高等代数北大版课件6.5线性子空间.ppt

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2线性空间的定义与简单性质,3维数基与坐标,4基变换与坐标变换,1集合映射,5线性子空间,7子空间的直和,8线性空间的同构,6子空间的交与和,小结与习题,第六章线性空间,6.5线性子空间,一、线性子空间,二、生成子空间,6.5线性子空间,6.5线性子空间,一、线性子空间,1、线性子空间的定义,设V是数域P上的线性空间，集合,若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间,则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间,注：

线性子空间也是数域P上一线性空间，它也,任一线性子空间的维数不能超过整个空间的,有基与维数的概念.,维数.,6.5线性子空间,2、线性子空间的判定,，若W对于V中两种运算封闭，即,则W是V的一个子空间,定理：

设V为数域P上的线性空间，集合,W是V的子空间,6.5线性子空间,它在V中的负元素，4）成立,就是V中的零元，3）成立,是显然成立的下证3）、4）成立,由加法封闭，有,即W中的零元,证明：

要证明W也为数域P上的线性空间，即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则,6.5线性子空间,例2设V为所有实函数所成集合构成的线性空间,则Rx为V的一个子空间,例3Pxn是Px的的线性子空间,例1设V为数域P上的线性空间，只含零向量的子集合是V的一个线性子空间，称之为V的零子空间线性空间V本身也是V的一个子空间.这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的子空间称为非平凡子空间,6.5线性子空间,的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数,（）的解空间W的维数n秩（A），；,例4n元齐次线性方程组,（）,注,（）的一个基础解系就是解空间W的一组基.,空间，称W为方程组（）的解空间,量乘法构成的线性空间是n维向量空间Pn的一个子,6.5线性子空间,例5判断Pn的下列子集合哪些是子空间：

解：

W1、W3是Pn的子空间，W2不是Pn的子空间.,若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.,事实上，W1是n元齐次线性方程组,的解空间.所以，维W1n1，的一个基础解系,6.5线性子空间,就是W1的一组基.,而在W2中任取两个向量，设,则,故W2不是Pn的子空间.,6.5线性子空间,故，W3为V的一个子空间，且维W3n1，,则有,其次，,设,下证W3是Pn的子空间.,就是W3的一组基.,6.5线性子空间,例6设V为数域P上的线性空间，,则W关于V的运算作成V的一个子空间,即的一切线性组合所成集合.,6.5线性子空间,称为V的由生成的子空间，,二、一类重要的子空间生成子空间,定义：

V为数域P上的线性空间，,则子空间,，,记作,称为的一组生成元.,6.5线性子空间,例7在Pn中，,为Pn的一组基，,即Pn由它的一组基生成.,类似地，还有,事实上，任一有限维线性空间都可由它的一组基生成.,6.5线性子空间,有关结论,1、设W为n维线性空间V的任一子空间，是W的一组基，则有,2、（定理3）,1）；为线性空间V中的两组向量，则,与等价,2）生成子空间的维数,向量组的秩,6.5线性子空间,证：

1）若,同理每一个也可被线性表出.,，可被线性表出，,从而可被线性表出，即,6.5线性子空间,所以,同理可得，,故，,由3定理1，,为它的一个极大无关组,就是的一组基，,所以，的维数t,6.5线性子空间,无关组，则,推论：

设是线性空间V中不全为零,的一组向量，是它的一个极大,3、设为P上n维线性空间V的一组基，,则的维数秩（A）.,A为P上一个矩阵，若,6.5线性子空间,证：

设秩（A）r，不失一般性，设A的前r列线,性无关，并将这r列构成的矩阵记为A1，其余s-r列,构成的矩阵记为A2，则A（A1,A2），且,秩（A1）秩（A）r，,设即,下证线性无关.,6.5线性子空间,是V的一组基，,又秩（A1）r，方程组只有零解，即,线性无关.,从而,6.5线性子空间,任取,将A的第j列添在A1的右边构成的矩阵记为Bj，则,则有,即,设,6.5线性子空间,从而有,而秩（Bj）r，有非零解，故有不全为零的数,故为的极大无关组，,所以的维数r秩（A）.,线性相关.,6.5线性子空间,则向量组与矩阵A的列向量组具有相同,线性相关性.所以可对矩阵A作初等行变换化阶梯,阵来求向量组的一个极大无关组，从而,求出生成子空间的维数与一组基.,注：

由证明过程可知，若为V的一组基，,6.5线性子空间,为V的一组基即在V中必定可找到nm个向量,设W为n维线性空间V的一个m维子空间，,4、（定理4）,为W的一组基，则这组向量必定可扩充,，使为V的一组基,扩基定理,证明：

对nm作数学归纳法,当nm0时，即nm，,定理成立,就是V的一组基.,假设当nmk时结论成立.,6.5线性子空间,因n（m1）（nm）1（k1）1k，,下面我们考虑nmk1的情形,必定是线性无关的,既然还不是V的一组基，它又是线性无关的，那么在V中必定有一个向量不能被线性表出，把它添加进去，则,由定理3，子空间是m1维的,可以扩充为整个空间V的一组基由归纳原理得证.,由归纳假设，的基,6.5线性子空间,它扩充为P4的一组基，其中,例8求的维数与一组基，并把,解：

对以为列向量的矩阵A作,初等行变换,6.5线性子空间,由B知，为的一个极大,故，维3，,就是的一组基.,无关组.,6.5线性子空间,则线性无关，从而为P4的一组基.,6.5线性子空间,练习,设V为数域P上的线性空间，为V,的一组基，且,求的一组基，并把它扩充为V的一组基.,6.5线性子空间,令对A作初等行变换,解：

6.5线性子空间,则线性无关，从而为V的一组基.,又,由B知，A的列向量线性无关，从而,线性无关.故为的一组基.,