普通高等学校招生全国统一考试数学文试题湖南卷含答案.docx
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普通高等学校招生全国统一考试数学文试题湖南卷含答案
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖南卷，含答案）
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1.复数
等于
A.
B.
C.
D.
2.下列命题中的假命题是
A.
B.
C.
D.
3.某商品销售量
（件）与销售价格
（元/件）负相关，则其回归方程可能是
A.
B.
C.
D.
4.极坐标方程
和参数方程
所表示的图形分别是
A.直线、直线B.直线、圆C.圆、
圆D.圆、直线
5.设抛物线
上一点P到
轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是
A.4B.6C.8D.12
6.若非零向量
满足|
，则
与
的夹角为
A.
B.
C.
D.
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为
，若∠C=1
20°，c=
，则
A.
B.
C.
D.
与
的大小关系不能确定
8.函数
与
在同一直角坐标系中的图像可能是
二、填空题：
本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中
对应题号后的横线上.
9.已知集合A={1,2,3，}，B={2，m，4}，A∩B={2,3}，则m=
10.已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间．若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是g．
11.在区间
上随即取一个数
，则
∈[0,1]的概率为.
12.图1是求实数
的绝对值的算法程序框图，则判断框①中可填.
13.图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm
2的几何体的三视图，则h=cm.
14.若不同两点
的坐标分别为
，则线段PQ的垂直平分线
的斜率为
；圆
关于直线
对称的圆的方程为.
15.若规定
的子集
为E的第k个子集，其中
，则
（1）
是E的第____个子集；
（2）E的第211个子集是_______.
三、解答题：
本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、说明过程或演算步
骤.
16.（本小题满分12分）
已知函数
（I）求函数
的最小正周期；
（Ⅱ）求函数
的最大值及
取最大值时
的集合.
17.（本小题满分12分）
为了对某课题进行研究，用
分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：
人）
高校
相关人数
抽取人数
A
18
B
36
2
C
54
（I）求
；
（Ⅱ）若从高校B、C抽取的人
中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率.
18.（本小题满分12分）
如图3所示，在长方体
中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点.
（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；
（Ⅱ）证明：
平面ABM⊥平面A1B1M1.
19.（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8km的A、B两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴
，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）.考察范围为到A、B两点的距离之和不超过10km的区域.
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图4所示，设线段
是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍.问：
经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？
20.（本小题满分13分）
给
出下面的数表序列：
其中表
有
行，第1行的
个数是1,3,5,
2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.
（Ⅰ）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；
（Ⅱ）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12,
，记此数列为
.
求和：
.
21．（本
小题满分13分）
已知函数
其中
且
.
（Ⅰ）讨论函数
的单调性；
（Ⅱ）设函数
（e是自然对数的底数）.是否存在
，使
在
上为减函数？
若存在，求
的取值范围；若不存在
，请说明理由.
数学（文史类）
一、选择题
1．A2．C
3．A4．D5．B6．C7．A8．D
二、填空题
9．310．161.8或138.211．
12．
或
或
或
13．414．-1
15．
（1）5
（2）
而
，故
．
即异面直线
和
所成的角的正切值为
．
（Ⅱ）由
平面
，
平面
，得
．①
由（Ⅰ）知，
，又
，所以
，从而
．②
又
，再由①，②得
平面
．而
平面
，因此平面
平面
19．（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为
，则由
知，点P在以A，B为焦点，长轴长为
的椭圆上．此时短半轴长
．
所以
考察区域边界曲线（如图）的方程为
．
（Ⅱ）易知过点
的直线方程为
．因此点A到直线
的距离为
．
设经过
年，点A恰好在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得
．
解得
，即经过5年，点A恰好在冰川边界线上．
20．（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）表4为
1357
4812
1220
32
它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．
将这一结论推广到表
，即表
各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为
，公比为2的等比数列．
简证如下（对考生不作要求）
首先，表
的第1行1,3,5,…，2n-1是等差数列，其平均数为
；
其次，若表
的第
行
是等差数列，则它的第
行
也是等差数列．由等差数列的性质知，表
的第
行中的数的平均数与第
行中的数的平均数分别是
．
由此可知，表
各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为
，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）表
的第1行是1,3,5，…，2n-1，其平均数是
．
由（Ⅰ）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为
，公比为2的等比数列（从而它的第
行中的数的平均数是
），于是，表
中最后一行的唯一一个数为
．
因此
．
故
21．（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）
的定义域为
．
．
（1）若
，则当
时，
；当
时，
；
当
时，
．故
分别在
上单调递增，在
上单调递减．
综上所述，存在
，使
在
上为减函数，且
的取值范围为
．
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