专题训练证比例式或等积式的技巧含答案.docx

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专题训练证比例式或等积式的技巧含答案

专训2　证比例式或等积式的技巧

名师点金：

证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似；若不在两个三角形中，可先将它们转化到两个三角形中，再证这两个三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．

构造平行线法

1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，

求证：

AE·CF＝BF·EC.

2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F，

求证：

AB·DF＝BC·EF.

三点定型法

3．如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.

求证：

＝

.

4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.

求证：

AM2＝MD·ME.

构造相似三角形法

5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.

求证：

BP·CP＝BM·CN.

等比过渡法

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.

求证：

（1）△DEF∽△BDE；

（2）DG·DF＝DB·EF.

7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.

求证：

CE2＝DE·PE.

两次相似法

8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.

求证：

＝

.

9．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：

（1）△AMB∽△AND；

（2）

＝

.

等积代换法

10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

求证：

＝

.

等线段代换法

11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，

求证：

BP2＝PE·PF.

12．如图，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.

求证：

PD2＝PB·PC.

参考答案

1．证明：

如图，过点C作CM∥AB交DF于点M.

∵CM∥AB，∴∠FCM＝∠B，∠FMC＝∠FDB.∴△CMF∽△BDF.

∴

＝

.

又∵CM∥AD，

∴∠A＝∠ECM，∠ADE＝∠CME.

∴△ADE∽△CME.∴

＝

.

∵D为AB的中点，∴BD＝AD.

∴

＝

.∴

＝

.

即AE·CF＝BF·EC.

2．证明：

过点D作DG∥BC，交AC于点G，

易知△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.

∴

＝

，

＝

.

∵AD＝CE，∴

＝

.∴

＝

.

即AB·DF＝BC·EF.

点拨：

过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．

3．证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AE∥DC，∠A＝∠C.

∴∠CDF＝∠E.

∴△FCD∽△DAE.∴

＝

.

4．证明：

∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，

∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.

∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.

又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，

∴BM＝AM.

∴∠B＝∠BAM.

∴∠BAM＝∠D.即∠EAM＝∠D.

又∵∠AME＝∠DMA.

∴△AME∽△DMA.

∴

＝

.即AM2＝MD·ME.

5．证明：

如图，连接PM，PN.

∵MN是AP的垂直平分线，

∴MA＝MP，

NA＝NP.

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.

又∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.

∴∠2＋∠4＝60°.

∴∠5＋∠6＝120°.

又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°，

∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.

∴

＝

.即BP·CP＝BM·CN.

6．证明：

（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，

∴∠ABC＋∠EDB＝180°，∠ACB＋∠FED＝180°.∴∠FED＝∠EDB.

又∵∠EDF＝∠DBE，

∴△DEF∽△BDE.

（2）由△DEF∽△BDE得

＝

.即DE2＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠GED＝∠EFD.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.

∴

＝

.即DE2＝DG·DF.

∴DG·DF＝DB·EF.

7．证明：

∵BG⊥AP，PE⊥AB，

∴∠AEP＝∠DEB＝∠AGB＝90°.

∴∠P＋∠PAB＝90°，

∠PAB＋∠ABG＝90°.

∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.

∴

＝

.即AE·BE＝PE·DE.

又∵∠CEA＝∠BEC＝90°，

∴∠CAB＋∠ACE＝90°.

又∵∠ACB＝90°，

∴∠CAB＋∠CBE＝90°.

∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.

∴

＝

.即CE2＝AE·BE.

∴CE2＝DE·PE.

8．证明：

由题意得∠BDF＝∠BAE＝90°.

∵BE平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABE.

∴△BDF∽△BAE.∴

＝

.

∵∠BAC＝∠BDA＝90°，

∠ABC＝∠DBA.

∴△ABC∽△DBA.∴

＝

.

∴

＝

.

9．证明：

（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D.

∵AM⊥BC，AN⊥CD，

∴∠AMB＝∠AND＝90°.

∴△AMB∽△AND.

（2）由△AMB∽△AND得

＝

，∠BAM＝∠DAN.

又AD＝BC，∴

＝

.

∵AM⊥BC，AD∥BC，

∴∠MAD＝∠AMB＝90°.

∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°.∴∠B＝∠MAN.

∴△AMN∽△BAC.∴

＝

.

10．证明：

∵AD⊥BC，DE⊥AB，

∴∠ADB＝∠AED＝90°.

又∵∠BAD＝∠DAE，

∴△ABD∽△ADE.

∴

＝

.即AD2＝AE·AB.

同理可得AD2＝AF·AC.

∴AE·AB＝AF·AC.∴

＝

.

11．证明：

连接PC，如图所示．

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB.

∴BP＝CP.∴∠1＝∠2.

∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，

即∠3＝∠4.

∵CF∥AB，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F.

又∵∠CPF＝∠CPE，

∴△CPF∽△EPC.

∴

＝

，即CP2＝PF·PE.

∵BP＝CP，∴BP2＝PE·PF.

12．证明：

如图，连接PA，

∵EP是AD的垂直平分线，

∴PA＝PD.

∴∠PDA＝∠PAD.

∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.

又∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP.

又∵∠APC＝∠BPA，

∴△PAC∽△PBA.∴

＝

.

即PA2＝PB·PC.

∵PA＝PD，∴PD2＝PB·PC.