1、专题训练证比例式或等积式的技巧含答案专训2证比例式或等积式的技巧名师点金:证比例式或等积式,若所遇问题中无平行线或相似三角形,则需构造平行线或相似三角形,得到成比例线段;若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中,可尝试证这两个三角形相似;若不在两个三角形中,可先将它们转化到两个三角形中,再证这两个三角形相似,若在两个明显不相似的三角形中,可运用中间比代换 构造平行线法1如图,在ABC中,D为AB的中点,DF交AC于点E,交BC的延长线于点F,求证:AECFBFEC.2如图,已知ABC的边AB上有一点D,边BC的延长线上有一点E,且ADCE,DE交AC于点F,求证:ABDFBCEF. 三点定型
2、法3如图,在ABCD中,E是AB延长线上的一点,DE交BC于F.求证:.4如图,在ABC中,BAC90,M为BC的中点,DMBC交CA的延长线于D,交AB于E.求证:AM2MDME. 构造相似三角形法5如图,在等边三角形ABC中,点P是BC边上任意一点,AP的垂直平分线分别交AB,AC于点M,N.求证:BPCPBMCN. 等比过渡法6如图,在ABC中,ABAC,DEBC,点F在边AC上,DF与BE相交于点G,且EDFABE.求证:(1)DEFBDE;(2)DGDFDBEF.7如图,CE是RtABC斜边上的高,在EC的延长线上任取一点P,连接AP,作BGAP于点G,交CE于点D.求证:CE2DE
3、PE. 两次相似法8如图,在RtABC中,AD是斜边BC上的高,ABC的平分线BE交AC于E,交AD于F.求证:.9如图,在ABCD中,AMBC,ANCD,垂足分别为M,N.求证:(1)AMBAND;(2). 等积代换法10如图,在ABC中,ADBC于D,DEAB于E,DFAC于F.求证:. 等线段代换法11如图,在等腰三角形ABC中,ABAC,ADBC于点D,点P是AD上一点,CFAB,延长BP交AC于点E,交CF于点F,求证:BP2PEPF.12如图,已知AD平分BAC,AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.求证:PD2PBPC.参考答案1证明:如图,过点C作CMAB交DF于点M.CM
4、AB,FCMB,FMCFDB.CMFBDF.又CMAD,AECM,ADECME.ADECME.D为AB的中点,BDAD.即AECFBFEC.2证明:过点D作DGBC,交AC于点G,易知DGFECF,ADGABC.,.ADCE,.即ABDFBCEF.点拨:过某一点作平行线,构造出“A”型或“X”型的基本图形,通过相似三角形转化线段的比,从而解决问题3证明:四边形ABCD是平行四边形,AEDC,AC.CDFE.FCDDAE.4证明:DMBC,BAC90,BBEM90,DDEA90.BEMDEA,BD.又M为BC的中点,BAC90,BMAM.BBAM.BAMD.即EAMD.又AMEDMA.AMEDM
5、A.即AM2MDME.5证明:如图,连接PM,PN.MN是AP的垂直平分线,MAMP,NANP.12,34.又ABC是等边三角形,BC1360.2460.56120.又67180C120,57.BPMCNP.即BPCPBMCN.6证明:(1)ABAC,ABCACB.DEBC,ABCEDB180,ACBFED180.FEDEDB.又EDFDBE,DEFBDE.(2)由DEFBDE得.即DE2DBEF.又由DEFBDE,得GEDEFD.GDEEDF,GDEEDF.即DE2DGDF.DGDFDBEF.7证明:BGAP,PEAB,AEPDEBAGB90.PPAB90,PABABG90.PABG.AEP
6、DEB.即AEBEPEDE.又CEABEC90,CABACE90.又ACB90,CABCBE90.ACECBE.AECCEB.即CE2AEBE.CE2DEPE.8证明:由题意得BDFBAE90.BE平分ABC,DBFABE.BDFBAE.BACBDA90,ABCDBA.ABCDBA.9证明:(1)四边形ABCD为平行四边形,BD.AMBC,ANCD,AMBAND90.AMBAND.(2)由AMBAND得,BAMDAN.又ADBC,.AMBC,ADBC,MADAMB90.BBAMMANNAD90.BMAN.AMNBAC.10证明:ADBC,DEAB,ADBAED90.又BADDAE,ABDADE.即AD2AEAB.同理可得AD2AFAC.AEABAFAC.11证明:连接PC,如图所示ABAC,ADBC,AD垂直平分BC,ABCACB.BPCP.12.ABC1ACB2,即34.CFAB,3F.4F.又CPFCPE,CPFEPC.,即CP2PFPE.BPCP,BP2PEPF.12证明:如图,连接PA, EP是AD的垂直平分线,PAPD.PDAPAD.BBADDACCAP.又AD平分BAC,BADDAC.BCAP.又APCBPA,PACPBA.即PA2PBPC.PAPD,PD2PBPC.
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