运筹学中科大答案解析.docx

1、运筹学中科大答案解析cjb2+-530-M-MCBXBx1x2x3x4x5x62+x1511/2-5/2-1/21/20-Mx6201/27/21/2-1/214/7-z0-6- /2 + M/28+5 /2+ 7M/21+ /2+M/2-/2-M/2-10cjb2+-530-M-MCBXBx1x2x3x4x5x62+x145/716/70-1/71/75/73x34/701/711/7-1/72/7-z0-50/7-6 /70-1/7+ /7- M+1/7- /7-M-16/7-5 /7时，最优解不变。7时， 750 6 17 ，即77 750 6 17 ，即77 7cjb2+-530-M-

2、MCBXBx1x2x3x4x5x62+x145/716/70-1/71/75/715/23x34/701/711/7-1/72/74-z0-50/7-6 /70-1/7+ /7-M +1/7- /7-M-16/7-5 /7cjb2+-530-M-MCBXBx1x2x3x4x5x62+x1310-6-11-1-5x240171-12-z0040+67+-M-7-M+12+14(3)的最优解为 (3,4,0)T，目标函数值为 z 3模型（ 1）的最优解为 （3,29/7,0）T ，目标函数值为 z 3 14 5/ 7（ 4 ）变化第一个约束条件时：cjb2-530-M-MCBXbx1x2x3x4x

3、5x6-Mx510+s21-5-1105+s/2-Mx671110017-z2+3 M-5+2 M3-4 MM005 s/2 7，即 s 4时cjb2-530-M-MCBXBx1x2x3x4x5x62x15+s/211/2-5/2-1/21/20-Mx62-s/201/27/21/2-1/214/7-s/7-z0-6+ M/28+7 M/21+M/2-M/2-10cjb2-530-M-MCBXbx1x2x3x4x5x62x145/7+s/16/70-1/71/75/773x34/7-s/701/711/7-1/72/7-z0-50/70-1/7-M+1/7- M-16/745 s 4 s 10

4、2 s此时最优解为 (45 s ,0, 4 s)T ，目标函数最大值为 z 102 s77 7变化第二个约束条件时：cjb2-530-M-MCBXBx1x2x3x4x5x6-Mx51021-5-1105-Mx67+t1110017+t-z2+3 M-5+2 M3-4 MM005 7 t ，即 t 2cjb2-530-M-MCBXbx1x2x3x4x5x62x1511/2-5/2-1/21/20-Mx62+t01/27/21/2-1/214/7+2t/7-z0-6+ M/28+7 M/21+M/2-M/2-10cjb2-530-M-MCBXbx1x2x3x4x5x62x145/7+5t/716/

5、70-1/71/75/73x34/7+2t/701/711/7-1/72/7-z0-50/70-1/7-M+1/7- M-16/745 5t 4 2t T 102 16t此时最优解为 ( ,0, ) ，目标函数最大值为 z77 7很明显当扩大第二项约束时最有利。3 、已知线性规划问题： （ 2000,2004 ）Min z 2x1 x2 2x3x1 x2 x3 4s.t. x1 x2 kx3 6x1 0,x2 0, x3无约束* *其最优解为： x1 5;x2 0;x3 1（ 1 ） 写出该问题的对偶问题，并求出对偶问题的最优解；（ 2 ） 求出 k 的值解： （ 1 ）Max w 4y1 6

6、y2y1 y2 2y1 y2 1s.t.y1 ky2 2y1无约束， y2 0由 z w 及互补松弛性质得y1 y2 24y1 6y2 12得到 y1 0, y2 2，得到 k=1.4、设有线性规划问题（ 2002 ）Min z 2x1 2x2 4x3s.t.2x13x13x2 5x3 2x2 7x3 3x1 4x2 6x3 5x2 0,x3 0, x1无约束试求（ 1 ）该问题的对偶问题2）写出该问题的标准型，并写出单纯性法求解的初始单纯型表。解：Max w 2y1 3y2 5y32y1 3y2 y3 23y1 y2 4y3 2s.t.5y1 7y2 6y3 4y1 0, y2 0, y3无

7、约束Max w 2y1 3y2 5(y4 y5) 0y6 0y7 My8 My92y1 3y2 y4 y5 y8 23y1 y2 4(y4 y5) y6 y9 2s.t.5y1 7y2 6(y4 y5) y7 4y1, y2 , y4 , y5, y6, y7 05 、设有线性规划问题： ( 2002 )MaxZ 2x1 4x2 x3 x4x1 3x2 x4 82x1 x2 6s.t. x2 x3 x4 6x1 x2 x3 9xj 0,(j 1,2,3,4)T已知该问题的最优解为： X* 2, 2, 4,0 T ， 试根据对偶理论直接求出其对偶问题的最优解。解：对偶问题为Min W 8y1 6

8、y2 6y3 9y4y1 2y2 y4 23y1 y2 y3 y4 4s.t. y3 y4 1y1 y3 1yi 0(i 1,2,3, 4)*由互补松弛性得 y4 0， y1 y3 1 ， 8y1 6y2 6y3 16 ， y3 1解的 y1 0, y2 5/3, y3 1,y4 0四、指派问题1 、一个公司要分派 5 个推销员去 5 个地区推销某种产品， 5 个推销员在各个地区推销这种产品的预期利润如下表所示，问应如何分派这5 个推销员才能使得公司总的利润最大。（ 2003 ， 2005 ）AB C D E甲 15 10 12 10 12乙 11 12 9 9 9丙 10 20 15 17

9、13丁 18 17 9 9 13戊 7 13 10 13 12解：引入变量 xij ，并令1 当第 i 个推销员去第 j个地区推销产品xij 0 当第 i个推销员不去第 j个地区推销产品则该问题的数学模型为：max z cij xijxij 1,j 1,2,.,5xij 1,i 1,2,.,5xij 1或 0该模型的目标函数可变化为min z bij xijxij 1,j 1,2,.,5xij 1,i 1,2,.,5xij 1或 0其中 bij 20 cij 。然后采用匈牙利法求解。101085111111(bij)101010101010101、分配甲乙丙丁四个人去完成五项任务，每人完成各项

10、任务的时间如下表所示，由于任务数多于人数，故规定其中一人可兼完成两项任务，其余三人每人完成一项，试确定总花费时间最小的指派方案。 （ 2001 ， 2004 ）ABCDE甲3539415247乙4948363043丙4437385042丁3452463355五、非线性规划问题1 、设有如下的非线性规划问题： ( 2000 ， 2004 ， 2009 )22Min f (X) (x1 2) (x2 1)22g1(X) x2 x1 0s.t.g2(X) 2 x1 x2 0( 1 ) 用图解法求上述问题的最优解( 2 ) 简述库恩 -塔克条件，并用( 1 )的结果说明其几何意义2(x1 2)2(x2

11、 1)2x111解：f(X)g1(X)g2(X)2(x1 2) 2x1 1r1 r2 02(x2 1) 1 1 2 12 2r1 x1 r2 4 02x2 2 r1 r2 02r1(x2 x1 ) 0r2(2 x1 x2 ) 0r1,r2 0解得r1 r2 2/3,x1 x2 12 、 试用动态规划方法求解下面的非线性规划问题( 2001 ， 2000 )10Min f (Z) xi21110xi 16s.t. i 1xi 0,(i 1,2,.,10)解：具体计算过程参考 p207 或 p208f1 s12f2 2s22/3f3 3s22/4 f10 10s120/10 10*16 1/5 1

12、0*2 4/5六、简答及建模问题（新的题型方向）简答题1.简述对偶问题的对称性定理、弱对偶性定理、对偶定理。对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。弱对偶性定理：若 X 是原问题的可行解， Y 是对偶问题的可行解，则存在 CXYb。对偶定理： 若原问题有最优解， 那么对偶问题也有最优解； 且目标函数数值相等。2.为什么排队论中假定顾客到达服从泊松发布，而服务时间服从负指数分布？顾客到达服从泊松分布：（ 1）在不相重叠的时间区间内顾客到达数是相互独立的（顾客到达是随机的）（ 2）对充分小的 t，在时间区间 t,t t）内有一个顾客到达的概率与 t 无关，而约与区间长 t 成正比；（ 3）对于充分小的

13、 t， 在时间区间 t,t t）内有两个或两个以上顾客到达的概率极小，以至于可以忽略。这三个条件是符合实际情况的，由此推出的概率分布为泊松分布。服务时间服从负指数分布： 对一顾客的服务时间定义为在忙期相继离开系统的两顾客的间隔时间。相继到达相继离开的间隔时间与输入过程为泊松流是一致的，可以推出为独立且同负指数分布。3.概括中国邮递员问题的解决思路：问题是：在一个有奇点的图中，要求增加一些重复边，使新图不含奇点，并且重 复边的总权为最小。思路：找奇点，增加重复边，确定第一个可行方案；调整方案，去掉偶数条重复 边，使重复边总权下降到最小。二 分析解答题1.设备更新问题（动态规划）某车间生产过程中必

14、须使用某台设备， 每年年初， 车间领导决定是购置新设备还是通过维修继续使用旧设备。 若购置新设备， 需支付购置费， 购买单价如下表第二行所示， 旧设备报废无残值； 设备在使用的生命周期内每年需支付一定的维修费用， 且年度维修费用随着设备使用年限的增长而增长， 如下表第四行所示。 请制定 2011-2015 年的设备更新计划，使得总费用最小。 （忽略货币的时间价值）答案： 1, 0, 1, 0, 0(1,12)2.报童通过订购报纸进行零售以获利。已知，报童订购报纸的单位成本为 c，销售单价 p ，若报纸未卖出，则低价处理的单价为 q 。已知 p c q 。根据过去的售卖经验得知，报童每日卖出 r

15、 份报纸的概念为 P(r)。请问，为使得收益最大化，报童每天的最佳订购量 Q 为多少？答案： 记报童每天购进 n 份报纸时的平均收入为 G(n)， 如果这天的需求量 r n，则他售出 r 份，退回 n-r 份；如果这天的需求量 rn ，则 n 份将全部售出考虑到需求量为 r 的概率是 f(r)，所以nG(n) a b r b c n r f r a b nf r 1 r0 rn1问题归结为在 f(r)， a， b， c已知时，求 n 使 G(n)最大通常需求量 r 的取值和购进量 n 都相当大， 将 r 视为连续变量更便于分析和计算，这时概率f (r)转化为概率密度函数 p(r)， (1)式变

16、成计算式又可表为用 P1 ， P2 分别表示曲线 p(r)下的两块面积，则 (3)式可记作P1 a b 5P2 b ca-b 与退回一份赔 b-c 之比 .显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱和赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多3.某投资公司邀请你出资一万元参加如下游戏，游戏规则如下：首先，提供给你 100 万元的原始资本，该游戏分为 50 轮。在每一轮中，盈利与亏损的可能性都为 50% 。若盈利，净盈利额为投资额的 1.6 倍；若亏损，净亏损额为投资额的全部。为保证游戏可持续进行，每轮游戏以当时总资产的一半作为投资额，请问： （ 1 ）你的期望收益大约是多少？（ 2）你是否愿意参

17、加此游戏？答案：设 xt 为第 t 轮的初始资金，则xt 1 0.5xt 0.5xt*1.6*0.5 0.9xt那么，游戏结束 50 轮时期望收益为50x51 （0.9） 50 *100 0.0052*100=0.52 1不愿意 为 w。 因此， 电站将灵活调整各个发电机组的开关状态， 以实现发电能力与需求的匹配。此外，工程师告知，对于任一机组，一旦开动，在 p 小时内不得关闭；而一旦关闭，在 q 小时内不得重新启动。请问，如何决定各个机组在各个时点的开闭状态，以实现最小浪费。答案：设 xit 为第 i 个机组 t 时段的发电状态，则0，关闭xitit 1，开启那么24 Nmin z w*( xit * Si D1 D2 D3)t0i1t1 Ns.t. xit * Si D1;t0i1t2 Nxit* Si D2;t t1 i 124 Nxit * Si D3;t t2 i 1xit xit 1 xie,e t 1,K ,min t p, 24 , i 1,K ,N;xit 1 xit 1 xie, e t 1,K ,min t q,24 , i 1,K , N ;xit 0,1 , i 1,K ,N,t 1,K ,24.