[答案] A
3．（2016·北京东城期末统测）已知集合A＝{x|00}，则A∪B＝（ ）
A．（0,1）
B．（1,2）
C．（－∞，－1）∪（0，＋∞）
D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
[解析] 由已知条件可得B＝{x|（x－1）（x＋1）>0}＝{x|x>1或x<－1}，∴A∪B＝{x|01或x<－1}＝{x|x>0或x<－1}，故选C.
[答案] C
4．（2015·济南3月模拟）已知集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{x|y＝lg（x2＋x）}，设U＝R，则A∩（∁UB）等于（ ）
A．[3，＋∞）B．（－1,0]
C．（3，＋∞）D．[－1,0]
[解析] 解不等式|x－1|<2得－10，解得x<－1或x>0，所以B＝{x|x<－1或x>0}，∁UB＝{x|－1≤x≤0}，所以A∩（∁UB）＝（－1,0]，故选B.
[答案] B
5．（2015·东北三省四市第二次联考）设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为．
[解析] ∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6个元素．
[答案] 6
考点一 集合的基本概念
1．掌握集合的概念，关键是把握集合中元素的特性，要特别注意集合中元素的互异性，一方面利用集合中元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．
2．用描述法表示集合时，首先应清楚集合的类型和元素的性质．
加强对集合中元素的特征的理解，互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．
（1）（2016·银川质检）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）
A．1B．3
C．5D．9
（2）已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为．
[解题指导] 切入点：
集合中元素的特征；关键点：
集合中元素的互异性．
[解析]
（1）逐个列举可得．x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．
（2）因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.
当m＋2＝3，
即m＝1时，2m2＋m＝3，
此时集合A中有重复元素3，
所以m＝1不符合题意，舍去；
当2m2＋m＝3时，解得m＝－
或m＝1（舍去），
因为当m＝－
时，m＋2＝
≠3，符合题意．所以m＝－
.
[答案]
（1）C
（2）－
（1）用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集；
（2）要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防止所得结果违背集合中元素的互异性．
对点训练
1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝（ ）
A．4B．2
C．0D．0或4
[解析] 由题意得，ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4（a＝0不合题意舍去），故选A.
[答案] A
2．已知集合A＝{t2＋s2|t，s∈Z}，且x∈A，y∈A，则下列结论正确的是（ ）
A．x＋y∈AB．x－y∈A
C．xy∈AD．
∈A
[解析] 由集合A＝{t2＋s2|t，s∈Z}（即A中元素均可以表示为两个整数平方和的形式），可得1＝02＋12,2＝12＋12，所以x＝1∈A，y＝2∈A，但1＋2＝3∉A，故A.“x＋y∈A”不成立；又1－2＝－1∉A，故B.“x－y∈A”不成立；又
∉A，故D.“
∈A”不成立．故选C.
[答案] C
3．A、B是两个集合，A＝{y|y＝x2－2}，B＝{－3,1，y}，其中y∈A，则y的取值集合是．
[解析] 因为B是一个集合，由集合元素的互异性可知y≠－3且y≠1，A是函数y＝x2－2的值域[－2，＋∞），从而y的取值集合就是{y|y≥－2且y≠1}．
[答案] {y|y≥－2且y≠1}
考点二 集合间的基本关系
判断集合间关系往往转化为元素与集合间关系，对描述法表示的集合要抓住元素及属性，可将元素列举出来或通过元素特征，对连续数集和抽象集合，常借助数形结合的思想（借助数轴，韦恩图及函数图象等）解决．
空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．
（1）（2015·皖南八校联考）已知R表示实数集，集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{x|x2－2x－3>0}，则下列结论正确的是
（ ）
A．M⊆NB．M⊆∁RN
C．∁RM⊆ND．∁RN⊆M
（2）（2015·郑州模拟）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是．
[解题指导] 切入点：
子集的定义；关键点：
含有字母参数时，应对Ø关注．
[解析]
（1）集合N＝{x|x2－2x－3>0}＝{x|x>3或x<－1}，所以∁RN＝{x|－1≤x≤3}，又M＝{x|0≤x≤2}，所以M⊆∁RN，故选B.
（2）当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝Ø，
满足B⊆A；
若B≠Ø，且满足B⊆A，如图所示，则
即
∴2≤m≤3.
故m<2或2≤m≤3，即m的取值范围为{m|m≤3}．
[答案]
（1）B
（2）{m|m≤3}
（1）判断两集合的关系常有两种方法：
一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系；
（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，
进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常是合理利用数轴、Venn图来帮助分析；（3）B为A的子集，不要漏掉B＝Ø时的情况．
对点训练
1．（2015·重庆卷）已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则
（ ）
A．A＝BB．A∩B＝Ø
C．ABD．BA
[解析] ∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，∴2,3∈A且2,3∈B,1∈A但1∉B，∴BA.
[答案] D
2．（2016·合肥模拟）已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，若S⊆P，则实数a的取值组成的集合是
（ ）
A.
B．
C.
D．
[解析] 由题意得，P＝{－3,2}．
当a＝0时，S＝Ø，满足S⊆P；
当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－
，
为满足S⊆P，可使－
＝－3，或－
＝2，
即a＝
，或a＝－
.
故所求集合为
.
[答案] D
3．（2016·南充调研）已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是．
[解析] 集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是（－∞，－2]．
[答案] （－∞，－2]
考点三 集合的基本运算
在进行集合的运算时，先看清集合的元素和所满足的条件，再把所给集合化为最简形式，并合理转化求解，必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具使问题直观化，并会运用分类讨论、数形结合等思想方法，使运算更加直观、简洁．
韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．
（1）（2015·天津卷）已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩（∁UB）＝（ ）
A．{2,5}B．{3,6}
C．{2,5,6}D．{2,3,5,6,8}
（2）已知集合A＝{y|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋6，x∈R}，则A∩B＝.
[解题指导] 切入点：
集合的交、并、补的概念；关键点：
化简集合，准确运算．
[解析]
（1）先求得集合B的补集，再进行交集运算．由题意得∁UB＝{2,5,8}，∴A∩∁UB＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．
（2）y＝x2－2x＝（x－1）2－1≥－1，
y＝－x2＋2x＋6＝－（x－1）2＋7≤7，
∴A＝{y|y≥－1}，B＝{y|y≤7}，
故A∩B＝{y|－1≤y≤7}．
[答案]
（1）A
（2）{y|－1≤y≤7}
[拓展探究]
（1）在例3
（2）中，若集合A变为A＝{x|y＝x2－2x，x∈R}，其他条件不变，求A∩B.
（2）在例3
（2）中，若集合A、B变为：
A＝{（x，y）|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{（x，y）|y＝－x2＋2x＋6，x∈R}，求A∩B.
[解]
（1）因A中元素是函数自变量，则A＝R，
而B＝{y|y≤7}，则A∩B＝{y|y≤7}．
（2）由
⇒x2－2x－3＝0，
解得x＝3或x＝－1.
于是，
或
故A∩B＝{（3,3），（－1,3）}．
考点四 与集合有关的新定义问题
与集合有关的新定义问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，在新给出的运算法则的前提下，将题目中的条件转化成符合新的运算法则的形式，是解答此类问题的关键．
分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中，是破解新定义型试题的关键所在．
（2016·南昌质检）若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：
①X属于τ，Ø属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
（1）τ＝{Ø，{a}，{c}，{a，b，c}}
（2）τ＝{Ø，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}
（3）τ＝{Ø，{a}，{a，b}，{a，c}}
（4）τ＝{Ø，{a，c}{b，c}，{c}，{a，b，c}}
其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是．
[解题指导] 切入点：
拓扑的概念；关键点：
从概念出发解决问题．
[解析]
（1）τ＝{Ø，{a}，{c}，{a，b，c}}，而{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，故
（1）不是集合X上的拓扑；
（2）满足：
①X属于τ，Ø属于τ，②τ中任意多个元素的并集属于τ，③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此
（2）是集合X上的拓扑；
（3）{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，故（3）不是集合X上的拓扑；
（4）满足：
①X属于τ，Ø属于τ，②τ中任意多个元素的并集属于τ，③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此（4）是集合X上的拓扑．
[答案]
（2）（4）
解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．
对点训练
对于任意两个正整数m，n，定义运算（用⊕表示运算符号）：
当m，n都是正偶数或都是正奇数时，m⊕n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊕n＝m×n.例如4⊕6＝4＋6＝10,3⊕7＝3＋7＝10,3⊕4＝3×4＝12.在上述定义中，集合M＝{（a，b）|a⊕b＝12，a，b∈N*}的元素有个．
[解析] m，n同奇同偶时有11组：
（1,11），（2,10），…，（11,1）；m，n一奇一偶时有4组：
（1,12），（12,1），（3,4），（4,3）．
[答案] 15
———————方法规律总结————————
[方法技巧]
1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．
2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．
3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．
[易错点睛]
1．解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素（集合是点集、数集还是图形集）．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
3．解题时注意区分两大关系：
一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．
4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．
课时跟踪训练
（一）
一、选择题
1．集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，B＝{y|y＝
，0≤x≤4}，则A∩（∁RB）＝
（ ）
A．[－3,2]B．[－2,0）∪（0,3]
C．[－3,0]D．[－3,0）
[解析] 由题知A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，B＝{y|y＝
，0≤x≤4}＝{y|0≤y≤2}，所以∁RB＝{x|x>2或x<0}，所以A∩（∁RB）＝{x|－3≤x<0}，所以选D.
[答案] D
2．（2015·石家庄一模）若已知M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5,7}，P＝M∩N，则集合P的子集个数为（ ）
A．2B．3
C．4D．5
[解析] ∵P＝{1,3}，∴集合P的子集个数为4，故选C.
[答案] C
3．（2015·浙江卷）已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1A．[0,1）B．（0,2]
C．（1,2）D．[1,2]
[解析] 先化简集合P，再应用集合的补集与交集的定义进行计算．由x2－2x≥0，得x≤0或x≥2，即P＝{x|x≤0或x≥2}，所以∁RP＝{x|0[答案] C
4．（2015·宁波二模）设全集U＝R，A＝{x|x（x＋3）<0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|－1≤x<0}
D．{x|x<－3}
[解析] 因为A＝{x|x（x＋3）<0}＝{x|－3[答案] C
5．（2015·山西四校联考）设U＝R，A＝{x|y＝x
}，B＝{y|y＝－x2}，则A∩（∁UB）＝（ ）
A．ØB．R
C．{x|x>0}D．{0}
[解析] ∵A＝{x|y＝x
}＝{x|x≥0}，B＝{y|y＝－x2}＝{y|y≤0}，∴∁UB＝{y|y>0}，从而有A∩（∁UB）＝{x|x>0}．
[答案] C
6．（2016·唐山统考）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|（x＋2）·（x－1）<0}，则（ ）
A．A∩B＝ØB．A∪B＝U
C．∁UB⊆AD．∁UA⊆B
[解析] ∵B＝{x|（x＋2）（x－1）<0}，∴B＝{x|－2[答案] A
7．（2015·临沂二检）已知集合A＝{1,3，
}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝（ ）
A．0或
B．0或3
C．1或
D．1或3
[解析] 由A∪B＝A，可得B⊆A，则m＝3或m＝
，得m＝3或0或1.经检验m＝1时，集合A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，显然不成立．综上有m＝0或3，故选B.
[答案] B
8．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{（x，y）|x∈A，xA．2B．3
C．4D．5
[解析] 当x＝1时，y＝2或3或4；当x＝2时，y＝3，所以集合B中的元素个数为4.
[答案] C
9．（2015·沈阳质量监测
（二））已知非空集合A，B，全集U＝A∪B，集合M＝A∩B，集合N＝（∁UB）∪（∁UA），则（ ）
A．M∪N＝MB．M∩N＝Ø
C．M＝ND．M⊆N
[解析] 因为本题涉及的集合间的运算以及关系较为抽象，可以考虑利用Venn图辅助解题．作出满足题意的Venn图，如图所示，容易知道M∩N＝Ø，故选B.
[答案] B
10．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A.
B．
C.
D．（1，＋∞）
[解析] A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，因为函数y＝f（x）＝x2－2ax－1图象的对称轴为x＝a>0，f（0）＝－1<0，根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f
（2）≤0且f（3）>0，即
所以
即
≤a<
，故选B.
[答案] B
二、填空题
11．已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为．
[解析] 若a＝4，则a2＝16∉（A∪B），所以a＝4不符合要求；若a2＝4，则a＝±2，又－2∉（A∪B），所以a＝2.
[答案] 2
12．已知集合A＝{（x，y）|y＝
}，B＝{（x，y）|y＝x＋m}，且A∩B≠Ø，则实数m的取值范围是．
[解析] 集合A表示以原点为圆心，7为半径的圆在x轴及其上方的部分，A∩B≠Ø，表示直线y＝x＋m与半圆有交点，作出示意图可得实数m的取值范围是[－7，7
]．
[答案] [－7,7
]
13．（2015·长沙模拟）已知集合A＝{x|x2＋（a＋2）x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}，若A∩B＝Ø，则a的取值范围是．
[解析] ①当A中的元素为非正数时，A∩B＝Ø，即方程x2＋（a＋2）x＋1＝0只有非正数解，
所以
解得a≥0；
②当A＝Ø时，Δ＝（a＋2）2－4<0，解得－4综上，a>－4.
所以a的取值范围是（－4，＋∞）．
[答案] （－4，＋∞）
三、解答题
14．（2015·杭州学君中学模拟）已知集合A＝{m，m＋d，m＋2d}，B＝{m，mq，mq2}，其中m≠0，且A＝B，求q的值．
[解] 由A＝B可知，
（1）
或
（2）
解
（1）得q＝1，解
（2）得q＝1或q＝－
.
又因为当q＝1时，m＝mq＝mq2，不满足集合中元素的互异性，应舍去，所以q＝－
.
15．（2016·江苏四市调研）已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．
（1）若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
（2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
[解] 由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，
B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
（1）∵A∩B＝[0,3]，∴
∴m＝2.
（2）∁RB＝{x|xm＋2}，∵A⊆∁RB，
∴m－2>3或m＋2<－1，即m>5或m<－3.
16．（2016·长春实验中学检测）已知集合A＝
，B＝{x|x2－2x－m<0}，
（1）当m＝3时，求A∩（∁RB）；
（2）若A∩B＝{x|－1[解] 由
≤0，
解得－1（1）当m＝3时，B＝{x|－1则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}，
所以A∩（∁RB）＝{x|3≤x≤5}．
（2）因为A＝{x|－1所以有42－2×4－m＝0，解得m＝8.
此时B＝{x|－2
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