第4章平面任意力系.docx
《第4章平面任意力系.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第4章平面任意力系.docx（26页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
第4章平面任意力系
第4章平面任意力系
教学提示：
本章将应用力线平移定理，重点介绍将平面任意力系向一点简化，
导出其平衡方程，最后还将介绍考虑摩擦时的平衡问题。
教学要求：
掌握平面任意力系的简化方法和简化结果，能计算平面力系的主矢和主矩。
能熟练应用平面任意力系的平衡方程，求解单个物体的平衡问题。
了解静定和静不定问题的概念以及物体系统的平衡问题。
理解滑动摩擦的概念和摩擦力的特征。
掌握摩擦角和自锁概念。
能求解当考虑滑动摩擦时单个物体和简单物体系统的平衡问题。
4.1力的平移定理
平面任意力系：
各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系，叫平面任意力系。
由力的性质可知：
在刚体内，力沿其作用线滑移，其作用效应不改变。
如果将力的作用线平行移动到另一位置，其作用效应将发生改变，其原因是力的转动效应与力的位置有直接的关系。
证明：
设力F作用于刚体上A点，如图4.1所示。
为将力F等效地平行移动到刚体上任意一点,根据加减平衡力系公理，在B点加上两个等值、反向的力F′和F"，并使F′＝F"＝F，显然，力F、F′和F"组成的力系与原力F等效。
由于在力系F、F′和F"中，力F与力F"等值、反向且作用线平行，它们组成力偶（F、F"）。
于是作用在B点的力F′和力偶（F、F"）与原力F等效。
亦即把作用于A点的力F平行移动到任意一点B，但同时附加了一个力偶。
由图可见，附加力偶的力偶矩为
m＝F•d＝mB（F）
图4.1
作用于刚体上的力，可以平移到刚体上任意一点，必须附加一个力偶才能与原力等效，附加的力偶矩等于原力对平移点之矩。
力的平移定理表明，可以将一个力分解为一个力和一个力偶；反过来，也可以将同一平面内一一个力和一个力偶合成为一个力。
应该注意，力的平移定理只适用于刚体，而不适用于变形体，并且只能在同一刚体上平行移动。
4.2平面任意力系向作用面内一点简化
根据力的平移定理，将平面一般力系等效变换为作用于其平面内任一点O的平面汇交力系和平面力偶系，这就是平面一般力系向任一点O的简化方法。
点O称为简化中心（如图4.2所示）。
图4.2
这样，就进行了平面任意力系向作用面内任一点O的简化。
即：
平面任意力系向作用面内任一点0简化，得到一个合力R'和一个合力偶MO。
合力R'称为原力系的主矢，等于原力系各力的矢量和；合力偶MO称为原力系对简化中心O的主矩，它等于原力系中各力对简化中心O的矩的代数和。
应该注意：
力系的主矢与简化中心的位置无关；而主矩一般情况下与简化中心的位置有关，因此对主矩必须标明简化中心。
上面讨论的是平面任意力系向作用面内任一点简化的一般情况，还有一些特殊情况：
（1）若
=0，MO≠0，即简化结果为一合力偶MO=M，此时刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时主矩与简化中心O无关。
（2）若
≠0，MO=0，即简化为一个作用于简化中心的合力。
这时简化结
果就是合力（这个力系的合力），
。
（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
（3）若
≠0，MO≠0，为最一般的情况。
此种情况还可以继续简化为一个合力
。
合力
的大小等于原力系的主矢,合力
的作用线位置
.
图4.3
（4）若
=0，MO=0，则力系处于平衡状态。
4.3平面任意力系的平衡条件和平衡方程
由于
=0为力平衡，MO=0为力偶平衡，所以平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢
和主矩MO都等于零，即：
根据合力投影定理和合力矩定理，以上方程可以表示成以下形式：
∑Fx=0
∑Fy=0
∑mO（F）=0
此外平面一般力系的平衡方程还可以表示为二矩式和三力矩式。
二矩式为：
∑Fx=0
∑mA（F）=0
∑mB（F）=0
附加条件是X轴不垂直于A、B的连线。
三力矩式为
∑mA（F）=0
∑mB（F）=0
∑mC（F）=0
式中A、B、C为不共线的任意三点。
例4.1一端固定的悬臂梁如图4.4a所示。
梁上作用均布荷载，荷载集度为q，在梁的自由端还受一集中力P和一力偶矩为m的力偶的作用。
试求固定端A处的约束反力。
图4.4
解：
取梁AB为研究对象。
受力图及坐标系的选取如图4-4b所示。
列平衡方程：
由 ΣX＝0， XA＝0
ΣY＝0， YA－ql－P＝0
解得 YA＝ql＋P
由 Σm＝0，mA－ql2／2－Pl－m＝0
解得 mA＝ql2／2+Pl+m
例4.2图4.5所示已知：
P=20kN,m=16kN·m，q=20kN/m，a=0.8m，求：
A、B的支反力。
图4.5
解：
研究AB梁
解得：
例4.3 图4.6所示为一悬臂式起重机，A、B、C都是铰链连接。
梁AB自重FG＝1kN，作用在梁的中点，提升重量FP＝8kN，杆BC自重不计，求支座A的反力和杆BC所受的力。
图4.6
解：
（1）取梁AB为研究对象，受力图如图4.6b所示。
A处为固定铰支座，其反力用两分力表示，杆BC为二力杆，它的约束反力沿BC轴线，并假设为拉力。
（2）取投影轴和矩心。
为使每个方程中未知量尽可能少，以A点为矩,选取直角坐标系Axy。
（3）列平衡方程并求解。
梁AB所受各力构成平面任意力系，用三矩式求解：
由ΣmA＝0，－FG×2－FP×3＋FTsin30º×4=0
得
由ΣmB＝0，－FAy×4+FG×2+FP×1=0
得
由ΣmC＝0，FAx×4×tg30º－FG×2－FP×3=0
得
（2）校核
ΣFx=FAx－FT×cos30º＝11.26－13×0.866＝0
ΣFy=FAy－FG－FP＋FT×sin30º＝2.5－1－8－13×0.5
可见计算无误。
4.4静定和超静定问题及物体系统的平衡
由若干个物体通过约束所组成的系统称为物体系统，简称物系。
外界物体作用于系统的力称该系统的外力。
系统内各物体间相互作用的力称该系统的内力。
如图4.7a所示的三角拱。
作用于物体系统上的力，可分为内力和外力两大类。
系统外的物体作用于该物体系统的力，称为外力；系统内部各物体之间的相互作用力，称为内力。
对于整个物体系统来说，内力总是成对出现的，两两平衡，故无需考虑，如图4.7b的铰C处。
而当取系统内某一部分为研究对象时，作用于系统上的内力变成了作用在该部分上的外力，必须在受力图中画出，如图4-7c中铰C处的FCx和FCy。
图4-7
当整个系统平衡时，系统内每个物体都平衡。
反之，系统中每个物体都平衡，则系统必然平衡。
因此，当研究物体系统的平衡时，研究对象可以是整体，也可以是局部，也可以是单个物体。
在静力学中求解物体系统的平衡问题时，若未知量的数目不超过独立平衡方程数目，则由刚体静力学理论，可把全部未知量求出，这类问题称为静定问题。
若未知量的数目多于独立平衡方程数目，则全部未知量用刚体静力学理论无法求出，这类问题称为静不定问题或超静定问题。
而总未知量数与总独立平衡方程数之差称为静不定次数。
图4.8是超静定平面问题的例子。
图a是平面平行力系，平衡方程是2个，而未知力是3个，属于超静定问题；图b是平面任意力系，平衡方程是3个，而未知力有4个，因而也是超静定问题。
对于超静定问题的求解，要考虑物体受力后的变形，列出补充方程，这些内容将在后续课程中讨论。
图4.8
例4.4由不计自重的三根直杆组成的A字形支架置于光滑地面上，如图4.9a所示，杆长AC＝BC＝L＝3m，AD＝BE＝L/5，支架上有作用力F1＝0.8kN，F2＝0.4kN，求横杆DE的拉力及铰C和A、B处的反力。
图4.9
解A字形支架由三根直杆组成，要求横杆DE的拉力和铰C的反力，必须分开研究，又DE为二力杆，所以可分别研究AC和BC两部分，但这两部分上A、B、C、D、E处都有约束反力，且未知量的数目都多于3个。
用各自的平衡方程都不能直接求得未知量。
如果选整个系统为研究对象，则可一次求出系统的外约束反力。
（1）先取整体为研究对象，在其上作用有主动力Fl和F2，A、B处均为光滑面约束，而A处是两个方向上受到约束，因而约束反力有FAx，FAy和FB，并选取坐标轴如图4.9b所示。
列出平衡方程
ΣFx＝0，
ΣFy＝0，
ΣMA（F）＝0，
解得
（2）再取较简易部分BC为研究对象，其受力图如图4.9c所示。
这里需要注意的是C处反力，在整体研究时为内力，在分开研究BC时，则变成了外力。
列出平衡方程。
ΣFx＝0，
ΣFy＝0，
ΣMC（F）＝0，
解得
例4.5 组合梁由AB梁和BC梁用中间铰B连接而成，支承与荷载情况如图如图4.10a所示。
已知P＝20kN，q＝5kN/m,α＝45º；求支座A、C的约束反力及铰B处的压力。
图4.10
解 先取BC梁为研究对象。
受力图及坐标如图4-10b所示。
由 ΣmC＝0, 1•P－2YB＝0
解得 YB＝0.5P＝0.5×20＝10kN
由ΣY＝0,YB－P+NCcosα＝0
解得 NC＝14.14kN
由ΣX＝0,XB－NCsinα＝0
解得 XB＝10kN
再取AB梁为研究对象，受力图及坐标如图4-10c所示。
由 ΣX＝0,XA－XB′＝0
解得 XA＝XB′＝10kN
由 ΣY＝0,YA－Q－YB′＝0
解得 YA＝Q＋YB′＝2q+YB＝20kN
由 ΣmA＝0, mA－1•Q－2YB′＝0
解得 mA＝30kN•m
例4.6 图4.11为一个钢筋混凝土三铰刚架的计算简图，在刚架上受到沿水平方向均匀分布的线荷载q＝8kN/m，刚架高h＝8m，跨度l＝12m。
试求支座A、B及铰C的约束反力。
图4.11
解 先取刚架整体为研究对象。
受力图如图4.11（b）所示。
由 ΣmC＝0, ql2/2－YAl＝0
解得 YA＝ql/2＝48
由 ΣX＝0，YA－ql＋YB＝0
解得 YB＝YA＝48
由 ΣX＝0， XA－XB＝0
解得 XA＝XB
（1）
再取左半刚架为研究对象。
受力图如图4-11c所示。
由 ΣmC＝0, ql2/8＋XAh－YAl／2＝0
解得XA＝18kN
由
（1）式得 XA＝XB＝18kN
由ΣX＝0,XA－XC＝0
解得 XC＝XA＝18kN
由 ΣX＝0,YA－ql／2＋YC＝0
解得 YC＝0
4.5平面简单桁架的内力计算
桁架是建筑工程中广泛采用的结构形式，如工业厂房的屋架等。
上边缘的杆件称为上弦杆，下边缘的杆件称为下弦杆，上下弦杆之间的杆件称为腹杆，各杆端的结合点称为节点。
图4.12
各种桁架有着共同的特性：
在节点荷载作用下，桁架中各杆的内力主要是轴力，而弯矩和剪力则很小，可以忽略不计。
从力学观点来看，各节点所起的作用和理想铰是接近的。
因此，桁架中各杆可以按轴心受力杆件设计。
对实际桁架的计算简图通常作下列假定：
（1）各杆端用绝对光滑而无摩擦的铰相互连接；
（2）各杆的轴线都是绝对平直而且在同一平面内并通过铰的几何中心；
（3）荷载和支座反力都作用在节点上并位于桁架平面内。
在分析桁架内力时，可截取桁架的某一节点为隔离体，利用该节点的静力平衡条件来计算各杆的内力，这种方法叫节点法。
在桁架各杆件内力计算时，由于各杆件都承受轴向力，作用于任一节点的力（包括荷载、反力和杆件轴力）组成一个平面汇交力系，可对每一节点列出两个平衡方程进行求解。
例4.7求图4.13a中各节点在单位力作用下各杆件的内力。
图4-13
图4.13
解：
本图中由于结构对称、荷载对称，所以其支座反力、内力也是对称的，计算半个桁架即可，如图4.13b。
（1）计算支座反力
由∑Fx=0得FAx=0
由∑Fy=0得FAy=FB=0.5+1+1+0.5=3
（2）计算各杆轴向内力
对于未知力，可先在图中任意标出轴力方向（拉或压）。
若求得未知力为正，说明与图中假设方向一致；若求得未知力为负，说明与图中假设方向相反。
取节点1为隔离体（图4.13c），并在图中假设N12为压力（箭头指向截面），N13为拉力。
由∑Fy=0：
FAy－N12=0N12=FAy=3（求得N12为正，与图中假设方向一致，所以N12为压力）
由∑Fx=0：
N13=0（求得N13=0，说明该杆件为0杆）
取节点2为隔离体（图4.13d）。
由∑Fy=0：
N21－N23sinα－0.5=0
N23=N21-0.5/sinα=3.54（N23为正，表示与图中假设方向一致）
由∑Fx=0：
N23cosα－N24=0
N24=N23cosα=2.5（N24为正，表示与图中假设方向一致，所以为压力）
由∑Fy=0：
N32sinα－N34=0
N34=N32sinα=2.5（N34为正，表示与图中假设方向一致，所以为压力）
由∑Fx=0：
N35－N32cosα=0
N35=N32cosα=2.5（N35为正，表示与图中假设方向一致，所以为拉力）
取节点4为隔离体（图4.13f））。
由∑Fy=0：
N43－N45sinα－1=0
N45=N43-1/sinα=2.12（N45为正，表示与图中假设方向一致，所以为拉力）
由∑Fx=0：
N45cosα+N46+N42=0
N46=－N45cosα－N42=-4（N46为负，表示与图中假设方向相反，所以为压力）
同样方法可求得其他各节点杆件的内力即杆力系数，将计算结果标入图4.13b的计算简图中（拉力为正，压力为负）。
4.6考虑摩擦时物体的平衡
前面讨论物体平衡问题时，物体间的接触面都假设是绝对光滑的。
事实上这种情况是不存在的，两物体之间一般都要有摩擦存在。
只是有些问题中，摩擦不是主要因素，可以忽略不计。
但在另外一些问题中，如重力坝与挡土墙的滑动称定问题中，带轮与摩擦轮的转动等等，摩擦是是重要的甚至是决定性的因素，必须加以考虑。
按照接触物体之间的相对运动形式，摩擦可分为滑动摩擦和滚动摩擦。
本节只讨论滑动摩擦，当物体之间仅出现相对滑动趋势而尚未发生运动时的摩擦称为静滑动摩擦，简称静摩擦；对已发生相对滑动的物体间的摩擦称为动滑动摩擦，简称动摩擦。
1.滑动摩擦与滑动摩擦定律
当两物体接触面间有相对滑动或有相对滑动趋势时，沿接触点的公切面彼此作用着阻碍相对滑动的力，称为滑动摩擦力，简称摩擦力。
用F表示。
图4-12
图4.14
如图4.14所示一重为G的物体放在粗糙水平面上，受水平力P的作用，当拉力P由零逐渐增大，只要不超过某一定值，物体仍处于平衡状态。
这说明在接触面处除了有法向约束反力N外，必定还有一个阻碍重物沿水平方向滑动的摩擦力F，这时的摩擦力称为静摩擦力。
静摩擦力可由平衡方程确定。
ΣX＝0, P－F＝0。
解得F＝P。
可见，静摩擦力F随主动力P的变化而变化。
但是静摩擦力F并不是随主动力的增大而无限制地增大，当水平力达到一定限度时，如果再继续增大，物体的平衡状态将被破坏而产生滑动。
我们将物体即将滑动而未滑动的平衡状态称为临界平衡状态。
在临界平衡状态下，静摩擦力达到最大值，称为最大静摩擦力，用Fm表示。
所以静摩擦力大小只能在零与最大静摩擦力Fm之间取值。
即
0≤F≤Fm
最大静摩擦力与许多因素有关。
大量实验表明最大静摩擦力的大小可用如下近似关系：
最大静摩擦力的大小与接触面之间的正压力（法向反力）成正比，即
Fm＝fN（4-1）
这就是库伦摩擦定律。
式中f是无量纲的比例系数，称为静摩擦系数。
其大小与接触体的材料以及接触面状况（如粗糙度、湿度、温度等）有关。
一般可在一些工程手册中查到。
式（4-1）表示的关系只是近似的，对于一般的工程问题来说能够满足要求，但对于一些重要的工程，如采用上式必须通过现场测量与试验精确地测定静摩擦系数的值作为设计计算的依据。
物体间在相对滑动的摩擦力称为动摩擦力，用F′表示。
实验表明，动摩擦力的方向与接触物体间的相对运动方向相反，大小与两物体间的法向反力成正比。
即
F′＝f′N （4-2）
这就是动滑动摩擦定律。
式中无量纲的系数f′称为动摩擦系数。
还与两物体的相对速度有关，但由于它们关系复杂，通常在一定速度范围内，可以不考虑这些变化，而认为只与接触的材料以及接触面状况有关外。
2.摩擦角与自锁现象
如图4.15所示，当物体有相对运动趋势时，支承面对物体法向反力N和摩擦力F，这两个力的合力R，称为全约束反力。
全约束反力R与接触面公法线的夹角为φ，如图4.15a。
显然，它随摩擦力的变化而变化。
当静摩擦力达到最大值Fm时，夹角φ也达到最大值φm，则称φm0为摩擦角。
如图4.15b所示，可见
tanφm＝Fm/N＝fN/N＝f （4-3）
若过接触点在不同方向作出在临界平衡状态下的全约束反力的作用线，则这些直线将形成一个锥面，称摩擦锥。
如图4.15c所示。
图4.15
图4.16
将作用在物体上的各主动力用合力Q表示，当物体处于平衡状态时，主动力合力Q与全约束反力R应共线、反向、等值，则有α＝φ。
而物体平衡时，全约束反力作用线不可能超出摩擦锥，即φ≤φm （图4.16）。
由此得到
α≤φm （4-4）
即作用于物体上的主动力的合力Q，不论其大小如何，只要其作用线与接触面公法线间的夹角α不大于摩擦角φm ，物体必保持静止。
这种现象称为自锁现象。
自锁现象在工程中有重要的应用。
如造斤顶、压榨机等就利用发自锁原理。
3.考虑摩擦时的平衡问题
求解有摩擦时物体的平衡问题，其解题方法和步骤与不考虑摩擦时平衡问题基本相同。
例4.8物体重G＝980N，放在一倾角α=30º的斜面上。
已知接触面间的静摩擦系数为f＝0.20。
有一大小为Q＝588N的力沿斜面推物体如图5－19a所示，问物体在斜面上处于静止还是处于滑动状态？
若静止，此时摩擦力多大？
图4.17
解可先假设物体处于静止状态，然后由平衡方程求出物体处于静止状态时所需的静摩擦力F，并计算出可能产生的最大静摩擦力Fm，将两者进行比较，确定力F是否满足F≤Fm，从而断定物体是静止的还是滑动的。
设物体沿斜面有下滑的趋势；受力图及坐标系如图4.17所示。
由 ΣX＝0,Q－Gsinα+F＝0
解得 F＝Gsinα－Q＝－98N
由 ΣY＝0,N－Gcosα＝0
解得N=Gcosα=848.7N
根据静定摩擦定律，可能产生的最大静摩擦力为，
Fm＝fN＝169.7N
结果说明物体在斜面上保持静止。
而静摩擦力F为－98N，负号说明实际方向与假设方向相反，故物体沿斜面有上滑的趋势。
例4.9梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩擦系数f=0.5，求a多大时，梯子能处于平衡？
解：
考虑到梯子在临界平衡状态有下滑趋势，画受力图。
图4.18
注意，由于a不可能大于
，所以梯子平衡倾角a应满足
4.滚动摩阻的概念
由实践可知，使滚子滚动比使它滑动省力，所以在工程中，为了提高效率，减轻劳动强度，常利用物体的滚动代替物体的滑动。
设在水平面上有一滚子，重量为P，半径为r，在其中心O上作用一水平力F，当力F不大时，滚子仍保持静止。
滚子发生滚动的原因：
若滚子的受力情况如图4.19所示，则滚子不可能保持平衡。
因为静滑动摩擦力Fs与力F组成一力偶，将使滚子发生滚动。
接触面上力系的简化：
但是，实际上当力F不大时，滚子是可以平衡的。
这是因为滚子和平面实际上并不是刚体，它们在力的作用下都会发生变形，有一个接触面，如图4.20a所示。
在接触面上，物体受分布力的作用，这些力向点A简化，得到一个力FR和一个力偶，力偶的矩为Mf，如图4.20b所示。
滚动摩阻力偶：
这个力FR可分解为摩擦力Fs和法向约束力FN，这个矩为Mf的力偶称为滚动摩阻力偶（简称滚阻力偶），它与力偶（F，Fs）平衡，它的转向与滚动的趋向相反，如图4.20c所示。
最大滚动摩阻力偶矩：
与静滑动摩擦力相似，滚动摩阻力偶矩Mf随着主动力的增加而增大，当力F增加到某个值时，滚子处于将滚未滚的临界平衡状态；这时，滚动摩阻力偶矩达到最大值。
滚子处于滚未滚的临界平衡状态时，滚动摩阻力偶矩达到最大值，称之为最大滚动摩阻力偶矩，用Mmax表示。
若力F再增大一点，轮子就会滚动。
在滚动过程中，滚动摩阻力偶矩近似等于Mmax。
由此可知，滚动摩阻力偶矩Mf的大小介于零与最大值之间，
图4.19
此力系向A点简化
abc
图4.20
滚动摩阻定律：
由实验表明：
最大滚动摩阻力偶矩Mmax与滚子半径无关，而与支承面的正压力（法向约束力）FN的大小成正比，
即（4-5）
这就是滚动摩阻定律，其中是比例常数，称为滚动摩阻系数，简称滚阻系数。
滚动摩阻系数：
由（4-5）可知，滚动摩阻系数具有长度的量纲，一般用“毫米（mm）”作单位。
滚动摩阻系数由实验测定，它与滚子和支承面的材料的硬度和湿度等有关，与滚子半径无关。
滚阻系数的物理意义：
滚子在即将滚动的临界平衡状态时，其受力图如图4.21a所示。
ab
图4.21
根据力的平移定理，可将其中的法向约束力FN与最大滚动摩阻力偶Mmax合成为一个力，且,力的作用线距中心线的距离为，如图4.21b所示。
即：
与式（4-5）比较可得
因而滚动摩阻系数可看成在即将滚动时，法向约束力离中心线的最远距离，也就是最大滚阻力偶（，P）的臂。
故它具有长度的量纲。
由于滚动摩阻系数较小，因此，在大多数情况下滚动摩阻是可以忽略不计的。
由图4.20a，可用分别计算出使滚子滚动或滑动所需要的水平拉力F。
由平衡方程，可以求得
由平衡方程，可以求得
一般情况下，有
因而使滚子滚动比滑动省力得多。
本章小结
1）平面一般力系的简化方法：
利用力线平移定理将力向平面内一点平移，形成一平面汇交力系和平面力偶系，得一合力和一个合力偶。
其合力
，作用在简化中心，但与简化中心位置无关；其力偶，
，与简化中心位置有关。
2）平面一般力系平衡的必要和充分条件是：
3）平面一般力系有三个独立方程，可解三个未知量，其基本形式为：
也可将方程列为二力矩形式或三力矩形式：
或
4）平行力系只有二个平衡方程，可解二个未知量，其基本形式为：
也可列二力矩形式方程
5）物体系统的平衡方程，通过选取整体或部分或某单个物体作为研究对象，进行受力分析，列平衡方程，求解未知力。
注意在划分区域时，内力和外力的区分，以边界线而定。
6）考虑摩擦力时物体的平衡问题，也是用平衡条件来求解，解题方法与步骤与前面相同，只是在画受力图时必须加上摩擦力
。
习题
4.1求图4.1所示梁支座的反力。
题图4.1
4.2悬臂吊车如图a所示。
A、B、C处均为铰接。
AB梁自重W1＝4kN，载荷重W＝l0kN，BC杆自重不计，有关尺寸如图a）所示。
求BC杆所受的力和铰A处的约束反力。
升级会员 