届高考理科数学第一轮复习测试题3140.docx
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届高考理科数学第一轮复习测试题3140
A级 基础达标演练
（时间：
40分钟 满分：
60分）
一、选择题（每小题5分，共25分）
1．cos300°＝（ ）．
A．－B．－C.D.
解析 cos300°＝cos60°＝.
答案 C
2．若tanα＝2，则的值为（ ）．
A．0B.C．1D.
解析 ＝＝＝.
答案 B
3．（2011·济南模拟）若cos（2π－α）＝且α∈，则sin（π－α）＝（ ）．
A．－B．－C．－D．±
解析 cos（2π－α）＝cosα＝，又α∈，
∴sinα＝－＝－＝－.
∴sin（π－α）＝sinα＝－.
答案 B
4．（2011·深圳调研）若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值等于（ ）．
A．－2B．2C．－2或2D．0
解析 原式＝＋，由题意知角α的终边在第二、四象限，sinα与cosα的符号相反，所以原式＝0.
答案 D
5．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为（ ）．
A．－B．－C.D.
解析 sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1
＝－1＝－.
答案 B
二、填空题（每小题4分，共12分）
6．若sin（π＋α）＝－，α∈，则cosα＝________.
解析 ∵sin（π＋α）＝－sinα，∴sinα＝，又α∈，
∴cosα＝－＝－.
答案 －
7．如果sinα＝，且α为第二象限角，则sin＝_____________________.
解析 ∵sinα＝，且α为第二象限角，
∴cosα＝－＝－＝－，
∴sin＝－cosα＝.
答案
8．（2010·全国）已知α为第三象限的角，cos2α＝－，则
tan________.
解析 ∵2kπ＋π＜α＜2kπ＋π（k∈Z），∴4kπ＋2π＜2α＜4kπ＋3π（k∈Z），∴sin2α＞0，
而cos2α＝－，
∴sin2α＝，得tan2α＝－，
∴tan＝＝＝－.
答案 －
三、解答题（共23分）
9．（11分）已知cos＝2sin.
求：
.
解 ∵cos＝2sin，
∴－sinα＝－2cosα，即sinα＝2cosα，
∴原式＝＝＝.
10．（★）（12分）已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝.
（1）求tanα的值；
（2）把用tanα表示出来，并求其值．
思路分析 （思路一）：
由已知条件与平方关系联立方程组求解；（思路二）：
先求sinα－cosα再与已知条件联立方程组求解．
解
（1）法一 联立方程
由①得cosα＝－sinα，将其代入②，
整理得25sin2α－5sinα－12＝0.
∵α是三角形内角，∴sinα＞0，∴
∴tanα＝－.
法二 ∵sinα＋cosα＝，∴（sinα＋cosα）2＝2，
即1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－，
∴（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝1＋＝.
∵sinαcosα＝－＜0且0＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，
∴sinα－cosα＝，
由得
∴tanα＝－.
（2）＝＝＝，
∵tanα＝－，
∴＝＝＝－.
【点评】要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，针对一些综合问题，需要构造方程来解决，在平时的学习中应该不断积累用方程的思想解题的方法.
B级 综合创新备选
（时间：
30分钟 满分：
40分）
一、选择题（每小题5分，共10分）
1．已知f（cosx）＝cos3x，则f（sin30°）的值为（ ）．
A．0B．1C．－1D.
解析 ∵f（cosx）＝cos3x，
∴f（sin30°）＝f（cos60°）＝cos180°＝－1.
答案 C
2．（2012·揭阳模拟）若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为
（ ）．
A．1＋B．1－
C．1±D．－1－
解析 由题意知：
sinθ＋cosθ＝－，sinθcosθ＝，
又（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ，
∴＝1＋，
解得：
m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，
∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.
答案 B
二、填空题（每小题4分，共8分）
3．已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值是________．
解析 （sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝，
又∵＜α＜，sinα＞cosα.∴cosα－sinα＝－.
答案 －
4．（2011·重庆）已知sinα＝＋cosα，且α∈，则的值为________．
解析 依题意得sinα－cosα＝，又（sinα＋cosα）2＋（sinα－cosα）2＝2，即（sinα＋cosα）2＋2＝2，故（sinα＋cosα）2＝；又α∈，因此有sinα＋cosα＝，所以＝＝－（sinα＋cosα）＝
－.
答案 －
三、解答题（共22分）
5．（10分）化简：
（k∈Z）．
解 当k＝2n（n∈Z）时，
原式＝
＝＝＝－1；
当k＝2n＋1（n∈Z）时，
原式＝
＝＝＝－1.
综上，原式＝－1.
6．（12分）已知关于x的方程2x2－（＋1）x＋m＝0的两根sinθ和cosθ，θ∈（0,2π），求：
（1）＋的值；
（2）m的值；
（3）方程的两根及此时θ的值．
解
（1）原式＝＋
＝＋
＝＝sinθ＋cosθ.
由条件知sinθ＋cosθ＝，
故＋＝.
（2）由sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝1＋2sinθcosθ
＝（sinθ＋cosθ）2，得1＋m＝2，即m＝.
（3）由得或
又θ∈（0,2π），故θ＝或θ＝.
A级 基础达标演练
（时间：
40分钟 满分：
60分）
一、选择题（每小题5分，共25分）
1．函数f（x）＝2sinxcosx是（ ）．
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析 f（x）＝2sinxcosx＝sin2x.∴f（x）是最小正周期为π的奇函数．
答案 C
2．函数y＝sin图象的对称轴方程可能是（ ）．
A．x＝－B．x＝－C．x＝D．x＝
解析 令2x＋＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），令k＝0得该函数的一条对称轴为x＝.本题也可用代入验证法来解．
答案 D
3．（2012·南昌质检）函数f（x）＝（1＋tanx）cosx的最小正周期为（ ）．
A．2πB.C．πD.
解析 依题意，得f（x）＝cosx＋sinx＝2sin.故最小正周期为2π.
答案 A
4．（★）下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（ ）．
A．y＝sinB．y＝cos
C．y＝sinD．y＝cos
解析 （筛选法）∵函数的周期为π.∴排除C、D，∵函数在上是减函数，∴排除B.
答案 A
【点评】本题采用了筛选法，体现了筛选法的方便、快捷、准确性，在解选择题时应注意应用.
5．已知函数f（x）＝sin（x∈R），下面结论错误的是（ ）．
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）在区间上是增函数
C．函数f（x）的图象关于直线x＝0对称
D．函数f（x）是奇函数
解析 ∵y＝sin＝－cosx，∴T＝2π，在上是增函数，图象关于y轴对称，为偶函数．
答案 D
二、填空题（每小题4分，共12分）
6．若函数f（x）＝cosωxcos（ω＞0）的最小正周期为π，则ω的值为________．
解析 f（x）＝cosωxcos
＝cosωxsinωx＝sin2ωx，
∴T＝＝π.∴ω＝1.
答案 1
7．（★）（2011·开封质检）已知函数f（x）＝sin（x＋θ）＋cos（x＋θ）是偶函数，则θ的值为________．
解析 （回顾检验法）据已知可得f（x）＝2sin，若函数为偶函数，则必有θ＋＝kπ＋（k∈Z），又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，经代入检验符合题意．
答案
【点评】本题根据条件直接求出θ的值，应将θ再代入已知函数式检验一下.
8．（★）函数f（x）＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
解析 （构造法）根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，f（x）＝1＋，f（x）－1为奇函数，则m－1＝－（M－1），所以M＋m＝2.
答案 2
【点评】整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用.注意到分式类函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解.
三、解答题（共23分）
9．（11分）设f（x）＝.
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）的值域及取最大值时x的值．
解
（1）由1－2sinx≥0，根据正弦函数图象知：
定义域为{x|2kπ＋π≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
（2）∵－1≤sinx≤1，∴－1≤1－2sinx≤3，∵1－2sinx≥0，
∴0≤1－2sinx≤3，∴f（x）的值域为[0，]，当x＝2kπ＋，k∈Z时，f（x）取得最大值．
10．（12分）（2011·中山模拟）已知f（x）＝sinx＋sin.
（1）若α∈[0，π]，且sin2α＝，求f（α）的值；
（2）若x∈[0，π]，求f（x）的单调递增区间．
解
（1）由题设知，f（α）＝sinα＋cosα.
∵sin2α＝＝2sinα·cosα＞0，α∈[0，π]，
∴α∈，sinα＋cosα＞0.
由（sinα＋cosα）2＝1＋2sinα·cosα＝，
得sinα＋cosα＝，∴f（α）＝.
（2）f（x）＝sin，又0≤x≤π，
∴f（x）的单调递增区间为.
B级 综合创新备选
（时间：
30分钟 满分：
40分）
一、选择题（每小题5分，共10分）
1．（★）函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为（ ）．
A．[－1,1]B.
C.D.
解析 （数形结合法）y＝sin2x＋sinx－1，令sinx＝t，则有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t＝－及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈.
答案 C
【点评】本题采用换元法转化为关于新元的二次函数问题，再用数形结合来解决，但换元后注意新元的范围.
2．（2011·山东）若函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝（ ）．
A.B.C．2D．3
解析 由题意知f（x）的一条对称轴为x＝，和它相邻的一个对称中心为原点，则f（x）的周期T＝，从而ω＝.
答案 B
二、填空题（每小题4分，共8分）
3．（2011·绍兴模拟）关于函数f（x）＝4sin（x∈R），有下列命题：
①由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1－x2必是π的整数倍；
②y＝f（x）的表达式可改写为y＝4cos；
③y＝f（x）的图象关于点对称；
④y＝f（x）的图象关于直线x＝－对称．
其中正确命题的序号是________（把你认为正确的命题序号都填上）．
解析 函数f（x）＝4sin的最小正周期T＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是＝知①错．
利用诱导公式得f（x）＝4cos＝
4cos＝4cos，知②正确．
由于曲线f（x）与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x＝－代入得f（x）＝4sin＝4sin0＝0，
因此点是f（x）图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f（x）的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x＝－时y＝0，点不是最高点也不是最低点，故直线x＝－不是图象的对称轴，因此命题④不正确．
答案 ②③
4．函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω等于________．
解析 因为f（x）＝2sinωx（ω＞0）在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sinω＝，且0＜ω＜，因此ω＝.
答案
三、解答题（共22分）
5．（10分）（2012·南通调研）设函数f（x）＝sin（2x＋φ）（－π＜φ＜0），y＝f（x）图象的一条对称轴是直线x＝.
（1）求φ；
（2）求函数y＝f（x）的单调增区间．
解
（1）令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ＋，k∈Z，
又－π＜φ＜0，则－＜k＜－，k∈Z，
∴k＝－1，则φ＝－.
（2）由
（1）得：
f（x）＝sin，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
因此y＝f（x）的单调增区间为，k∈Z.
6．（12分）已知a＞0，函数f（x）＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f（x）≤1.
（1）求常数a，b的值；
（2）设g（x）＝f且lgg（x）＞0，求g（x）的单调区间．
解
（1）∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a]．
∴f（x）∈[b,3a＋b]，
又∵－5≤f（x）≤1，
∴b＝－5,3a＋b＝1，
因此a＝2，b＝－5.
（2）由
（1）得a＝2，b＝－5，
∴f（x）＝－4sin－1，
g（x）＝f＝－4sin－1
＝4sin－1，
又由lgg（x）＞0得g（x）＞1，
∴4sin－1＞1，
∴sin＞，
∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g（x）单调递增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，
∴g（x）的单调增区间为，k∈Z.
又∵当2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z时，g（x）单调递减，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.
∴g（x）的单调减区间为，k∈Z.
A级 基础达标演练
（时间：
40分钟 满分：
60分）
一、选择题（每小题5分，共25分）
1．若将某正弦函数的图象向右平移以后，所得到的图象的函数式是y＝sin，则原来的函数表达式为（ ）．
A．y＝sinB．y＝sin
C．y＝sinD．y＝sin－
解析 y＝sin＝sin.
答案 A
2．（2011·新课标）设函数f（x）＝sin＋cos，则（ ）．
A．y＝f（x）在单调递增，其图象关于直线x＝对称
B．y＝f（x）在单调递增，其图象关于直线x＝对称
C．y＝f（x）在单调递减，其图象关于直线x＝对称
D．y＝f（x）在单调递减，其图象关于直线x＝对称
解析 因为y＝sin＋cos＝sin
＝cos2x，所以y＝cos2x在单调递减，对称轴为2x＝kπ（k∈Z），即x＝（k∈Z），当k＝1时，x＝.
答案 D
3．若函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），x∈R（其中ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，且f（0）＝，则（ ）．
A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝
C．ω＝2，φ＝D．ω＝2，φ＝
解析 由T＝＝π，∴ω＝2.由f（0）＝⇒2sinφ＝，
∴sinφ＝，又|φ|＜，∴φ＝.
答案 D
4．（2012·龙岩模拟）将函数y＝f（x）·sinx的图象向右平移个单位后，再作关于x轴对称变换，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f（x）可以是（ ）．
A．sinxB．cosxC．2sinxD．2cosx
解析 运用逆变换方法：
作y＝1－2sin2x＝cos2x的图象关于x轴的对称图象得y＝－cos2x＝－sin2的图象，再向左平移个单位得y＝f（x）·sinx＝－sin2＝sin2x＝2sinxcosx的图象．∴f（x）＝2cosx.
答案 D
5．（2011·辽宁）已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ），y＝f（x）的部分图象如图，则f＝（ ）．
A．2＋B.C.D．2－
解析 由题中的图象可知：
T＝2＝，∴ω＝2，
∴2×＋φ＝kπ＋（k∈Z）．又|φ|＜，∴φ＝.
又f（0）＝1，∴Atan＝1，得A＝1，∴f（x）＝tan，∴f＝tan＝tan＝.
答案 B
二、填空题（每小题4分，共12分）
6．将函数y＝sin的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位所得图象对应的函数解析式是________．
解析 y＝sin向右平移个单位得：
y＝sin＝sin，再向上平移2个单位得y＝sin＋2.
答案 y＝sin＋2
7．已知函数f（x）＝3sin（ω＞0）和g（x）＝2cos（2x＋φ）＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f（x）的取值范围是________．
解析 由题意知ω＝2，∴f（x）＝3sin，
当x∈时，2x－∈，
∴f（x）的取值范围是.
答案
8．若f（x）＝2sin（ωx＋φ）＋m，对任意实数t都有f＝f，且f＝－3，则实数m的值等于________．
解析 依题意得，函数f（x）的图象关于直线x＝对称，于是当x＝时，函数f（x）取得最值，因此有±2＋m＝－3，解得m＝－5或m＝－1.
答案 －1或－5
三、解答题（共23分）
9．（11分）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）如何由函数y＝2sinx的图象通过适当的变换得到函数f（x）的图象，试写出变换过程．
解
（1）由图象知A＝2.
f（x）的最小正周期T＝4×＝π，故ω＝＝2.
将点代入f（x）的解析式，得sin＝1.
又|φ|＜，∴φ＝.
故函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin.
10．（★）（12分）（2011·深圳一调）已知函数f（x）＝2·sincos－sin（x＋π）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．
解
（1）因为f（x）＝sin＋sinx＝cosx＋sinx＝2＝2sin，
所以f（x）的最小正周期为2π.
（2）∵将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，∴g（x）＝f＝2sin＝2sin.∵x∈[0，π]，∴x＋∈，
∴当x＋＝，即x＝时，sin＝1，g（x）取得最大值2.
当x＋＝，即x＝π时，sin＝－，g（x）取得最小值－1.
【点评】解决三角函数的单调性及最值（值域）问题主要步骤有：
第一步：
三角函数式的化简，一般化成y＝Asin（ωx＋φ）＋h或y＝Acos（ωx＋φ）＋h的形式.
第二步：
根据sinx、cosx的单调性解决问题，将“ωx＋φ”看作一个整体，转化为不等式问题.
第三步：
根据已知x的范围，确定“ωx＋φ”的范围.
第四步：
确定最大值或最小值.
第五步：
明确规范表述结论.
B级 综合创新备选
（时间：
30分钟 满分：
40分）
一、选择题（每小题5分，共10分）
1．（2011·天津）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f（x）的最小正周期为6π，且当x＝时，f（x）取得最大值，则（ ）．
A．f（x）在区间[－2π，0]上是增函数
B．f（x）在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f（x）在区间[3π，5π]上是减函数
D．f（x）在区间[4π，6π]上是减函数
解析 ∵f（x）的最小正周期为6π，∴ω＝，∵当x＝时，f（x）有最大值，∴×＋φ＝＋2kπ（k∈Z），φ＝＋2kπ（k∈Z），∵－π＜φ≤π，∴φ＝.∴f（x）＝2sin，由此函数图象易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均不是单调的，在区间[4π，6π]上是单调增函数．
答案 A
2．（2011·全国）设函数f（x）＝cosωx（ω＞0），将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）．
A.B．3C．6D．9
解析 依题意得，将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的是f＝cosω＝cos
的图象，故有cosωx＝cos，而cosωx＝cos（k∈Z），故ωx－＝2kπ（k∈Z），
即ω＝6k（k∈Z），∵ω＞0，因此ω的最小值是6.
答案 C
二、填空题（每小题4分，共8分）
3．（2011·福州模拟）在函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的一个周期内，当x＝时有最大值，当x＝时有最小值－，若φ∈，则函数解析式f（x）＝________.
解析 首先易知A＝，由于x＝时f（x）有最大值，当x＝时f（x）有最小值－，所以T＝×2＝，ω＝3.又sin＝，φ∈，解得φ＝，故f（x）＝sin.
答案 sin
4．设函数y＝sin（ωx＋φ）的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：
①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数．
以上正确结论的编号为________．
解析 ∵y＝sin（ωx＋φ）最小正周期为π，
∴ω＝＝2，又其图象关于直线x＝对称，
∴2×＋φ＝kπ＋（k∈Z），∴φ＝kπ＋，k∈Z.
由φ∈，得φ＝，∴y＝sin.
令2x＋＝kπ（k∈Z），得x＝－（k∈Z）．
∴y＝sin关于点对称．故②正确．
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），得
kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）．
∴函数y＝sin的单调递增区间为
（k∈Z）．
∵（k∈Z）．∴④正确．
答案 ②④
三、解答题（共22分）
5．（10分）（2011·潍坊质检）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）＝2，求函数g（x）在x∈上的最大值，并确定此时x的值．
解
（1）由题图知A＝2，＝，则＝4×，∴ω＝.
又f＝2sin
＝2sin＝0，
∴sin＝0，∵0＜φ＜，∴－＜φ－＜，
∴φ－＝0，即φ＝，
∴f（x）的解析式为f（x）＝2sin.
（2）由
（1）可得f＝2sin
＝2sin，
∴g（x）＝2＝4×
＝2－2cos，
∵x∈，∴－≤3x＋≤，
∴当3x＋＝π，即x＝时，g（x）max＝4.
6．（12分）（2012·华东师大附中模拟）已知函数f（x）＝Asinωx＋Bcosωx（A、B、ω是常数，ω＞0）的最小正周期为2，并且当x＝时，f（x）max＝2.
（1）求f（x）的解析式；
（2）在闭区间上是否存在f（x）的对称轴？
如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．
解
（1）因为f（x）＝sin（ωx＋φ），由它的最小正周期为2，知＝2，ω＝π，又因为当x＝时，f（x）max＝2，知π＋φ＝2kπ＋（k∈Z），φ＝2kπ＋（k∈Z），所以f（x）＝2sin＝2sin（k∈Z）．
故f（x）的解析式为f（x）＝2sin.
（2）当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx＋＝kπ
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