证明数列是等差或等比数列的方法.docx

1、证明数列是等差或等比数列的方法证明数列是等差或等比数列的 方法、证明或判断数列为等差数列的方法1.定义法d（ d为常数），则数列an在数列an中，若an an1 为等差数列例：已知正项数列an的前n项和为Sn，a1 ?，且3满足 2Sn 1 2s” 3an 12 （ n N *） 证明：数列a”是等差数列 证明：由 2Sn 1 2Sn 3a 整理得4Sn 3an 12 则 4Sn 1 3an 两式相减得4a得 2(Sn2an i3an 12an3an 1 3a3an 2an2an 1) 2Sn 3an 12an i 2an2anan an 1因为an是正项数列，所以所以 3 an 1 an 2

2、，即 an 1 an所以an是首项为3，公差为2的等差数列2.等差中项法a” a 2 2a” 1 a”是等差数列a3例：设数列an的前n项和为Sn，已知a, 16， 11，且常数（1）求A与B的值 （2）证明数列an是等差数列解：（1 ）因为a1 1a2 62 a311，所以S 1S2 7，S3 18把n 1，n 2分别代入5n 8 Sn 15n2 Sn An B得3 7 71 AB2 18 127 2!A B解得：A20，B 8（2）由（ 1）知5n8 Sn 1 5n2S20n 8整理得5n .Sn 1Sn 8Sn 12Sn20 n 8即5n an 1 8S 12Sn 20n 8又 5 n

3、1 an 28Sn2 2Sn 120 n1 8-得5 n 1an 2 5n an 1 8an2 2an 1 20即5n 3an 25n 2 an 12Q又 5n 2 af1 35n 7 an 220-得5n2 an 3 2an 2an 1 0所以an 32an2 an 1 0所以an 3an 2an 2 an 1a3 a2 5，所以数列an是首项为1，公差为5的等差数列3.看通项与前n项和法（注：这些结论适用于 选择题填空题）（1）若数列通项an能表示成an an b （ a， b为 常数）的形式，则数列an是等差数列；（2 ）若数列an的前n项和Sn能表示成 S, an2 bn （ a， b

4、为常数）的形式，则数列a”是等 差数列例：若S是数列an的前n项和，Sn n2，则an 是（ ）A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，也是等比数列 D.既不是等差数列，也不是等比数列解析：根据（2）知an等差数列，不是等比 数列二、证明或判断数列为等比数列的方法1.定义法在数列an中，若也q（ q为常数），则数列an为7 an 1等比数列1 -an n为偶数例： 设数列an的首项a a -，且an - 2 , 记4 an - n为奇数41bn a2n i , n 1,2,3 4 (1)求 a2, a3(2)判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论解：(1)a

5、 2 a1a1a31a21 a144228(2)113113a4 a3a,a5a4a428416所以b1a11a1b2 a311 1 a -1(a -4442 82 411111、b3a5a 一-(a-)441644猜想bn1是公比为-的等比数列2证明如下：因为所以bn是首项为a 1，公比为*的等比数列.例2：已知数列an的首项a1 5，前n项和为& ,S, 1 2Sn n 5(n N )，证明数列a”甘是等比数列；解：由已知Sn 1 2& n 5(n N*)可得n 2时,Sn 2Sn 1 n 4 两工式木目减彳得:51 1 Sn 2(Sn Sn 1 ) 1 ， 即an 1 2an 1，从而

6、an 1 1 2(an 1),当n 1时， S2 2S1 1 5，所 以 a2 a1 2a1 6 , 又a1 5，所以a2 11，从而a2 1 2(a1 1).故总有an 1 1 2(an 1), nN ,又务 5,务 1 0 ,从而 3 2 .an 1an 1aia2所以数列an 例3:设数列1是等比数列.an的前n项的和为Sn，且a1 1, Sn 1 4an 2, n(1 )设 bn an 1 证明:2an ,(1)求证：数列bn是等比数列;n 2时an 1Sn 1 S4an 4an 1 ,an 1 2an 2 a2an 1 ,bn 2bn 1又bi是首项为3,公比为2的等比数a2 2aS

7、2 3a1 a1 2 3bn列。例4:3tsn 2t设数列an的首项a1 1，前n项和Sn满足关系 3乳3t，求证a”为等比数列。（错证）由题意：3tsn 2t 3 Sn 1 3t3tSn 1 2t 3 Sn 2 3t两式相减得：3tsSn 12t 3 Sn 1 Sn 2即：3tan 2t 3 an i所以：电专为定值，所以an为等比an 1 3t数列。由于在证明的过程没有注意到各符号有意义 的条件，从而忽略了 n的取值范围，导致证明不 符合定义的完整性。n 3时:正确的证明如下：3tsn 2t 3 sn 1 3t3tsn 1 2t 3 sn 2 3t比为定值，所以需要对第二项与第一项的比另外

8、 加以证明，以达到定义的完整性。）又因为n 2时：3ts2 2t 3 S! 3t即卩 3t a1 a2 2t 3 a1 3t又因为 a1 1，所以 3t 3ta2 (2t 3) 3t印 3t所以对任意n 2都有出 辛 为定值，所以 an 1 3tan为等比数列。总之，在用定义证明一个数列为等差数列 或等比数列的时候，一定要注意下标 n的取值范 围，不管是a” an 1 ；电还是ani a” 2；也还是其它的 an 1 an 2情况，都在考虑定义的完整性，确保任何的后一 项与相邻前一项的差（比）为定值，如有不全面 的地方须另外加以补充。2.看通项与前n项和法（1） 若通项an能表示成an cqn （ c， q均为不为0 的常数）的形式，贝V an是等比数列（2） 若数列an的前n项和Sn能表示成Sn Aq A （a、q均为不等于0的常数，且q 1 ）的形式，则数列an是公比不为1的等比数列n例：已知数列an的前n项和Sn 1 2 3，则数列an 是什么数列解析：由数列前n项和可知，数列an是等比数列，首项ai