证明数列是等差或等比数列的方法.docx
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证明数列是等差或等比数列的方法
证明数列是等差或等比数列的方法
、证明或判断数列为等差数列的方法
1.定义法
d（d为常数），则数列an
在数列an中，若anan1为等差数列
例：
已知正项数列an的前n项和为Sn，a1?
，且
3
满足2Sn12s”3an12（nN*）证明：
数列a”是等差数列证明：
由2Sn12Sn3a整理得4Sn3an12则4Sn13an两式相减得4a
得2（Sn
2ani
3an1
2an
3an13a
3an2an
2
an1）2Sn3an1
2ani2an
2an
anan1
因为an是正项数列，所以
所以3an1an2，即an1an
所以an是首项为3，公差为2的等差
数列
2.等差中项法
a”a„22a”1{a”}是等差数列
a3
例：
设数列an的前n项和为Sn，已知a,16，11，且
常数
（1）求A与B的值
（2）证明数
列an是等差数列
解：
（1）
因为a11
a26
2‘
a3
11，所以
S1
S27，S318
把n1，
n2分别代入
5n8Sn1
5n
2SnAnB
得377
1A
B
21812
72
!
AB
解得：
A
20
，B8
（2）
由
（1）知
5n
8Sn15n
2S
20n8
整理得5n.
Sn1
Sn8Sn1
2Sn
20n8
即
5nan18
S1
2Sn20n8
①
又5n1an2
8Sn
22Sn1
20n
18②
②-①
得
5n1
an25nan18an
22an120
即5n3
an2
5n2an1
2
Q③
又5n2af
13
5n7an2
20
④
④-③得
5n
2an32a
n2
an10
所以an3
2an
2an10
所以an3
an2
an2an1
a3a25，
所以数列an是首项为1，公差
为5的等差数列
3.看通项与前n项和法（注：
这些结论适用于选择题填空题）
（1）若数列通项an能表示成ananb（a，b为常数）的形式，则数列an是等差数列；
（2）若数列an的前n项和Sn能表示成S,an2bn（a，b为常数）的形式，则数列a”是等差数列
例：
若S"是数列an的前n项和，Snn2，则an是（）
A.等比数列，但不是等差数列B.
等差数列，但不是等比数列
C.等差数列，也是等比数列D.
既不是等差数列，也不是等比数列
解析：
根据
（2）知an等差数列，不是等比数列
二、证明或判断数列为等比数列的方法
1.定义法
在数列an中，若也q（q为常数），则数列an为
7an1
等比数列
1-ann为偶数
例：
设数列an的首项aa-，且an-2,记
4an-n为奇数
4
1
bna2ni—,n1,2,3…
4
（1）求a2,a3
（2）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论
解：
（1）
a2a〔
1
a
1
a3
1
a2
1a
1
4
4
2
2
8
（2）
1
1
3
1
1
3
a4a3
—
a
——
a5
a4
a
—
4
2
8
4
16
所以b1
a1
1
a
1
b2a3
1
11a-
1（a-
4
4
4
28
24
1
1
1
1
1、
b3
a5
a一
-（a
-）
4
4
16
4
4
猜想bn
1
是公比为-
的等比数列
2
证明如下：
因为
所以｛bn｝是首项为a1，公比为*的等比
数列.
例2：
已知数列｛an｝的首项a15，前n项和为&,
S,12Snn5（nN），证明数列｛a”甘是等比数列；
解：
由已知Sn12&n5（nN*）可得n2时
Sn2Sn1n4^两工式木目^减彳得:
511Sn2（SnSn1）1，即
an12an1，从而an112（an1）,
当n1时，S22S115，所^以a2a12a16,又a15，所以a211，从而a212（a11）.
故总有an112（an1）,nN,又务5,务10,从而32.
an1
an1
ai
a2
所以数列｛an例3:
设数列
1｝是等比数列.
an的前n项的和为Sn，且
a11,Sn14an2,n
（1）设bnan1证明:
2an,
（1）
求证：
数列bn是等比数列;
n2时
an1
Sn1S
4an4an1,
an12an2a
2an1,
bn2bn1
又bi
是首项为3,公比为2的等比数
a22a
S23a1a123
bn
列。
例4:
3tsn2t
设数列an的首项a11，前n项和Sn满足关系3乳3t，求证a”为等比数列。
（错证）由题意：
3tsn2t3Sn13t
3tSn12t3Sn23t
两式相减得：
3ts
Sn1
2t3Sn1Sn2
即：
3tan2t3ani
所以：
电专为定值，所以an为等比
an13t
数列。
由于在证明的过程没有注意到各符号有意义的条件，从而忽略了n的取值范围，导致证明不符合定义的完整性。
n3时:
正确的证明如下：
3tsn2t3sn13t
3tsn12t3sn23t
比为定值，所以需要对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。
）
又因为n2时：
3ts22t3S!
3t
即卩3ta1a22t3a13t
又因为a11，所以3t3ta2（2t3）3t
印3t
所以对任意n2都有出辛为定值，所以an13t
an为等比数列。
总之，在用定义证明一个数列为等差数列或等比数列的时候，一定要注意下标n的取值范围，不管是a”an1；电还是ania”2；也还是其它的an1an2
情况，都在考虑定义的完整性，确保任何的后一■项与相邻前一项的差（比）为定值，如有不全面的地方须另外加以补充。
2.看通项与前n项和法
（1）若通项an能表示成ancqn（c，q均为不为0的常数）的形式，贝V｛an｝是等比数列
（2）若数列｛an｝的前n项和Sn能表示成SnAq"A（a、q均为不等于0的常数，且q1）的形式，
则数列｛an｝是公比不为1的等比数列
n
例：
已知数列an的前n项和Sn123，则数列an是什么数列
解析：
由数列前n项和可知，数列an是等比数列，
首项ai
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