 ，则的值为（ ）A)5B)6C)8D)105.若一个等差数列前 项3 项的和为 34 ，最后 3 项的和为项项146，且所有项的和为项390，则这个数列有（6.已知等差数列an 的前 n项和为 Sn ，若 S1221，则 a2 a5 a8 a117.（2014 全国卷理）设

10、等差数列的前 n 项和为，若 a5 5a3则 9S58（2014 全国）已知数列 bn是等差数列， b1=1，b1+b2+ +b10=100. （）求数列 bn的通项 bn；9.已知 an 数列是等差数列， a10 10，其前 10项的和 S10 70 ，则其公差 d等于（ ）2 1 1 2A B C. D.3 3 3 310.（2015陕西卷文）设等差数列的前 n项和为 ,若a6 s3 12,则11（2013 全国） 设 an为等差数列，Sn为数列 an的前 n项和，已知 S77，S1575，Tn为数列 Sn n的前 n 项和，求 Tn。12.等差数列 an 的前 n项和记为 Sn ，已知

11、a10 30，a20 50求通项 an ；若 Sn =242，求 n13.在等差数列 an 中，（ 1）已知 S848, S12 168,求a1和d ；(2)已知 a6 10,S5 5,求a8和S8 ；(3)已 知 a3 a15 40,求 S17题型六 .对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有 2n项，则 S偶 S奇 nd； S奇 an ；S偶 an 1S奇 n（2）若项数为奇数，设共有 2n 1项，则 S奇 S偶 an a中； 奇 S偶 n 1题型七 .对与一个等差数列， Sn ,S2n Sn ,S3n S2n 仍成等差数列。例： 1.等差数列 an的前 m 项和为 30，前 2m 项

12、和为 100 ，则它的前 3m 项和为（ ） B.1702.一个等差数列前n 项的和为 48，前 2n 项的和为 60 ，则前 3n 项的和为3已知等差数列an 的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10 ，则前 110 项和为4.设Sn为等差数列 an 的前n项和， S4 14，S10 S730，则 S9 =5（2015全国 II）设 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若 3 S613，则S63 1 1A B C10 3 8题型八 判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：Dan 1 an d （常数）（ n N ）an 是等差数列中项法：2an 1 an an 2 （ n N

13、 ）a 是等差数列an 是等差数列通项公式法：an kn b （k,b为常数 ）a 是等差数列an 是等差数列前 n 项和公式法：Sn An2 Bn （ A, B为常数 ）an 是等差数列A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列 an的通项为 an 2n 5，则数列 an 为 （ ）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列an 的前 n项和2sn 2n2 4，则数列 an 为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断4.已知一个数列an 的前 n项和2sn 2n2，则数列 an 为

14、（ ）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5.已知一个数列an 满足 an 22an 1 an 0，则数列 an 为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断例： 1.已知数列 an满足an an1 2，则数列 an为 （ ）6. 数列 an 满足 a1 =8， a4an且 an 2 2an 10 （ nN）2，求数列 an 的通项公式；7（14天津理， 2）设 Sn是数列an的前 n 项和，且 Sn=n2，则an是（ ）A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等

15、差数列题型九 .数列最值（1）a1 0，d 0时， Sn有最大值； a1 0，d 0时， Sn有最小值；2（2） Sn 最值的求法： 若已知 Sn ，的最值可求二次函数 Sn an bn 的最值；an 0 或 an 0an 1 0 an 1 0项的和最大。可用二次函数最值的求法（ n N ）； 或者求出中的正、负分界项，即： 若已知 an ，则 Sn最值时 n 的值（ n N ）可如下确定例： 1等差数列 an 中， a1 0，S9 S12 ，则前2设等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，已知 a3 12，S12 0，S13 0 求出公差 d 的范围，指出 S1， S2， ， S12 中哪一

16、个值最大，并说明理由。3（12 上海）设 an（nN*）是等差数列， Sn 是其前 n 项的和，且 S5 S8，则下列结论错误 的是（ ） S5 与 S7 均为 Sn的最大值4已知数列an的通项n 98n 99N ），则数列 an 的前 30 项中最大项和最小项分别是5.已知 an 是等差数列，其中 a1 31，公差 d 8。1）数列 an 从哪一项开始小于 02）求数列 an 前 n项和的最大值，并求出对应 n的值6.已知an是各项不为零的等差数列， 其中 a1 0，公差d 0 ，若S10 0 ,求数列 an前n项和的最大值7.在等差数列 an中， a1 25 ， S17 S9，求 Sn的最

17、大值题型十 .利用 an S1 ( n 1) 求通项n Sn Sn 1 (n 2)21.数列 an 的前 n 项和 Sn3）你能写出数列n2 1（1）试写出数列的前 5项；（2）数列 an 是等差数列吗（ an 的通项公式吗2已知数列 an 的前 n 项和 Snn 2 4n 1，则3.设数列 an 的前 n 项和为 Sn=2n2，求数列 an 的通项公式；14.已知数列 a n 中， a1 3，前 n和 Sn （n 1）（ a n 1） 12求证：数列 an 是等差数列求数列 an 的通项公式25.（2015 安徽文）设数列的前 n 项和 Sn n2 ，则的值为（ ）（A） 15 （B） 16

18、 （C） 49 （D） 64等比数列等比数列定义一般地， 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ，那么这个数列就叫做等比数 列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q表示（q 0），即： an1：an q（q 0）。、递推关系与通项公式 递推关系： an 1 anq 通项公式： an a1 qn 1 推广： an am qn m1 在等比数列 an 中,a12 在等比数列 an 中,a73.（ 2014 重庆文）在等比数列（ A）2 （B） 34,q 2 ，则 an12,q 3 2 ,则a19 .an中，a28，a164，则公比 q 为（ ）（ C） 4 （ D

19、） 84.在等比数列 an 中， a22 ， a5 54 ，则 a8 =5.在各项都为正数的等比数列an 中，首项 a1 3 ，前三项和为 21，则 a3 a4 a5 （ ）A 33 B 7284D 189二、等比中项：若三个数 a, b, c成等比数列，则称 b 为 a与c的等比中项，且为 bac，注： b2 ac 是成等比数列的必要而不充分条件例：1.2 3 和2 3 的等比中项为(A)1(B) 1(C) 1(D)22.（2013 重庆卷文）设是公差不为0 的等差数列， a12且 a1,a3,a6成等比数列， 则的前 n项和=（ ）n2 7nA442 n B35n32n2 3n C242D

20、 n n三、等比数列的基本性质，1.(1) 若m n pq，则 amanapaq (其中 m,n,p,q N )2)nm q n m， an an m an m (n N ) am3)an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列4)an既是等差数列又是等比数列an 是各项不为零的常数列例：1在等比数列2an 中,a1和 a10是方程 2x5x 1 0的两个根 ,则 a4 a7log2 a1(A) 52(B) 22(C)1(D)122. 在等比数列3.在等比数列求 an若 Tn4.等比数列A12an ，已知an 中， a1lga1 lga2a1a65， a9a1033， a3 a4lg a

21、n,求 Tn100 ，则 a18 =32， an an 1an 的各项为正数，且 a5a6 a4a7 18,则log 3 a1 log3 a2 LB10 C8 D 2+ log3 55.( 2014 广东卷理) 已知等比数 列满足log2 a3 Llog 2 a2n 1an0,n 1,2,L ， 且 a5 a2nlog3 a10 ( )2 (n 3) ， 则 当 时 ，A. n(2n1)B. (n 1)2C.D.(n 1)22.前 n 项和公式na1Sn a1(1 qn)1q(q 1) a1 anq1q例： 1.已知等比数列an 的首相a12.已知等比数列an 的首相a1(q1)5 ，公比 q

22、5 ，公比 q2，1，当项数 n 趋近与无穷大时，其前 n 项2则其前 n 项和 Sn和Sn3.设等比数列 an 的前 n 项和为Sn ，已 a26, 6a1 a3 30，求 an和 Sn4（2015 年北京卷）设 f（n） 2 24 27 210 L 23n 10（n N） ，则 f（n） 等于（ ）A 2 （8n 1） B 2 （8n 1 1） C 2 （8n 3 1） D2（8n4 1）7 7 7 75（2014 全国文， 21）设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S3S62S9，求数列的公比 q；6设等比数列 an 的公比为 q，前 n项和为 Sn，若 Sn+1,Sn，Sn+2

23、成等差数列，则 q 的值为 .3.若数列 an 是等比数列，Sn是其前 n 项的和， k N，那么 Sk ， S2k Sk ， S3kS2k 成等比数列 .例： 1.（2014 辽宁卷理）设等比数列 的前 n 项和为，S6 S9S3 =3 ，则 S6A. 2B.C.2.一个等比数列前A83Bn 项的和为 48 ，前 2n 项的和为108 C60，则前 3n 项的和为（75D633.已知数列 an是等比数列，且Sm 10， S2m30，则 S3m4.等比数列的判定法1）定义法： an 1anq（常数）an 为等比数列；22）中项法： an 1 an an 2 （an 0） an 为等比数列；3）

24、通项公式法： an k qn （ k , q为常数） an 为等比数列；4）前 n项和法： Sn k（1 qn ）（k,q为常数） an 为等比数列。Snk kqn （k,q为常数） an 为等比数列。例： 1.已知数列 an 的通项为 an 2n，则数列 an 为 （ ）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列 an2 满足 an 1 anan 2 (an 0) ，则数列 an 为 (）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列an 的前 n项和sn 2 2n 1，则数列 an 为（ ）A.等差数列B.等比数列

25、C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5.利用 an S1 （n 1） 求通项n Sn Sn 1 （n 2）1例： 1.（ 2015 北京卷）数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， an 1 Sn ，n=1，2，3，求 a2，a3，a43的值及数列 an的通项公式2.（ 2015山东卷）已知数列 an 的首项 a1 5,前n项和为 Sn ，且Sn 1 Sn n 5（n N * ） ，证明数列 an 1 是等比数列四、求数列通项公式方法（1） 公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例： 1已知等差数列 an满足： a3 7,a5 a7 26， 求an；2.已知数列 a

26、n满足a1 2,an an1 1（n 1） ，求数列 an的通项公式；3.数列 an 满足a1 =8， a4 2，且an 2 2an 1 an 0 （n N ），求数列 an 的通项公式；2 ，求数列 an 的通项公式；an4.已知数列 an满足 a1 2,a n 15.设数列 an满足 a11 an 11 ，求 an 的通项公式1 an6.已知数列 an满足an 1n ,a1 1，求数列 an 的通项公式。 an 2 127.等比数列 an 的各项均为正数，且 2a1 3a2 1， a32 9a2a6，求数列 an的通项公式8.已知数列 an满足 a12,an 3an 1(n 1) ，求数列

27、 an 的通项公式；n N ），求数列 an 的通项公式；10.已知数列 an满足 a12，且an 1 5n 1 2(an 5n)(nN ），求数列 an 的通项公式；11.已知数列 an满足 a1n12，且an 1 5 2n 1 23(an 5 2n 2)( nN ），求数列 an 的通项公式；12.数列已知数列 an 满足 a12,an4an 1 1(n1）. 则数列 an 的通项公式 =9.已知数列 an满足a1 2，a2 4且an 2 an an12）累加法1、累加法 适用于： an 1 an f （n）a2a1f(1)若 an 1 an f (n) (na3a2f(2)2) ，则 3Lan 1anf (n)两边分别相