3、设函数y=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为f（a）。
（1）求f（a）的表达式。
（2）若f（a）=1/2,求a并对此a求y的最大值。
解y=1-2a-2acosx-2（1-cos2x）=2（cosx-a/2）2-a2/2-2a-1
案例分析：
以上的练习题是典型的应试教育的成果，将简单的函数作反复的迭加和复合，制造人为的困难和障碍。
这样的题形不符合新课标的目标要求。
下面一个案例选自人教版2002年“九年义务制教育三年制初中教科书”《代数》第三册。
案例2
一个圆台形物体的上底面积是下底面积的1/4，如果该物体放置在桌面上，下底面与桌面接触，则物体对桌面的压强是200帕。
若把物体翻转过来，上底面朝下与桌面接触，问物体对桌面的压强是多少？
案例分析：
我们认为作为函数性质的练习题，这是一道构思很好的习题，它好在以下三个方面：
1、题目条件中没有明显地给出函数关系，但是要求学生首先判断所要求的变量“桌面压强y”应是“接触面积x”的函数。
2、利用几何中求体积的知识，学生能够发现当物体的重量（此时的重量实际上是由体积决定的）不变时，“桌面压强y”与“接触面积x”成反比，因此y是x的反比例函数。
3、本题可以补充下面的问题：
问“桌面压强y”作为“接触面积x”的函数，与物体的形状是否相关，也就是说如果物体并不是规则的圆台时，本题的结论是否还成立。
这样的问题可以进一步启发学生对函数的本质有更加深入的认识。
4、把案例2与案例1对比不难看到同为函数方面的联系题，案例1中的函数都是一些人工制造出来的很不自然的函数，烦琐迭加使得形式非常困难，但是实质上在做题是并不要求丝毫的创造性思想，是一种“只有形式、没有思想”的练习题。
而案例2比较生动形象，与学生的实际生活有一定的关系，解题过程既要求一定的想象力，又要求对函数概念有比较深入的理解。
新课程要求这样贴近学生生活与知识面的学习内容。
二、学生的学习方式
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》要求：
“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容有利于学生主动地观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动。
”“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习的重要方式。
”
《普通高中数学课程标准（实验）》要求：
“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”，“这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程。
同时高中数学课程设立‘数学探究’、‘数学建模’等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。
”
在学生学习方式上，义务阶段与高中阶段的新课标要求基本相同，最基本的一点是“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”，但是教师怎样引导和启发学生在学习中主动探索呢？
基本理念是简单的，没有争议的。
但具体做法却并不简单，对教师的教学水平具有较高的要求。
下面我们以例说明。
案例3乘法公式教学
下面的教学设计摘自人教版2002年“九年义务制教育三年制初中教科书”《代数》第一册（下）第7.6节。
7.6平方差公式
导引语：
对于某些有特殊形式的多项式乘法，我们可以把结果写成公式并加以熟忆，这样在遇到相同形式的多项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果。
我们来计算
于是有公式
这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
这个公式叫做乘法的平方差公式。
（以下是公式的若干应用举例）
案例4
下面关于“平方差公式”的教学设计摘自《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解读》第二篇第二章第6节。
“平方差公式”的教学可设置如下的问题串：
（1）计算并观察下列每组算式
（2）已知
那么
（3）你能举出一个类似的例子吗？
（4）从上述过程，你发现了什么规律？
你能用语言叙述这个规律吗？
你能用代数式表示这个规律吗？
（5）你能证明自己所得到的规律吗？
案例评述：
我认为案例3与案例4基本代表了两种比较极端的、不同的教学方式，案例3是比较典型的传统的教学模式，对平方差公式的导引性解释以及公式的推导都比较直接，比较注重知识传授和学生对公式的应用技能方面的训练。
整个教学设计都比较简明扼要。
数学新课程理念与创新——第二节数学新课标的教学理念
案例4代表了另一个比较极端的教学方式，注重通过学生的自主观察、探究，自主猜想出平方差公式。
但是，案例4中的教学设计存在一个重要的缺陷。
设计者本来是想让学生通过对特例的观察而达到自主发现平方差公式的目的。
但是，想一想，如果不是教师事先精心选取如此特定的实例，学生真正依靠自主探究是不大可能达到发现平方差公式的。
看看这些特例的精心组合，人们不禁产生这样的疑问：
一个事先并不知道平方差公式的人，怎么会发现诸如5×5-4×6=1这样的奇特的现象呢？
事实上教师也是因为事先已经知道了平方差公式，才能够通过公式而非常有针对性地告诉学生存在上面一系列数字乘法的实例。
发现形如“5×5-4×6=1”的数字等式并不比发现“平方差的一般性公式”更容易。
虽然具体数字的运算看起来简单一些，但是这些数字的组合决不是一种纯粹偶然的组合。
上面的问题在新课程改革中已经成为一个普遍的问题。
因为新课程提倡“发现式”教学法，提倡学生自主探究，不少教材编写者及教师就简单地认为，“发现”就是让学生观察事先准备好的一串数据，企图通过对数据的观察，推断出一般的公式或法则。
把本来并不简单的发现，人为地简单化。
不少新教材讲“多面体欧拉公式”都采取立图表的方法，在一张长方形的表格里列出各种不同的多面体的顶点数、边数、面数，然后要求学生算一算，是否有公式V+F=E+2。
我们难以设想这种简单化的“验证法”是数学发现的真正途径。
更有甚者，在一些小学的课堂里，教师在黑板上列出一串数字：
2，4，x，12，24。
问x=？
数学家也难以解决这样的问题。
什么是“发现法”的教学方式？
我们的看法是：
并不是所有的发现都是“从特例到一般”。
真正的发现不存在一个一成不变的、刻板的、统一规范的模式。
因此，“发现法”的教学方式必须要根据具体问题，采取灵活的有针对性的方式方法。
下面提出我们对于“平方差公式”的教学设计，我们所提出的方案既结合“人教版”的传统方法，又兼顾新课程的基本理念，启发引导学生作必要的“自主探究”。
案例5平方差公式“探究式”教学
象整数的算术演算中存在某些“缩算法”一样，代数式的演算中同样存在“缩算法”，而这些“缩算法”依赖一些形式简便的乘法公式，这些乘法公式由来简单，但是灵活运用它们，可能会使复杂的代数式运算变得简单快捷。
通过直接的计算，同学们不难发现下面的等式：
根据全面所叙述的理由，我们把上面这些等式称为乘法公式。
如果要问：
是否除了上面这些公式之外另外还存在其它更多的乘法公式呢？
只要能够在实际中使用方便，我们并不排除还存在其它乘法公式的可能。
例如：
下面是一些应用举例（省略），其中既包括代数式乘法的应用，也包括数字乘法的应用。
例如：
98×102=10000-1=9999
数字乘法的应用说明“乘法公式的使用”的确与整数的缩算法有共同之处。
下面介绍一则有关“平方差公式”的故事：
美国北卡罗莱纳大学教授CarlPomerance是一位当代著名的计算数论家。
Pomerance回忆中学时代曾经参加一次普通的数学竞赛，其中有一道题是分解整数8051。
Pomerance没有采用常规的因数检验法，从小到大逐个验证，由2到
的素数，哪些能够整除8051。
其实这样做并不困难。
象所有爱动脑筋孩子一样，Pomerance力图寻找一个简便算法，更快捷地发现8051的因数，但是他没有能够在规定的时间之内完成任务，他失败了。
事实上，存在简捷的分解方法：
5014=8100-49=902-72
但是，失败并没有使这位未来的数论家放弃对问题的进一步思考。
事后Pomerance向自己提出下面一个非常有趣的问题。
Pomerance问题：
是否一个能够分解的整数必定是两个整数的平方差？
上面问题的答案是肯定的，也就是说，我们有下面的定理。
定理每个奇合数必定能用平方差的方式分解为两个大于1的整数之积。
案例5评述：
在本案例中，我们既没有象现在大多数“新课程”中所采用的形式主义的“观察—发现、归纳—猜想”那样，列出事先设计好的一串代数等式或一串精心组织的数字等式，然后让学生“自主发现”，并在此长长的过程之后，再引出“乘法公式”。
我们的观点恰恰相反，我们认为“乘法公式”与普通的代数式乘法并无太多的差别，能否把一个特定的代数式乘法等式称为“乘法公式”，这仅仅根据它的具体“可应用性”。
我们承认，除了我们所列出的乘法公式之外，可能还存在其它方便应用的乘法公式，例如：
事实上，我们把上面的等式称为“欧拉恒等式”，欧拉恒等式还有更多、更复杂的形式。
这样，我们把学习“乘法公式”的重点不是放在概念来源以及公式本身的推导上，而是把学习重点放在公式的“可应用性”上。
本案例中的“自主探究”是以一位数学家真实的故事而引出的，故事之后，我们介绍了与“乘法公式”密切相关的“Pomerance问题”，并通过数学家Pomerance之口，导出了一个多少有些使人感到意外的数学结果（定理）。
我们认为，这样的结果对学生的启发性远远胜过案例4中所列的一串“数字运算等式”。
自主探究应当采用生动活泼、真正发人深思的形式，教师与教材编写者应该不断研究、不断改进教学的思想方法，创建富有个性特点的“发现法”教学方法。
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》要求：
“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。
教师应该激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
”
数学新课程理念与创新——第二节数学新课标的教学理念
三、全日制义务教育
《普通高中数学课程标准（实验）》要求：
一方面保持我国重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统。
另一方面，随着时代的发展，特别是数学的广泛应用、计算机技术和现代信息技术的发展，数学课程设置和实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，形成符合时代要求的新的“双基”。
例如，高中数学课程增加“算法”内容，把最基本的数据处理、统计知识等作为新的数学基础知识和基本技能。
同时，应删减烦琐的计算、人为的技巧化难题和过分强调细枝末节的内容，克服“双基”异化的倾向。
强调数学的本质，注意适度形式化。
数学课程教学中，需要学习严格的、形式化的逻辑推理方式。
但是数学教学，不仅限于形式化数学，学生还必须接触到生动活泼、灵活多变的数学思维过程。
要让学生追寻数学发展的历史足迹，体念数学的形成过程和数学中的思想方法。
教师应该把高度严格的学术形态的数学转化为学生乐于思考的、兴趣盎然的教学形态。
对新课标中有关“教学观”的论述，我们从以下两个方面谈谈我们自己的认识和理解。
第一，关于“双基”和“双基异化”问题。
我们已经在第一章分析了我国传统数学教育领域的优势和存在问题。
长期以来，我们在数学课程中充分重视“双基”，使得我国学生的数学基础理论知识比较扎实，对数学概念的一般性理解比较恰当，解答常规数学问题的能力比较强，计算能力比较强。
所有这些“双基”能力都是进一步深入学习其他学科领域的重要基础，也是进一步发展数学能力的重要保证。
这样的优势和教学传统理所当然应该得到继承和发挥，而不应该在“新课程改革”中随意地放弃和抛弃。
因此“双基传统”本身是优势而不是问题，问题发生在“双基异化”上，“社会功利主义”的应试教育使得原有的“双基传统”产生了变化，教师过度地“灌输”，学生过度地“依赖”，教学目标过度地集中在考试“应试结果”，教学过程过度地注重细枝末节的解题技巧，学生在学习中过度地注重机械地记忆。
我们把所有这些现象简称为“双基异化”。
我们目前所面临的问题是由于要否定“双基异化”，而造成从根本上完全否定了“双基传统”。
目前已经发现了“新课程”中过度地强调“观察—发现”、“动手操作”、“合作学习”，而否定了数学学习更多的是需要独立思考、模仿练习。
“新课程”中过多地讲数学的“来龙去脉”，过多地讲数学历史，过多地讲“数学文化”，而削弱了数学本身的内容，使得本末倒置，美籍华人数学家项武义把“新课程”中的这一问题称为“去数学化”。
项武义教授在华东师大的一次谈话中指出：
最近，在中小学数学教育中，出现了一种“去数学化”的倾向。
一堂数学课是否成功，主要应该看是否达到了数学教学目标，首先是学生是否理解和掌握了数学知识内容，包括对数学本质的理解；数学知识的掌握；数学能力的形成。
但是，现在的评课标准是：
“创设了日常生活情景吗？
”“学生进行了活动吗？
”“分小组进行合作吗？
“用了多媒体吗？
”，“教学是否有工作单进行探究？
”等等。
教育手段的运用应当研究
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