一次函数全面总结有例题课后练习.docx
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一次函数全面总结有例题课后练习
函数的概念
题型一:
函数的概念
基础知识:
在某个变化过程中的两个变量x和y,如果给定x的一个值,相应的y就有唯一的确定值与它对应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是应变量。
例:
下列四个图象中,表示是函数图象的序号是()
练习:
下列图象表示函数关系y=f(x)的有(填序号)
题型二:
自变量取值范围的确定
基础知识:
1)整式函数自变量的取值范围是一切实数;
2)分式函数自变量的取值范围是使的实数;
3)偶次根式函数自变量的取值范围是使被开方数的实数;
例(★):
函数
的自变量x的取值范围为:
;
练习(★):
函数
的自变量x的取值范围为:
;
题型三:
函数的表示
例(★):
小明从家中出发,到离家1.2千米的早餐店吃早餐,用了一刻钟吃完早餐后,按原路返回离家1千米的学校上课,在下列图标中,能反映这一过程的大致图像是()
练习(★):
(内江)打开某洗衣机开关(洗衣机内无水),在洗涤衣服时,洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量
(升)与时间
(分钟)之间满足某种函数关系,其函数图象大致为()
课后作业:
1、要使
+
有意义,则x应满足什么条件?
2、如图,平面直角坐标系中,在边长为1的正方形
的边上有一动点
沿
运动一周,则
的纵坐标
与点
走过的路程
之间的函数关系用图象表示大致是()
3、如图图象中表示函数的有
一次函数
题型一、点的坐标
基础知识:
x轴上的点纵坐标为0,y轴上的点横坐标为0;
若两个点关于x轴对称,则他们的横坐标相同,纵坐标互为相反数;
若两个点关于y轴对称,则它们的纵坐标相同,横坐标互为相反数;
若两个点关于原点对称,则它们的横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数;
例1:
若点A(m,n)在第二象限,则点(|m|,-n)在第____象限;
练习:
若点P(2a-1,2-3b)是第二象限的点,则a,b的范围为______________________;
例2:
已知A(4,b),B(a,-2),若A,B关于x轴对称,则a=_______,b=_________;若A,B关于y轴对称,则a=_______,b=__________;若若A,B关于原点对称,则a=_______,b=_________;
练习:
若点M(1-x,1-y)在第二象限,那么点N(1-x,y-1)关于原点的对称点在第______象限。
题型二、一次函数与正比例函数的识别
基础知识:
若y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数,特别的,当b=0时,一次函数就成为y=kx(k是常数,k≠0),这时,y叫做x的正比例函数,当k=0时,一次函数就成为若y=b,这时,y叫做常函数。
☆A与B成正比例A=kB(k≠0)
例1:
当k_____________时,
是一次函数;
练习:
当m_____________时,
是一次函数;
例2:
2y-3与3x+1成正比例,且x=2,y=12,则函数解析式为________________;
练习:
2y-3与3x+1成正比例,且x=2,y=12,则函数解析式为________________;
题型三:
一次函数的表示
基础知识:
函数的表示方法有、和解析式法;画函数图象的三个步骤分别依次为列表、和连线。
例:
画出函数
与
的图像
题型四、函数图像及其性质
基础知识:
函数
图象
性质
经过象限
变化规律
y=kx+b
(k、b为常数,
且k≠0)
k>0
b>0
b=0
b<0
k<0
b>0
b=0
b<0
☆一次函数y=kx+b(k≠0)中k、b的意义:
k(称为斜率)表示直线y=kx+b(k≠0)的倾斜程度;
b(称为截距)表示直线y=kx+b(k≠0)与y轴交点的,也表示直线在y轴上的。
☆同一平面内,不重合的两直线y=k1x+b1(k1≠0)与y=k2x+b2(k2≠0)的位置关系:
当时,两直线平行。
当时,两直线垂直。
当时,两直线相交。
当时,两直线交于y轴上同一点。
☆特殊直线方程:
X轴:
直线Y轴:
直线
与X轴平行的直线与Y轴平行的直线
一、三象限角平分线二、四象限角平分线
例1:
对于函数y=5x+6,y的值随x值的增大而___________。
练习:
对于函数
y的值随x值的________而增大。
例2:
一次函数y=(6-3m)x+(2n-4)不经过第三象限,则m、n的范围是__________。
练习:
已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限,那么直线y=-bx+k经过第_______象限。
例3:
无论m为何值,直线y=x+2m与直线y=-x+4的交点不可能在第______象限。
练习:
函数y=kx+|k|(k≠0)在平面直角坐标系中的图象可能是()
例4:
已知一次函数y=mx+n-2的图象如图所示,则m,n的取值范围()
A.m>0,n<0B.m>0,n>2C.m<0,n<2D.m<0,n>2
练习:
已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限,且与x轴交于点(2,0),则关于x的不等式a(x-1)-b>0的解集为()
A.x<-1B.x>-1C.x>1D.x<1
例5:
已知一次函数
.求:
(1)m为何值时,y随x的增大而减小;
(2)m,n满足什么条件时,函数图像与y轴的交点在x轴下方;
(3)m,n分别取何值时,函数图像经过原点;
(4)m,n满足什么条件时,函数图像不经过第二象限.
例6:
一次函数
与
的图象如图,则下列结论①
;②
;③当
时,
中,正确的个数是()
练习:
函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是()
ABCD
例7:
函数y=kx+b(k≠0)的图象平行于直线y=2x+3,且交y轴于点(0,-1),则其解析式是.
练习1:
一次函数的图像过点(1,-1)且与直线
平行,则其解析式是.
练习2:
一次函数的图像过点(1,-1)且与直线
垂直,则其解析式是.
例8:
直线L:
与x轴、y轴分别交于A、B两点,求A、B两点得坐标。
练习:
直线L:
与x轴、y轴分别交于A、B两点,求A、B两点得坐标。
题型五、待定系数法求解析式
基础知识:
方法:
依据两个独立的条件确定k,b的值,即可求解出一次函数y=kx+b(k≠0)的解析式。
☆已知是直线或一次函数可以设y=kx+b(k≠0);
☆若点在直线上,则可以将点的坐标代入解析式构建方程。
例1:
直线y=kx+b的图像经过A(3,4)和点B(2,7),求函数的解析式。
练习1:
若函数y=3x+b经过点(2,-6),求函数的解析式。
练习2:
已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(1,3)和B(-1,-1),求此函数的解析式。
练习3:
图像和直线
在y轴上相交于同一点,且过(2,-3)点,求此一次函数的解析式。
例2:
一次函数的图像与y=2x-5平行且与x轴交于点(-2,0)求解析式。
练习:
已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行,且过点(8,2),求此一次函数的解析式。
例3:
已知一次函数y=-3x+1的图象经过点(a,1)和点(-2,b),则a=________,b=______.
练习:
已知一次函数y=-x+a与y=x+b的图象相交于点(m,8),则a+b=_________
例4:
已知直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于y轴对称,求k、b的值。
练习1:
已知直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于x轴对称,求k、b的值。
练习2:
已知直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于原点对称,求k、b的值。
例5:
若一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2≤x≤6,相应的函数值的范围是-11≤y≤9,求此函数的解析式。
练习:
一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3≤x≤6,相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2,求这个一次函数的解析式。
例6:
已知y+2与x-1成正比例,且x=3时y=4。
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当y=1时,求x的值。
练习:
已知y-2与x成正比,且当x=1时,y=-6
(1)求y与x之间的函数关系式
(2)若点(a,2)在这个函数图象上,求a的值
题型六、平移
基础知识:
方法:
直线y=kx+b向左平移2向上平移3<=>y=k(x+2)+b+3;(“左加右减,上加下减”)。
例1:
直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线
练习:
直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线
例2:
直线
向上平移1个单位,再向右平移1个单位得到直线。
练习:
直线
向下平移2个单位,再向左平移1个单位得到直线__________。
例3:
过点(2,-3)且平行于直线y=2x的直线是__________。
练习:
过点(2,-3)且平行于直线y=-3x+1的直线是___________.
例4:
把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位,可得到的图像表示的函数是____________;
练习:
直线m:
y=2x+2是直线n向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的,而(2a,7)在直线n上,则a=____________;
题型七、交点问题及直线围成的面积问题
基础知识:
方法:
两直线交点坐标必满足两直线解析式,求交点就是联立两直线解析式求方程组的解;
复杂图形“外补内割”即:
往外补成规则图形,或分割成规则图形(三角形);
往往选择坐标轴上的线段作为底,底所对的顶点的坐标确定高;
例1:
直线经过(1,2)、(-3,4)两点,求直线与坐标轴围成的图形的面积。
例2:
已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A(3,4),且OA=OB
(1)求两个函数的解析式;
(2)求△AOB的面积;
例3:
已知直线m经过两点(1,6)、(-3,-2),它和x轴、y轴的交点式B、A,直线n过点(2,-2),且与y轴交点的纵坐标是-3,它和x轴、y轴的交点是D、C;
(1)
分别写出两条直线解析式,并画草图;
(2)计算四边形ABCD的面积;
(3)若直线AB与DC交于点E,求△BCE的面积。
例4:
如图,A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点,点P(2,p)在第一象限,直线PA交y轴于点C(0,2),直线PB交y轴于点D,△AOP的面积为6;
(1)求△COP的面积;
(2)求点A的坐标及p的值;
(3)若△BOP与△DOP的面积相等,求直线BD的函数解析式。
例5:
如图8,在直标系内,一次函数
的图象分别与
轴、
轴和直线
相交于
、
、
三点,直线
与
轴交于点D,四边形OBCD(O是坐标原点)的面积是10,若点A的横坐标是
,求这个一次函数解析式.
练习1:
已知:
经过点(-3,-2),它与x轴,y轴分别交于点B、A,直线
经过点(2,-2),且与y轴交于点C(0,-3),它与x轴交于点D
(1)求直线
的解析式;
(2)若直线
与
交于点P,求
的值。
练习2:
已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1,-5),且与正比例函数y=
x的图象相交于点(2,a),求
(1)a的值
(2)k,b的值
(3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形的面积。
练习3:
如图,已知点A(2,4),B(-2,2),C(4,0),求△ABC的面积。
题型八、一次函数与二元一次方程和不等式
例1:
用图象法解某二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示),则所解的二元一次方程组是()
A.
B.
C.
D.
练习1:
已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为(-5,-8),则方程组
的解是________
练习2:
已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为(-5,-8),则方程组
的解是_______
例2:
一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象如图9所示,则不等式kx+b>0的解集是()
A.x>-2B.x>0C.x<-2D.x<0
练习:
已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点(2,0),则不等式x-2≥-x+2的解集是________.
类型九:
一次函数的实际应用
例1:
如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y(升)与行驶时间x(小时)之间的关系.求油箱里所剩油y(升)与行驶时间x(小时)之间的函数关系式,并且确定自变量x的取值范围。
例2:
如图所示的折线ABC表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系的图象
(1)写出y与t之间的函数关系式.
(2)通话2分钟应付通话费多少元?
通话7分钟呢?
例3:
蜡烛点燃后缩短长度y(cm)与燃烧时间x(分钟)之间的关系为
,已知长为21cm的蜡烛燃烧6分钟后,蜡烛缩短了3.6cm,求:
(1)y与x之间的函数解析式;
(2)此蜡烛几分钟燃烧完。
例4:
网络时代的到来,很多家庭都拉入了网络,电信局规定了拨号入网两种收费方式,用户可以任选其一:
A:
计时制0.05元/分;B:
全月制:
54元/月(限一部分人住宅电话入网)此个B种上网方式要加收通信费0.02元/分。
(1)某用户月上网的时间为x小时,两种收费方式的费用分别为y1(元)y2(元),写出y1、y2与x之间的函数关系式;
(2)在上网时间相同的条件下,请你帮该用户选择哪一种方式上网更省钱?
练习1:
今年以来,广东大部分地区的电力紧缺,电力公司为鼓励市民节约用电,采取按月用电量分段收费办法.若某户居民每月应交电费y(元)与用电量x(度)的函数图像是一条折线(如图所示),根据图像解答下列问题:
(1)分别写出0≤x≤100和x≥100时,y与x的函数关系式;
(2)利用函数关系式,说明电力公司采取的收费标准;
练习2:
甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球,乒乓球拍每付定价20元,乒乓球每盒定价5元.现两家商店搞促销活动,甲店:
每买一付球拍赠一盒乒乓球;乙店:
按定价的9折优惠。
某班级需购球拍4付,乒乓球若干盒(不少于4盒)。
(1)设购买乒乓球盒数为x(盒),在甲店购买的付款数为y甲(元),在乙店购买的付款为y乙(元),分别写出在这两家商店购买的付款数与乒乓球盒数x之间的函数关系式;
(2)就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算。
练习3:
一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题.
(1)农民自带的零钱是多少?
(2)试求降价前y与x之间的关系式
(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少?
(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆?
课后作业:
1、直线y=(6-3m)x+(2n-4)不经过第三象限,则m、n的范围是_________。
2、当m_____________时,
是一次函数;
3、正比例函数
,当m时,y随x的增大而增大.
4、若m<0,n>0,则一次函数y=mx+n的图象不经过()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
5、一次函数y=kx+b与y=2x+1平行,且经过点(-3,4),则表达式为:
。
6、(★★)若一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2≤x≤6,相应的函数值的范围是-11≤y≤9,求此函数的解析式。
7、已知一次函数
(1)当m取何值时,y随x的增大而减小?
(2)当m取何值时,y随x的增大而增大?
(3)当m取何值时,函数的图象过原点?
8、直线y=
向左平移2个单位,再向下平移3个单位得到直线。
9、某一次函数的图象与直线y=6-x交于点A(5,k),且与直线y=2x-3无交点,求此函数的关系式.
10、小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到,已知两个商店的标价都是每个练习本1元,但甲商店的优惠条件是:
购买10本以上,从第11本开始按标价的70%卖;乙商店的优惠条件是:
从第1本开始就按标价的85%卖.
(1)小明要买20个练习本,到哪个商店购买较省钱?
(2)写出甲、乙两个商店中,收款y(元)关于购买本数x(本)(x>10)的关系式,它们都是正比例函数吗?
(3)小明现有24元钱,最多可买多少个本子?
11、某风景区集体门票的收费标准是20人以内(含20人),每人25元,若超过20人,超出门票费按八折计算.
(1)写出应收门票费y(元)与游览人数x(人)之间的函数关系;
(2)某班52名同学去该风景区游览时,为购门票花了多少元?
------------------------------------------------------------------------------------教学反馈
学生课堂表现:
下次课程规划:
上次作业
完成情况:
总评分:
(课堂表现占80%,上次作业占20%,总分100)
家长签字: