北京市东城区初三数学二模试题及答案.docx

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北京市东城区初三数学二模试题及答案

2009年北京市东城区中考数学二模试卷

一、选择题（8个小题，每小题4分，共32分）

下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．4的平方根是（）

A．2B．－2C．±2D．16

2．下列图形中，是轴对称图形的是（）

A．直角三角形B．平行四边形

C．梯形D．等边三角形

3．在反比例函数

的图象上的一个点的坐标是（）

A．

B．（－2，1）C．（2，1）D．（－2，2）

4．如果把分式

中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）

A．扩大3倍B．缩小3倍

C．缩小6倍D．不变

5．学校篮球集训队9名队员进行定点投篮训练，将9名队员在1分钟投进篮筐的球数由小到大排序后为6、7、8、8、9、9、9、10、12，这组数据的众数和中位数分别是（）

A．9.9B．9，8C．9，8.5D．8，9

6．如图，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的底面半径为（）

A．

B．

C．

D．

第6题图第7题图

7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）

A．

B．

C．

D．

8．如图①是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的∠CFE的度数是（）

A．110°B．120°C．140°D．150°

第8题图

二、填空题（4个小题，每小题4分，共16分）

9．若分式

的值为零，则x的值等于________．

10．若

，则

的值为________．

11．如图，宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：

cm），则该圆的半径为________cm．

第11题图第12题图

12．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L形模板如图放置，则矩形ABCD的周长为________．

三、解答题（5个小题，每小题5分，共25分）

13．计算：

．

14．已知x2－9＝0，求代数式x2（x＋1）－x（x2－1）－x－7的值．

15．解方程：

x2＋2x－2＝0．

16．化简：

．

17．已知关于x的一元二次方程x2－mx－3＝0，

（1）若x＝－1是这个方程的一个根，求m的值；

（2）对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由．

四、解答题（2个小题，每小题5分，共10分）

18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD．

（1）请再写出图中另外一对相等的角；

（2）若AC＝6，BC＝9，试求AD的长．第18题图

19．在一个不透明的口袋里，装着只有颜色不同的白、红、黑三种颜色的小球各一个．甲先从袋中随机摸出一球，看清颜色后放回，乙再从袋中随机摸出一球．

（1）画树状图（或列表），表示甲、乙摸球的所有可能结果．

（2）求乙摸到与甲相同颜色球的概率．

五、解答题（3个小题，每小题5分，共15分）

20．某校把一块沿河的三角形废地（如图）开辟为生物园，已知∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝24m．为便于浇灌，学校在点C处建了一个蓄水池，利用管道从河中取水．已知每铺设1m管道费用为50元，求铺设管道的最低费用（精确到1元）．

第20题图

21．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．

（1）求证：

DE是⊙O的切线；

（2）若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．

第21题图

22．请设计一种方案：

把正方形ABCD剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，画出必要的示意图．

（1）使拼成的三角形是等腰三角形．（图①）

（2）使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形．（图②）

①

②

第22题图

六、解答题（3个小题，共22分）

23．（本题满分7分）点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作△ABE和△BCF，连结AF，CE．取AF、CE的中点M、N，连结BM，BN，MN．

（1）若△ABE和△FBC是等腰直角三角形，且∠ABE＝∠FBC＝90°（如图①），则△MBN是________三角形．

（2）在△ABE和△BCF中，若BA＝BE，BC＝BF，且∠ABE＝∠FBC＝α，（如图②），则△MBN是________三角形，且∠MBN＝________．

（3）若将

（2）中的△ABE绕点B旋转一定角度（如图③），其他条件不变，那么

（2）中的结论是否成立?

若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明．

第23题图

24．（本题满分7分）定义{a，b，c}为函数y＝ax2＋bx＋c的“特征数”．如：

函数y＝x2－2x＋3的“特征数”是{1，－2，3}，函数y＝2x＋3的“特征数”是{0，2，3}，函数y＝－x的“特征数”是{0，－1，0}．

（1）将“特征数”是

的函数图象向下平移2个单位长度，得到一个新函数，这个新函数的解析式是________．

（2）在

（1）中，平移前后的两个函数分别与y轴交于A、B两点，与直线x＝

分别交于D、C两点，判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长．

（3）若

（2）中的四边形与“特征数”是{1，

的函数图象的有交点，求满足条件的实数b的取值范围．

第24题图

25．（本题满分8分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB＝10，AD＝6，DC＝8，BC＝12，点E在底边BC上，点F在AB上．

（1）若EF平分直角梯形ABCD的周长，设BE的长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积．

（2）是否存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分?

若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．

（3）若线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1∶2两部分，将△BEF的面积记为S1，五边形AFECD的面积记为S2，且S1∶S2＝k，求出k的最大值．

第25题图

2009年北京市东城区中考数学二模试卷

答案

一、选择题

1.C2．D3．C4．D5．A6．B7．C8．B

二、填空题

9．110．

11.

12．8

三、解答题

13．解：

原式

＝－2

14．解：

原式＝x3＋x2－x3＋x－x－7

＝x2－7．

∵x2－9＝0，

∴x2＝9．

∴原式＝9－7＝2．

15．解：

（x＋1）2＝3，

x＋1＝±

.

∴x1＝－1＋

，x2＝－1－

.

16．解：

原式

．

17．解：

（1）∵x＝－1是方程的一个根，

∴1＋m－3＝0

解得m＝2

（2）方程为x2－mx－3＝0

Δ＝b2－4ac＝m2＋12

∵对于任意实数m，m2≥0，∴m2＋12＞0．

∴对于任意的实数m，方程有两个不相等的实数根．

四、解答题

18．

（1）∠ACB＝∠CAD（或∠BAC＝∠ADC）

（2）∵∠B＝∠ACD，又∠ACB＝∠CAD，

∴△ABC∽△DCA．

，即AC2＝BC·AD．

∵AC＝6，BC＝9，

∴62＝9·AD，

解得AD＝4．

19．

（1）树状图如图：

第19题答图

所有可能的结果有（白，白）、（白，红）、（白，黑）、（红，白）、（红，红）、（红，黑）、（黑，白）、（黑，红）、（黑，黑）．

（2）P（甲、乙颜色相同）

．

五、解答题

20．解：

过C点作CD⊥AB于点D．

由∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，得∠ABC＝30°．

又AB＝24，得

．

在Rt△CDA中，

，

∴CD＝AC·sin∠CAD＝12

．

∴铺设管道的最低费用＝50·CD≈519元．

第20题答图

21．证明：

（1）连结OC，

∵AE⊥CD，CF⊥AB，

又∵CE＝CF，

∴∠1＝∠2．

∵OA＝OC，

∴∠2＝∠3．

∴∠1＝∠3．

∴OC∥AE．

∴OC⊥CD．

∴DE是⊙O的切线．

第21题答图

（2）解：

∵AB＝6，

．

在Rt△OCD中，OC＝3，OD＝OB＋BD＝6，

∴∠D＝30°，∠COD＝60°．

在Rt△ADE中，AD＝AB＋BD＝9，

．

在△OBC中，

∵∠COD＝60°，OB＝OC，

∴BC＝OB＝3．

22．解：

答案不唯一．

（1）

（2）

第22题答图

六、解答题

23．解：

（1）等腰直角．

（2）等腰，α．

（3）结论仍然成立．

证明：

在△ABF和△EBC中，

∴△ABF≌△EBC．

∴AF＝CE．∠AFB＝∠ECB．

∵M，N分别是AF、CE的中点，

∴FM＝CN．

∴△MFB≌NCB．

∴BM＝BN．∠MBF＝∠NBC．

∴∠MBN＝∠MBF＋∠FBN＝∠FBN＋∠NBC＝∠FBC＝α．

24．解：

（1）

．

（2）由题意可知

向下平移两个单位长度得

，

第23题答图

∴AD∥BC，AB＝2．

∵x＝

，∴AB∥CD．

∴四边形ABCD为平行四边形．

得C点坐标为（

，0），

∴D（

，2）．

由勾股定理可得BC＝2．

∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝2，BC＝2

∴四边形ABCD为菱形．

∴周长为8．

①

②

第24题答图

（3）二次函数为：

，

化为顶点式为：

，

∴二次函数的图象不会经过点B和点C．

设二次函数的图象与四边形有交点，当二次函数的图象经过点A时，

将A（0，1）代入二次函数，解得

，

（不合题意，舍去）．

当二次函数的图象经过点D时，将D（

，2）代入二次函数，解得

，

（不合题意，舍去）．所以实数b的取值范围：

．

25．解：

（1）由已知得梯形周长＝36，高＝8，面积＝72．由题意，BF＝18－x．过点F作FG⊥BC于点G，过点A作AK⊥BC于点K，则△BFG∽△BAK．

可得

．

．

（2）不存在

由

（1）

，

整理得：

（x－9）2＝－9，此方程无解．

不存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分．

（3）由已知易知，线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1∶2两部分，只能是FB＋BE与FA＋AD＋DC＋CE的比是1∶2．

，第25题答图

要使k取最大值，只需S1取最大值．

与

（1）同理，

，

当x＝6时，S1取最大值

．此时

，

∴k的最大值是

．