运筹学中科大答案解析.docx
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运筹学中科大答案解析
cj
b
2+
θ
-5
3
0
-M
-
M
α
CB
X
B
x1
x2
x3
x4
x5
x6
2+
θ
x1
5
1
1/2
-5/2
-1/2
1/2
0
-
-M
x6
2
0
1/2
[7/2]
1/2
-1/2
1
4/
7
-z
0
-6-θ
/2+M/2
8+5θ
/2+7M/2
1+θ/2+
M/2
-θ
/2-M/2-
1
0
cj
b
2+
θ
-5
3
0
-M
-M
α
CB
X
B
x1
x2
x
3
x4
x5
x6
2+
θ
x1
45/
7
1
6/7
0
-1/7
1/7
5/7
3
x3
4/7
0
1/7
1
1/7
-1/7
2/7
-z
0
-50/7-6
θ/7
0
-1/7+θ
/7
-M+1/7-
θ/7
-M-16/7-5
θ/7
时，最优解不变。
7
时，7
5061
7，即
777
5061
7，即
777
cj
b
2+
θ
-5
3
0
-M
-M
α
CB
X
B
x1
x2
x
3
x4
x5
x6
2+
θ
x1
45/
7
1
6/7
0
-1/7
1/7
5/7
15/
2
3
x3
4/7
0
[1/7]
1
1/7
-1/7
2/7
4
-z
0
-50/7-6
θ/7
0
-1/7+θ
/7
-M+1/7-
θ/7
-M-16/7-5
θ/7
cj
b
2+
θ
-
5
3
0
-M
-M
α
CB
X
B
x1
x
2
x3
x4
x5
x6
2+
θ
x1
3
1
0
-6
-1
1
-1
-5
x2
4
0
1
7
1
-1
2
-z
0
0
40+6
θ
7+
θ
-M-7
-θ
-M+12
+θ
14
（3）的最优解为（3,4,0）T，目标函数值为z3
模型
（1）的最优解为（3,29/7,0）T，目标函数值为z3145/7
（4）变化第一个约束条件时：
cj
b
2
-5
3
0
-M
-M
α
CB
Xb
x1
x2
x3
x4
x5
x6
-M
x5
10+s
[2]
1
-5
-1
1
0
5+s/2
-M
x6
7
1
1
1
0
0
1
7
-z
2+3M
-5+2M
3-4M
M
0
0
5s/27，即s4时
cj
b
2
-5
3
0
-M
-M
α
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
x6
2
x1
5+s/2
1
1/2
-5/2
-1/2
1/2
0
-
-M
x6
2-s/2
0
1/2
[7/2]
1/2
-1/2
1
4/7-s/
7
-z
0
-6+M/
2
8+7M/
2
1+
M/2
-M/2-
1
0
cj
b
2
-5
3
0
-M
-M
α
CB
Xb
x1
x2
x3
x4
x5
x6
2
x1
45/7+s/
1
6/7
0
-1/7
1/7
5/7
7
3
x3
4/7-s/7
0
1/7
1
1/7
-1/7
2/7
-z
0
-50/7
0
-1/7
-M+1/
7
-M-16/
7
45s4s102s
此时最优解为（45s,0,4s）T，目标函数最大值为z102s
777
变化第二个约束条件时：
cj
b
2
-5
3
0
-M
-M
α
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
x6
-M
x5
10
[2]
1
-5
-1
1
0
5
-M
x6
7+t
1
1
1
0
0
1
7+t
-z
2+3M
-5+2M
3-4M
M
0
0
57t，即t2
cj
b
2
-5
3
0
-M
-M
α
CB
Xb
x1
x2
x3
x4
x5
x6
2
x1
5
1
1/2
-5/2
-1/2
1/2
0
-
-M
x6
2+t
0
1/2
[7/2]
1/2
-1/2
1
4/7+2t/
7
-z
0
-6+M/
2
8+7M/
2
1+
M/2
-M/2-
1
0
cj
b
2
-5
3
0
-M
-M
α
CB
Xb
x1
x2
x3
x4
x5
x6
2
x1
45/7+5t
/7
1
6/7
0
-1/7
1/7
5/7
3
x3
4/7+2t/
7
0
1/7
1
1/7
-1/7
2/7
-z
0
-50/7
0
-1/7
-M+1/
7
-M-16/
7
455t42tT10216t
此时最优解为（,0,），目标函数最大值为z
777
很明显当扩大第二项约束时最有利。
3、已知线性规划问题：
（2000,2004）
Minz2x1x22x3
x1x2x34
s.t.x1x2kx36
x10,x20,x3无约束
***
其最优解为：
x15;x20;x31
（1）写出该问题的对偶问题，并求出对偶问题的最优解；
（2）求出k的值
解：
（1）
Maxw4y16y2
y1y22
y1y21
s.t.
y1ky22
y1无约束，y20
由zw及互补松弛性质得
y1y22
4y16y212
得到y10,y22，得到k=1.
4、设有线性规划问题（2002）
Minz2x12x24x3
s.t.
2x1
3x1
3x25x32
x27x33
x14x26x35
x20,x30,x1无约束
试求
（1）该问题的对偶问题
2）写出该问题的标准型，并写出单纯性法求解的初始单纯型表。
解：
Maxw2y13y25y3
2y13y2y32
3y1y24y32
s.t.
5y17y26y34
y10,y20,y3无约束
Maxw2y13y25（y4y5）0y60y7My8My9
2y13y2y4y5y82
3y1y24（y4y5）y6y92
s.t.
5y17y26（y4y5）y74
y1,y2,y4,y5,y6,y70
5、设有线性规划问题：
（2002）
MaxZ2x14x2x3x4
x13x2x48
2x1x26
s.t.x2x3x46
x1x2x39
xj0,（j1,2,3,4）
T
已知该问题的最优解为：
X*[2,2,4,0]T，试根据对偶理论直接求出其对偶问题的最优解。
解：
对偶问题为
MinW8y16y26y39y4
y12y2y42
3y1y2y3y44
s.t.y3y41
y1y31
yi0（i1,2,3,4）
*
由互补松弛性得y40，y1y31，8y16y26y316，y31
解的y10,y25/3,y31,y40
四、指派问题
1、一个公司要分派5个推销员去5个地区推销某种产品，5个推销员在各个地区推销这种
产品的预期利润如下表所示，问应如何分派这
5个推销员才能使得公司总的利润最大。
（2003，2005）
ABCDE
甲1510121012
乙1112999
丙1020151713
丁18179913
戊713101312
解：
引入变量xij，并令
1当第i个推销员去第j个地区推销产品
xij0当第i个推销员不去第j个地区推销产品
则该问题的数学模型为：
maxzcijxij
xij1,j1,2,...,5
xij1,i1,2,...,5
xij1或0
该模型的目标函数可变化为
minzbijxij
xij1,j1,2,...,5
xij1,i1,2,...,5
xij1或0
其中bij20cij。
然后采用匈牙利法求解。
10
10
85
11
11
11
（bij）
10
10
10
10
10
10
10
1、
分配甲乙丙丁四个人去完成五项任务，每人完成各项任务的时间如下表所示，由于任务
数多于人数，故规定其中一人可兼完成两项任务，其余三人每人完成一项，试确定总花
费时间最小的指派方案。
（2001，2004）
A
B
C
D
E
甲
35
39
41
52
47
乙
49
48
36
30
43
丙
44
37
38
50
42
丁
34
52
46
33
55
五、非线性规划问题
1、设有如下的非线性规划问题：
（2000，2004，2009）
22
Minf（X）（x12）（x21）2
2
g1（X）x2x10
s.t.
g2（X）2x1x20
（1）用图解法求上述问题的最优解
（2）简述库恩-塔克条件，并用
（1）的结果说明其几何意义
2（x12）
2（x21）
2x1
1
1
解：
f（X）
g1（X）
g2（X）
2（x12）2x11
r1r20
2（x21）1121
22r1x1r240
2x22r1r20
2
r1（x2x1）0
r2（2x1x2）0
r1,r20
解得
r1r22/3,x1x21
2、试用动态规划方法求解下面的非线性规划问题（2001，2000）
10
Minf（Z）xi2
11
10
xi16
s.t.i1
xi0,（i1,2,...,10）
解：
具体计算过程参考p207或p208
f1s12
f22s22/3
f33s22/4
f1010s120/1010*161/510*24/5
六、简答及建模问题（新的题型方向）
简答题
1.简述对偶问题的对称性定理、弱对偶性定理、对偶定理。
对称性定理：
对偶问题的对偶是原问题。
弱对偶性定理：
若X是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解，则存在CX≦
Yb。
对偶定理：
若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数数值相等。
2.为什么排队论中假定顾客到达服从泊松发布，而服务时间服从负指数分布？
顾客到达服从泊松分布：
（1）在不相重叠的时间区间内顾客到达数是相互独立的（顾客到达是随机的）
（2）对充分小的t，在时间区间[t,tt）内有一个顾客到达的概率与t无关，
而约与区间长t成正比；
（3）对于充分小的t，在时间区间[t,tt）内有两个或两个以上顾客到达的概
率极小，以至于可以忽略。
这三个条件是符合实际情况的，由此推出的概率分布为泊松分布。
服务时间服从负指数分布：
对一顾客的服务时间定义为在忙期相继离开系统的两
顾客的间隔时间。
相继到达相继离开的间隔时间与输入过程为泊松流是一致的，
可以推出为独立且同负指数分布。
3.概括中国邮递员问题的解决思路：
问题是：
在一个有奇点的图中，要求增加一些重复边，使新图不含奇点，并且重复边的总权为最小。
思路：
找奇点，增加重复边，确定第一个可行方案；调整方案，去掉偶数条重复边，使重复边总权下降到最小。
二分析解答题
1.设备更新问题（动态规划）
某车间生产过程中必须使用某台设备，每年年初，车间领导决定是购置新设备还
是通过维修继续使用旧设备。
若购置新设备，需支付购置费，购买单价如下表第
二行所示，旧设备报废无残值；设备在使用的生命周期内每年需支付一定的维修
费用，且年度维修费用随着设备使用年限的增长而增长，如下表第四行所示。
请
制定2011-2015年的设备更新计划，使得总费用最小。
（忽略货币的时间价值）
答案：
{1,0,1,0,0}
（1,12）
2.报童通过订购报纸进行零售以获利。
已知，报童订购报纸的单位成本为c，
销售单价p，若报纸未卖出，则低价处理的单价为q。
已知pcq。
根据
过去的售卖经验得知，报童每日卖出r份报纸的概念为P（r）。
请问，为使得
收益最大化，报童每天的最佳订购量Q为多少？
答案：
记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G（n），如果这天的需求量r≤n，
则他售出r份，退回n-r份；如果这天的需求量r>n，则n份将全部售出．考虑
到需求量为r的概率是f（r），所以
n
G（n）abrbcnrfrabnfr1r0rn1
问题归结为在f（r），a，b，c已知时，求n使G（n）最大．
通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量更便于分析和
计算，这时概率
f（r）转化为概率密度函数p（r），
（1）式变成
计算
式又可表为
用P1，P2分别表示曲线p（r）下的两块面积，则（3）式可记作
P1ab5
P2bc
a-b与退回一份赔b-c之比.显然，当报童与报社签订的合同
使报童每份赚钱和赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多
3.某投资公司邀请你出资一万元参加如下游戏，游戏规则如下：
首先，提供给
你100万元的原始资本，该游戏分为50轮。
在每一轮中，盈利与亏损的可
能性都为50%。
若盈利，净盈利额为投资额的1.6倍；若亏损，净亏损额为
投资额的全部。
为保证游戏可持续进行，每轮游戏以当时总资产的一半作为
投资额，请问：
（1）你的期望收益大约是多少？
（2）你是否愿意参加此游
戏？
答案：
设xt为第t轮的初始资金，则
xt10.5xt0.5xt*1.6*0.50.9xt
那么，游戏结束50轮时期望收益为
50
x51（0.9）50*1000.0052*100=0.521
不愿意
为w。
因此，电站将灵活调整各个发电机组的开关状态，以实现发电能力与需求
的匹配。
此外，工程师告知，对于任一机组，一旦开动，在p小时内不得关闭；
而一旦关闭，在q小时内不得重新启动。
请问，如何决定各个机组在各个时点的开闭状态，以实现最小浪费。
答案：
设xit为第i个机组t时段的发电状态，则
0，关闭
xit
it1，开启
那么
24N
minzw*（xit*SiD1D2D3）
t0i1
t1N
s.t.xit*SiD1;
t0i1
t2N
xit*SiD2;
tt1i1
24N
xit*SiD3;
tt2i1
xitxit1xie,et1,K,mintp,24,i1,K,N;
xit1xit1xie,et1,K,mintq,24,i1,K,N;
xit0,1,i1,K,N,t1,K,24.
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