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集合的概念及运算

第一节 集合的概念与运算

最新考纲:

1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系;2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.

1.元素与集合

(1)集合中元素的三个特征:

确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示.

(3)集合的表示法:

列举法、描述法、图示法.

问题探究:

集合{Ø}是空集吗?

它与{0},Ø有什么区别?

提示:

集合{Ø}不是空集,因为它含有元素Ø,同理,{0}也不是空集,因为它含有元素0,但{Ø}与{0}不同,因为它们的元素不同,Ø是不含任何元素的集合.

2.集合间的基本关系

    表示

关系    

文字语言

符号语言

集合间的

基本关系

相等

集合A与集合B中的所有元素都相同

A=B

子集

A中任意一个元素均为B中的元素

A⊆B

真子集

A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素

AB

空集

空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集

3.集合的基本运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

图形

语言

符号

语言

A∪B={x|x∈A,或x∈B}

A∩B={x|x∈A,且x∈B}

∁UA={x|x∈U,且x∉A}

4.集合的运算性质

并集的性质:

A∪Ø=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A

⇔B⊆A.

交集的性质:

A∩Ø=Ø;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A

⇔A⊆B.

补集的性质:

A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=Ø;∁U(∁UA)=A.

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)集合{x|y=

}与集合{y|y=

}是同一个集合.(  )

(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.(  )

(3)已知集合A={x|mx=1},B={1,2},且A⊆B,则实数m=1或m=

.(  )

(4)含有n个元素的集合的子集个数是2n,真子集个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.(  )

(5)若A={0,1},B={(x,y)|y=x+1},则A⊆B.(  )

[答案] 

(1)× 

(2)× (3)× (4)√ (5)×

2.(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=(  )

A.{-1,0}B.{0,1}

C.{-1,0,1}D.{0,1,2}

[解析] 由题意知B={x|-2

[答案] A

3.(2016·北京东城期末统测)已知集合A={x|00},则A∪B=(  )

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(-∞,-1)∪(0,+∞)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

[解析] 由已知条件可得B={x|(x-1)(x+1)>0}={x|x>1或x<-1},∴A∪B={x|01或x<-1}={x|x>0或x<-1},故选C.

[答案] C

4.(2015·济南3月模拟)已知集合A={x||x-1|<2},B={x|y=lg(x2+x)},设U=R,则A∩(∁UB)等于(  )

A.[3,+∞)B.(-1,0]

C.(3,+∞)D.[-1,0]

[解析] 解不等式|x-1|<2得-10,解得x<-1或x>0,所以B={x|x<-1或x>0},∁UB={x|-1≤x≤0},所以A∩(∁UB)=(-1,0],故选B.

[答案] B

5.(2015·东北三省四市第二次联考)设集合A={1,2,4},集合B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合B中的元素个数为.

[解析] ∵a∈A,b∈A,x=a+b,∴x=2,3,4,5,6,8,∴B中有6个元素.

[答案] 6

考点一 集合的基本概念

1.掌握集合的概念,关键是把握集合中元素的特性,要特别注意集合中元素的互异性,一方面利用集合中元素的互异性能顺利找到解题的切入点;另一方面,在解答完毕时,注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.

2.用描述法表示集合时,首先应清楚集合的类型和元素的性质.

加强对集合中元素的特征的理解,互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.

(1)(2016·银川质检)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是(  )

A.1B.3

C.5D.9

(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为.

[解题指导] 切入点:

集合中元素的特征;关键点:

集合中元素的互异性.

[解析] 

(1)逐个列举可得.x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2;x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1;x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为-2,-1,0,1,2.共5个.

(2)因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3.

当m+2=3,

即m=1时,2m2+m=3,

此时集合A中有重复元素3,

所以m=1不符合题意,舍去;

当2m2+m=3时,解得m=-

或m=1(舍去),

因为当m=-

时,m+2=

≠3,符合题意.所以m=-

.

[答案] 

(1)C 

(2)-

(1)用描述法表示集合时要把握元素的特征,分清点集、数集;

(2)要特别注意集合中元素的互异性,在解题过程中最容易被忽视,因此要对计算结果进行检验,防止所得结果违背集合中元素的互异性.

对点训练

1.若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=(  )

A.4B.2

C.0D.0或4

[解析] 由题意得,ax2+ax+1=0只有一个实数解,当a=0时,方程无实数解;当a≠0时,则Δ=a2-4a=0,解得a=4(a=0不合题意舍去),故选A.

[答案] A

2.已知集合A={t2+s2|t,s∈Z},且x∈A,y∈A,则下列结论正确的是(  )

A.x+y∈AB.x-y∈A

C.xy∈AD.

∈A

[解析] 由集合A={t2+s2|t,s∈Z}(即A中元素均可以表示为两个整数平方和的形式),可得1=02+12,2=12+12,所以x=1∈A,y=2∈A,但1+2=3∉A,故A.“x+y∈A”不成立;又1-2=-1∉A,故B.“x-y∈A”不成立;又

∉A,故D.“

∈A”不成立.故选C.

[答案] C

3.A、B是两个集合,A={y|y=x2-2},B={-3,1,y},其中y∈A,则y的取值集合是.

[解析] 因为B是一个集合,由集合元素的互异性可知y≠-3且y≠1,A是函数y=x2-2的值域[-2,+∞),从而y的取值集合就是{y|y≥-2且y≠1}.

[答案] {y|y≥-2且y≠1}

考点二 集合间的基本关系

判断集合间关系往往转化为元素与集合间关系,对描述法表示的集合要抓住元素及属性,可将元素列举出来或通过元素特征,对连续数集和抽象集合,常借助数形结合的思想(借助数轴,韦恩图及函数图象等)解决.

空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解题时,若未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.

(1)(2015·皖南八校联考)已知R表示实数集,集合M={x|0≤x≤2},N={x|x2-2x-3>0},则下列结论正确的是

(  )

A.M⊆NB.M⊆∁RN

C.∁RM⊆ND.∁RN⊆M

(2)(2015·郑州模拟)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是.

[解题指导] 切入点:

子集的定义;关键点:

含有字母参数时,应对Ø关注.

[解析] 

(1)集合N={x|x2-2x-3>0}={x|x>3或x<-1},所以∁RN={x|-1≤x≤3},又M={x|0≤x≤2},所以M⊆∁RN,故选B.

(2)当m+1>2m-1,即m<2时,B=Ø,

满足B⊆A;

若B≠Ø,且满足B⊆A,如图所示,则

∴2≤m≤3.

故m<2或2≤m≤3,即m的取值范围为{m|m≤3}.

[答案] 

(1)B 

(2){m|m≤3}

(1)判断两集合的关系常有两种方法:

一是化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系;二是用列举法表示各集合,从元素中寻找关系;

(2)已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,

进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常是合理利用数轴、Venn图来帮助分析;(3)B为A的子集,不要漏掉B=Ø时的情况.

对点训练

1.(2015·重庆卷)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则

(  )

A.A=BB.A∩B=Ø

C.ABD.BA

[解析] ∵A={1,2,3},B={2,3},∴2,3∈A且2,3∈B,1∈A但1∉B,∴BA.

[答案] D

2.(2016·合肥模拟)已知集合P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},若S⊆P,则实数a的取值组成的集合是

(  )

A.

B.

C.

D.

[解析] 由题意得,P={-3,2}.

当a=0时,S=Ø,满足S⊆P;

当a≠0时,方程ax+1=0的解为x=-

为满足S⊆P,可使-

=-3,或-

=2,

即a=

,或a=-

.

故所求集合为

.

[答案] D

3.(2016·南充调研)已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是.

[解析] 集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],因为A⊆B,所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,即实数a-b的取值范围是(-∞,-2].

[答案] (-∞,-2]

考点三 集合的基本运算

在进行集合的运算时,先看清集合的元素和所满足的条件,再把所给集合化为最简形式,并合理转化求解,必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具使问题直观化,并会运用分类讨论、数形结合等思想方法,使运算更加直观、简洁.

韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.

(1)(2015·天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩(∁UB)=(  )

A.{2,5}B.{3,6}

C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}

(2)已知集合A={y|y=x2-2x,x∈R},B={y|y=-x2+2x+6,x∈R},则A∩B=.

[解题指导] 切入点:

集合的交、并、补的概念;关键点:

化简集合,准确运算.

[解析] 

(1)先求得集合B的补集,再进行交集运算.由题意得∁UB={2,5,8},∴A∩∁UB={2,3,5,6}∩{2,5,8}={2,5}.

(2)y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,

y=-x2+2x+6=-(x-1)2+7≤7,

∴A={y|y≥-1},B={y|y≤7},

故A∩B={y|-1≤y≤7}.

[答案] 

(1)A 

(2){y|-1≤y≤7}

[拓展探究] 

(1)在例3

(2)中,若集合A变为A={x|y=x2-2x,x∈R},其他条件不变,求A∩B.

(2)在例3

(2)中,若集合A、B变为:

A={(x,y)|y=x2-2x,x∈R},B={(x,y)|y=-x2+2x+6,x∈R},求A∩B.

[解] 

(1)因A中元素是函数自变量,则A=R,

而B={y|y≤7},则A∩B={y|y≤7}.

(2)由

⇒x2-2x-3=0,

解得x=3或x=-1.

于是,

故A∩B={(3,3),(-1,3)}.

考点四 与集合有关的新定义问题

与集合有关的新定义问题属于信息迁移类问题,它是化归思想的具体运用,在新给出的运算法则的前提下,将题目中的条件转化成符合新的运算法则的形式,是解答此类问题的关键.

分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程中,是破解新定义型试题的关键所在.

(2016·南昌质检)若X是一个集合,τ是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足:

①X属于τ,Ø属于τ;②τ中任意多个元素的并集属于τ;③τ中任意多个元素的交集属于τ,则称τ是集合X上的一个拓扑.已知集合X={a,b,c},对于下面给出的四个集合τ:

(1)τ={Ø,{a},{c},{a,b,c}}

(2)τ={Ø,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}

(3)τ={Ø,{a},{a,b},{a,c}}

(4)τ={Ø,{a,c}{b,c},{c},{a,b,c}}

其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是.

[解题指导] 切入点:

拓扑的概念;关键点:

从概念出发解决问题.

[解析] 

(1)τ={Ø,{a},{c},{a,b,c}},而{a}∪{c}={a,c}∉τ,故

(1)不是集合X上的拓扑;

(2)满足:

①X属于τ,Ø属于τ,②τ中任意多个元素的并集属于τ,③τ中任意多个元素的交集属于τ,因此

(2)是集合X上的拓扑;

(3){a,b}∪{a,c}={a,b,c}∉τ,故(3)不是集合X上的拓扑;

(4)满足:

①X属于τ,Ø属于τ,②τ中任意多个元素的并集属于τ,③τ中任意多个元素的交集属于τ,因此(4)是集合X上的拓扑.

[答案] 

(2)(4)

解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质,紧扣新定义进行推理论证,把其转化为我们熟知的基本运算.

对点训练

对于任意两个正整数m,n,定义运算(用⊕表示运算符号):

当m,n都是正偶数或都是正奇数时,m⊕n=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m⊕n=m×n.例如4⊕6=4+6=10,3⊕7=3+7=10,3⊕4=3×4=12.在上述定义中,集合M={(a,b)|a⊕b=12,a,b∈N*}的元素有个.

[解析] m,n同奇同偶时有11组:

(1,11),(2,10),…,(11,1);m,n一奇一偶时有4组:

(1,12),(12,1),(3,4),(4,3).

[答案] 15

———————方法规律总结————————

[方法技巧]

1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.

2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号.

3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.

[易错点睛]

1.解题中要明确集合中元素的特征,关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).

2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解.

3.解题时注意区分两大关系:

一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系.

4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.

          课时跟踪训练

(一)

一、选择题

1.集合A={x|x2+x-6≤0},B={y|y=

,0≤x≤4},则A∩(∁RB)=

(  )

A.[-3,2]B.[-2,0)∪(0,3]

C.[-3,0]D.[-3,0)

[解析] 由题知A={x|x2+x-6≤0}={x|-3≤x≤2},B={y|y=

,0≤x≤4}={y|0≤y≤2},所以∁RB={x|x>2或x<0},所以A∩(∁RB)={x|-3≤x<0},所以选D.

[答案] D

2.(2015·石家庄一模)若已知M={0,1,2,3,4},N={1,3,5,7},P=M∩N,则集合P的子集个数为(  )

A.2B.3

C.4D.5

[解析] ∵P={1,3},∴集合P的子集个数为4,故选C.

[答案] C

3.(2015·浙江卷)已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1

A.[0,1)B.(0,2]

C.(1,2)D.[1,2]

[解析] 先化简集合P,再应用集合的补集与交集的定义进行计算.由x2-2x≥0,得x≤0或x≥2,即P={x|x≤0或x≥2},所以∁RP={x|0

[答案] C

4.(2015·宁波二模)设全集U=R,A={x|x(x+3)<0},B={x|x<-1},则图中阴影部分表示的集合为(  )

A.{x|-3

B.{x|-3

C.{x|-1≤x<0}

D.{x|x<-3}

[解析] 因为A={x|x(x+3)<0}={x|-3

[答案] C

5.(2015·山西四校联考)设U=R,A={x|y=x

},B={y|y=-x2},则A∩(∁UB)=(  )

A.ØB.R

C.{x|x>0}D.{0}

[解析] ∵A={x|y=x

}={x|x≥0},B={y|y=-x2}={y|y≤0},∴∁UB={y|y>0},从而有A∩(∁UB)={x|x>0}.

[答案] C

6.(2016·唐山统考)设全集U=R,已知集合A={x|x≥1},B={x|(x+2)·(x-1)<0},则(  )

A.A∩B=ØB.A∪B=U

C.∁UB⊆AD.∁UA⊆B

[解析] ∵B={x|(x+2)(x-1)<0},∴B={x|-2

[答案] A

7.(2015·临沂二检)已知集合A={1,3,

},B={1,m},A∪B=A,则m=(  )

A.0或

B.0或3

C.1或

D.1或3

[解析] 由A∪B=A,可得B⊆A,则m=3或m=

,得m=3或0或1.经检验m=1时,集合A={1,3,1},B={1,1},显然不成立.综上有m=0或3,故选B.

[答案] B

8.已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,x

A.2B.3

C.4D.5

[解析] 当x=1时,y=2或3或4;当x=2时,y=3,所以集合B中的元素个数为4.

[答案] C

9.(2015·沈阳质量监测

(二))已知非空集合A,B,全集U=A∪B,集合M=A∩B,集合N=(∁UB)∪(∁UA),则(  )

A.M∪N=MB.M∩N=Ø

C.M=ND.M⊆N

[解析] 因为本题涉及的集合间的运算以及关系较为抽象,可以考虑利用Venn图辅助解题.作出满足题意的Venn图,如图所示,容易知道M∩N=Ø,故选B.

[答案] B

10.设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是(  )

A.

B.

C.

D.(1,+∞)

[解析] A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},因为函数y=f(x)=x2-2ax-1图象的对称轴为x=a>0,f(0)=-1<0,根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数,则这个整数解为2,所以有f

(2)≤0且f(3)>0,即

所以

≤a<

,故选B.

[答案] B

二、填空题

11.已知集合A={0,2,a2},B={1,a},若A∪B={0,1,2,4},则实数a的值为.

[解析] 若a=4,则a2=16∉(A∪B),所以a=4不符合要求;若a2=4,则a=±2,又-2∉(A∪B),所以a=2.

[答案] 2

12.已知集合A={(x,y)|y=

},B={(x,y)|y=x+m},且A∩B≠Ø,则实数m的取值范围是.

[解析] 集合A表示以原点为圆心,7为半径的圆在x轴及其上方的部分,A∩B≠Ø,表示直线y=x+m与半圆有交点,作出示意图可得实数m的取值范围是[-7,7

].

[答案] [-7,7

]

13.(2015·长沙模拟)已知集合A={x|x2+(a+2)x+1=0,x∈R},B={x|x>0,x∈R},若A∩B=Ø,则a的取值范围是.

[解析] ①当A中的元素为非正数时,A∩B=Ø,即方程x2+(a+2)x+1=0只有非正数解,

所以

解得a≥0;

②当A=Ø时,Δ=(a+2)2-4<0,解得-4

综上,a>-4.

所以a的取值范围是(-4,+∞).

[答案] (-4,+∞)

三、解答题

14.(2015·杭州学君中学模拟)已知集合A={m,m+d,m+2d},B={m,mq,mq2},其中m≠0,且A=B,求q的值.

[解] 由A=B可知,

(1)

(2)

(1)得q=1,解

(2)得q=1或q=-

.

又因为当q=1时,m=mq=mq2,不满足集合中元素的互异性,应舍去,所以q=-

.

15.(2016·江苏四市调研)已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.

(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值;

(2)若A⊆∁RB,求实数m的取值范围.

[解] 由已知得A={x|-1≤x≤3},

B={x|m-2≤x≤m+2}.

(1)∵A∩B=[0,3],∴

∴m=2.

(2)∁RB={x|xm+2},∵A⊆∁RB,

∴m-2>3或m+2<-1,即m>5或m<-3.

16.(2016·长春实验中学检测)已知集合A=

,B={x|x2-2x-m<0},

(1)当m=3时,求A∩(∁RB);

(2)若A∩B={x|-1

[解] 由

≤0,

解得-1

(1)当m=3时,B={x|-1

则∁RB={x|x≤-1或x≥3},

所以A∩(∁RB)={x|3≤x≤5}.

(2)因为A={x|-1

所以有42-2×4-m=0,解得m=8.

此时B={x|-2

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